Arithmetik
Elemente der Zahlentheorie
Elemente der Zahlentheorie
Kartei Details
| Karten | 24 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 23.10.2022 / 28.09.2023 |
| Weblink |
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Wann lebte Guiseppe Peano?
1858 - 1932
Wofür sind die Peano-Axiome?
Die Peano-Axiome charakterisieren die Eigenschaften der natürlichen Zahlen.
Was ist ein Axiom?
Ein Axiom ist ein absolut richtig erkannter Grundsatz, also eine allgemeingültige Wahrheit, die keinen Beweis braucht.
Warum müssen Axiome nicht bewiesen werden?
Axiome sind Aussagen, die wegen ihres inhalts grundlegend sind und als evident (unmittelbar einleuchtend) gelten und daher keines Beweises bedürfen. Axiome werden oft an den Anfang gestellt und mittels gültiger Beweisregeln können daraus weitere Ergebnisse hergeleitet werden.
Was bedeutet die Aussage: "Mathematik liegt weitgehend in deduktivem Aufbau vor"?
Deduktion heißt so viel wie 'ableiten' oder 'fortführen' und beschreibt ganz allgemein den Prozess, aus bestimmten Beobachtungen oder Prämissen Erkenntnisse abzuleiten oder daraus logisch zu schlussfolgern.
Wie lautet das erste Peano-Axiom?
(P1) Jedem n\(∈\)\(ℕ\) ist genau ein n'\(∈\)\(ℕ\) zugeteilt, das der Nachfolger von n heißt.
(Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, z.B. 1 -> 2; 2 -> 3, usw.
Wie lautet das 2. Peano-Axoim?
(P2) Es gibt ein a\(∈\)\(ℕ\) (a wie Anfang), das für kein n\(∈\)\(ℕ\) Nachfolger ist.
(Es gibt eine Zahl, die für keine natürliche Zahl der Nachfolger ist: 0)
Wie lautet das 3. Peano-Axiom?
(P3) Sind n, m \(∈\)\(ℕ\) verschieden, so sind auch die Nachfolger n', m' verschieden (dasselbe wird auch gedrückt durch: Aus n'=m' folgt n=m)
(Wenn zwei Zahlen verschieden sind, dann sind auch ihre Nachfolger verschieden und das bedeutet auch, dass wenn zwei Zahlen gleich sind, auch ihre Nachfolger gleich sind.)
Wie lautet das 4. Peano-Axiom?
(P4) Ist M eine Teilmenge von \(ℕ\) mit a\(∈\)M und enthält M zu jedem Element auch dessen Nachfolger, so gilt M=\(ℕ\).
(Wenn M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist und jede der in ihr enthaltenen Elemente auch ein Nachfolger besitzt, der ebenfalls in M enthalten ist, ist M die Menge der natürlichen Zahlen.)
Wie lautet die mengentheoretische Begründung von \(ℕ\)?
Setze 1:= \(∅\) und n':= n\(∪\){n}. Dann ist das erste Element nach (P1) die leere Menge. Der Nachfolger 1' wird definiert als Vereinigung des ersten Elements mit der Menge, die dieses Element enthält. Entsürechend ist 1'=\(∅\)\(∪\){\(∅\)}={\(∅\)}.
In welchen Situationen werden Zahlen im täglichen Leben eingesetzt?
z.B.
Uhrzeit
Taschenrechner
Nummernschilder
Geld
Datum
Geschwindigkeizsbegrenzungen
Was versteht man unter dem Kardinalzahlaspekt?
Die Zahl gibt die Anzahl der Elemente einer Menge an, z.B. 3 Äpfel, 20 Kinder
Was versteht man unter dem Ordinalzahlaspekt?
Die Zahl benennt die Reihenfolge innerhalb einer geordneten Reihe, z.B. an der 3. Haltestelle muss ich aussteigen.
Wie ist der Ordinalzahlaspekt unterteilt?
Ordnungszahl: An welcher Stelle? Der wievielte? -> z.B. der 3.10. ist ein Feiertag
Zählzahl: Welche Nummer? Die Zahl wird als Teil der Zählzahlreihe verwendet -> z.B. das steht auf Seite 3
Was versteht man unter dem Maßzahlaspekt?
Die Zahl bezeichnet Größen. Sie wird als Maßzahl bezüglich einer Einheit verwendet. Auch der Skalenaspekt ist hier vertreten (Temperatur und Zeitangabe) z.B. es dauert noch 3 Min, die Schule ist 3km entfernt
Was versteht man unter Operatoraspekt?
Die Zahl beschreibt die Vielfachheit einer Handlung oder eines Vorgangs, z.B. Ich muss noch dreimal schlafen
Was versteht man unter dem Rechenzahlaspekt?
Die Zahl wird zum Rechnen benutzt.
Wie ist der Rechenzahlaspekt unterteilt?
Algebraischer Aspekt: Algebraische Gesetzmäßigkeiten der natürlichen Zahlen werden angesprochen, z.B. 3+4=4+3, 12*5=10*6
algorithmischer Aspekt: Mit Zahlen kann ziffernweise nach Handlungsanweisungen (sog. Algorithmen) gerechnet werden, z.B. schriftliche Addition
Was versteht man unter dem Codierungsaspekt?
Ziffernfolgen werden zur Kennzeichnung / Unterscheidung verwendet, rechnen bzw ordnen ist nicht sinnvoll, z.B. Telefonnummern, PLZ
Zusatz: Zur Codierung verwendete Ziffernfolgen sind keine Zahlen im eigentlichen Sinn. Wesentliche Zahleigenschaften wie z.B. ordnen, rechnen treffen nicht zu. Die Zuordnung des Codierungsaspekts zu den Zahlaspekten ist deshalb fragwürdig.
Was beschreit \(ℕ\)?
Beschreibt die Menge der natürlichen Zahlen ohne 0
Was beschreibt \(ℕ\)0?
Die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der 0
Wie werden die Nachfolger in der Menge der natürlichen Zahlen definiert?
Für je zwei Zahlen m,n \(∈\)\(ℕ\)0 definierten wir
(A1) m + 0 = m
(A2) m + n' = (m + n)'
Außerdem setzen wir 0' = 1. Daraus folgt unmittelbar m + 1 = m + 0' = m'
Bsp.: 5 + 3 = (5 + 2)' = ((5 + 1)')' = ((5')')' = 5 +1 + 1 + 1 = 8
Wie lautet das Lemma in Bezug auf die Klammersetzung bei der Addition der natürlichen Zahlen?
Für all natürlichen Zahlen k, n \(∈\)\(ℕ\)0 gilt
(k + n) + 0 = k + (n + 0)
Wie lautet der Satz zur Addition der natürlichen Zahlen?
Die Addition natürlicher Zahlen ist assoziativ, d.h.
\(∀\)k, n, m \(∈\) \(ℕ\)0: (k + n) + m = k + (n + m)
(Aussage für eine Menge von Zahlen mit Induktionsbeweis)
