Grundbegriffe Mathematik Teil 1

Die bessere Methode ist die 2. - also auflösen wie eine Gleichung. Besser, weil schlanker, schneller, man muss nur wissen, dass Relationszeichen gedreht wird, gibt nicht das Problem, dass wenn a=0 ist, dass man Lösung nicht erkennt...

Es ist wie bei Koordinatensystem (x-Achse = Quellmenge, y-Achse = Zielmenge)

Funktion: Relation  von  nach  heisst Funktion (oder Abbildung) von  nach , falls  linkstotal und rechtseindeutig ist.
Das bedeutet, dass es zu jedem x (Element von A) genau ein y (Element von B) mit y=F(x) gibt. 

Schreibweise: Ist F eine Funktion (Abbildung), so schreibt man \(y=F(x)\) anstatt \(xFy\)

1. Surjektiv = rechtstotal: Wenn also für jedes y ein x existiert (das Element von A ist). 
2. Injektiv = linkseindeutig: Wenn jedem y höchstens ein x zugeordnet wird. 
3. surjektiv: wenn der Graph von f jede horizontale Gerade mind. 1x schneidet. 
   injektiv: wenn der Graph von f jede horizohntale höchstens 1x schneidet. 

Die Funktion muss bijektiv sein - also surjektiv und injektiv zusammen (eine Funktion ist ja von sich aus linkstotal und rechtseindeutig) - surjektiv ist nun noch rechtstotal und injektiv linkseindeutig. Die Umkehrfunktion muss ja ebenfalls linkstotal und rechtseindeutig sein - das bedeutet, die Ausgangsfunktion muss rechtstotal und linkseindeutig sein...


 

Surjektiv = rechtstotal: Wenn also für jedes y mind. ein x existiert (das Element von A ist). 
Injektiv = linkseindeutig: Wenn jedem y höchstens ein x zugeordnet wird. 
Bijektiv = Eine Funktion (linkstotal, rechtseindeutig), die sowohl surjektiv wie injektiv ist

• LT: Ja,
• RT: ja
• LE: nein
• RE: nein

1. LT, wenn Grundmenge mehr als 1 Element hat, dann weder RE noch LE.
2. LT, RE
3. LT, RT, RE, LE
4. LT, RT, nicht RE oder LE

Die Menge der Ganzen Zahlen. Also alle Zahlen ohne Kommastellen. Die negativen Zahlen und Null gehören dazu. 

Die Menge der rationalen Zahlen. Also alle Brüche, die im Zähler eine ganze Zahl und im Nenner eine natürliche Zahl ausser der 0 haben.

Die Menge aller reellen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen enthält alle Zahlen, die du aus der Schule kennst. Sie besteht aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen . Jede irrationale und rationale Zahl ist also gleichzeitig eine reelle Zahl.

Aussage = sprachliches Gebilde ¨entweder falsch / wahr. Wenn Variablen vorkommen,
sind sie durch Quantoren oder andere Operatoren gebunden (für alle x, es existiert ein x…)
Beispiele:

1. Zürich ist Hauptstadt der Schweiz
2. 2+5=7
3. \(x^3+y^3=z^3 \)Die Gleichung  besitzt ausser der trivialen keine ganzzahligen Lösungen.
4. Tycho Brahe wurde 1601 von Johannes Keppler vergiftet.
5. \(x+3=5\)

Alles sind Aussagen, ausser 5. -> Nicht klar, ob wahr od. falsch.

5. ist eine Aussageform = sprachliches Gebilde mit mind. 1 Variablen.
In einer Aussageform sind die Variablen frei. Z. B. \(x>23\)
Nach Einsetzen einer Konstanten in Variable wird’s zur Aussage. 
\(2+3=5 (wahre Aussage)\)

\(x^2−5x+6\)  ist keine Aussageform, sondern ein (arithmetischer) Term.

• Terme sind sprachliche Ausdrücke, die eine Zahl oder ein anderes Objekt bezeichnen. Insbesondere sind Variable Terme. Mit Hilfe von Verknüpfungen können aus Termen weitere Terme gebildet werden. Man kann nicht sagen, es ist wahr/falsch (Aussage). Auch nach Einsetzen einer Konstanten nicht (Aussageform).
• Terme können iterativ (schrittweise) definiert werden:
  • Konstante + Variable sind Terme.
  • Ersetzen einer Variablen durch einen Term ergibt wieder einen Term.
  • Ausüben der im betrachtenden Bereich definierten Operationen auf Terme liefert wieder Terme.
• Terme können verschieden sein. Wenn Einsetzen von Konstanten gleiches Ergebnis ergibt, nennt man sie äquivalent (gleichwertig).

Es gibt allgemeingültige Aussageformen (für alle «…» gilt…). Man nennt sie auch «eine Identität».

• Bps.: \(x+y=y+x\)
• man könnte auch sagen: \(für beliebige (ganze)Zahlen x, y gilt:x+y=y+x\) Die allgemeingültige Aussageform geht in eine wahre Aussage über. Man schreibt kürzer:
  •  \(∀x,y(x+y=y+x)\)oder präziser \(∀x∀y(x+y=y+x)\)
    • Jetzt ist’s eine generelle Aussage (auch wenn sie falsch wäre! – es geht darum, ob «für alle gilt..»)
      • Eingeleitet durch Allquantor  \(∀x,y\) in Worten «für alle x, y.
        • Durch Voransetzen des Quantors wurden die freien Variablen x,y gebunden.
          • Durch Binden der freien Variablen geht die Aussageform in Aussage über.

Es gibt existentielle Aussagen (es existiert «..» für die gilt).

• \(x>y+1\)
• Gilt nicht für alle Zahlen. Aber: «Es existiert eine Zahl x und eine Zahl y so, dass \(x>y+1\).
  •  \(∃x,y(x>y+1) \)oder präziser \(∃x ∃y(x>y+1) \)
    • Dies ist eine existentielle Aussage; wird durch Existenzquantor «\(∃x,y\)» (es existiert x, y) eingeleitet.
      • Durch Binden der freien Variablen geht Aussageform in Aussage über.

Es gibt bedingt existentielle Aussagen. Das sind wahre/falsche Aussagen, wo die Variablen durch Allquantoren und Existenzquantoren gebunden sind:

• \(∀x,y ∃z(x=y+z) \)Achtung:  \(∃z(x=y+z) \)ist eine (allgemeingültige) Aussageform mit den freien Variablen x, y.)

ist ein Operator der Prädikatenlogik. Allen Quantoren gemeinsam ist, dass sie Variablen binden. 
Die bekanntesten Quantoren sind der Allquantor \(\forall x\) (alle, jeder, für alle gilt..) und Existenzquantor \(\exists x\) (es exisitert ein..., für mind. eines gilt...) 

Wann wird Aussageform erfüllt?

• Aussageform wird dann von Konstanten erfüllt, wenn durch Einsetzen dieser Konstanten eine wahre Aussage entsteht.
• Man sagt: Konstante = Lösung der Aussageform.
  • Bsp.: \(x+y=5\) :Paare (2,3) und (1,4) sind Lösungen.

Konstante: Genau festgelegte Bedeutung. Bleibt in Überlegungen unverändert. Z. B. die Zahlen 0, 1 oder e oder \(\pi \). Bei Konstanten ist die Frage sinnvoll, ob z. B. 0 = Zahl -> ja, nein. 

Variable: Keine festgelegte Bedeutung. Stehen für Objekte (in Arithmetik meist für Zahlen).  -> Platzhalter. Die Frage "ist x eine Zahl?" ist nicht sinnvoll. 

1. Existenzielle Aussage

2. Allgemeingültige Aussage

3. Eine Aussage (falsch)

4. Term

5. Generelle Aussage

6. Das erste ist ein Term. Die beiden anderen nicht. Das eine hat keine richtige Syntax, das andere hat ein Relationszeichen. Ein Term hat keine Relationszeichen. 

Die Subjunktion ist auch dann wahr (Abmachung wird eingehalten), wenn es heisst "Ich bin nicht müde, ich gehe schlafen".