Grundbegriffe Mathematik Teil 1

Die Menge der Natürlichen Zahlen

Die Menge der Ganzen Zahlen. Also alle Zahlen ohne Kommastellen. Die negativen Zahlen und Null gehören dazu. 

Die Menge der rationalen Zahlen. Also alle Brüche, die im Zähler eine ganze Zahl und im Nenner eine natürliche Zahl ausser der 0 haben.

Die Menge aller reellen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen enthält alle Zahlen, die du aus der Schule kennst. Sie besteht aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen . Jede irrationale und rationale Zahl ist also gleichzeitig eine reelle Zahl.

Aussage = sprachliches Gebilde ¨entweder falsch / wahr. Wenn Variablen vorkommen,
sind sie durch Quantoren oder andere Operatoren gebunden (für alle x, es existiert ein x…)
Beispiele:

1. Zürich ist Hauptstadt der Schweiz
2. 2+5=7
3. \(x^3+y^3=z^3 \)Die Gleichung  besitzt ausser der trivialen keine ganzzahligen Lösungen.
4. Tycho Brahe wurde 1601 von Johannes Keppler vergiftet.
5. \(x+3=5\)

Alles sind Aussagen, ausser 5. -> Nicht klar, ob wahr od. falsch.

5. ist eine Aussageform = sprachliches Gebilde mit mind. 1 Variablen.
In einer Aussageform sind die Variablen frei. Z. B. \(x>23\)
Nach Einsetzen einer Konstanten in Variable wird’s zur Aussage. 
\(2+3=5 (wahre Aussage)\)

\(x^2−5x+6\)  ist keine Aussageform, sondern ein (arithmetischer) Term.

• Terme sind sprachliche Ausdrücke, die eine Zahl oder ein anderes Objekt bezeichnen. Insbesondere sind Variable Terme. Mit Hilfe von Verknüpfungen können aus Termen weitere Terme gebildet werden. Man kann nicht sagen, es ist wahr/falsch (Aussage). Auch nach Einsetzen einer Konstanten nicht (Aussageform).
• Terme können iterativ (schrittweise) definiert werden:
  • Konstante + Variable sind Terme.
  • Ersetzen einer Variablen durch einen Term ergibt wieder einen Term.
  • Ausüben der im betrachtenden Bereich definierten Operationen auf Terme liefert wieder Terme.
• Terme können verschieden sein. Wenn Einsetzen von Konstanten gleiches Ergebnis ergibt, nennt man sie äquivalent (gleichwertig).

Es gibt allgemeingültige Aussageformen (für alle «…» gilt…). Man nennt sie auch «eine Identität».

• Bps.: \(x+y=y+x\)
• man könnte auch sagen: \(für beliebige (ganze)Zahlen x, y gilt:x+y=y+x\) Die allgemeingültige Aussageform geht in eine wahre Aussage über. Man schreibt kürzer:
  •  \(∀x,y(x+y=y+x)\)oder präziser \(∀x∀y(x+y=y+x)\)
    • Jetzt ist’s eine generelle Aussage (auch wenn sie falsch wäre! – es geht darum, ob «für alle gilt..»)
      • Eingeleitet durch Allquantor  \(∀x,y\) in Worten «für alle x, y.
        • Durch Voransetzen des Quantors wurden die freien Variablen x,y gebunden.
          • Durch Binden der freien Variablen geht die Aussageform in Aussage über.

Es gibt existentielle Aussagen (es existiert «..» für die gilt).

• \(x>y+1\)
• Gilt nicht für alle Zahlen. Aber: «Es existiert eine Zahl x und eine Zahl y so, dass \(x>y+1\).
  •  \(∃x,y(x>y+1) \)oder präziser \(∃x ∃y(x>y+1) \)
    • Dies ist eine existentielle Aussage; wird durch Existenzquantor «\(∃x,y\)» (es existiert x, y) eingeleitet.
      • Durch Binden der freien Variablen geht Aussageform in Aussage über.

Es gibt bedingt existentielle Aussagen. Das sind wahre/falsche Aussagen, wo die Variablen durch Allquantoren und Existenzquantoren gebunden sind:

• \(∀x,y ∃z(x=y+z) \)Achtung:  \(∃z(x=y+z) \)ist eine (allgemeingültige) Aussageform mit den freien Variablen x, y.)

ist ein Operator der Prädikatenlogik. Allen Quantoren gemeinsam ist, dass sie Variablen binden. 
Die bekanntesten Quantoren sind der Allquantor \(\forall x\) (alle, jeder, für alle gilt..) und Existenzquantor \(\exists x\) (es exisitert ein..., für mind. eines gilt...) 

Wann wird Aussageform erfüllt?

• Aussageform wird dann von Konstanten erfüllt, wenn durch Einsetzen dieser Konstanten eine wahre Aussage entsteht.
• Man sagt: Konstante = Lösung der Aussageform.
  • Bsp.: \(x+y=5\) :Paare (2,3) und (1,4) sind Lösungen.