ZZ AM Math Einleitung Funktionen

• Exponent um eines erhöhen, Ursprungszahl vor x / neuer Exponent, das gibt neue Zahl vor x
• Bei natürlichen Zahlen ein x anhängen
• Am Ende IMMER+ c anhängen

Die Grenzwerte bei einem bestimmten Intervall, z. B. von 3 bis 8.

• Integrieren wie beim unbestimmten
• Für x den oberen Grenzwert einsetzen, dann minus für x den unteren Grenzwert einsetzen.
• Das c fällt weg, darum kann beim bestimmen der Stammfunktion c = null gesetzt werden

Es braucht einen Vorzeichenwechsel, also das entsprechende Vorzeichen vor die Klammer, wie gewohnt ausrechnen, Resultat bleibt gleich.

Wenn man das Intervall -3 bis 5 hat kann man das entweder direkt so einsetzen, oder z. B -3 bis -1 ausrechnen und plus das Ergebnis aus -1 bis 5 rechnen.

• Potenzregel
• Faktorenregel
• Summenregel

• xⁿ = 1 / n + 1 * x ^{n + 1}
• x ^-1 = 1 / x = ln/x/ + c

Wenn x² * 3, Wurzel von x: x² * x^1/3 = x^7/3, dann gleich wie oben

Konstante Faktoren können vor das Integralzeichen geschrieben werden, und verändern sich nicht.

Man kann summandenweise integrieren.

• x² + 1 / x = x² / x + 1 / x, dann weiter wie oben

• Die natürliche e^x Integriert e^x + c
• Die allgemeine a^x Integriert a^x / ln(a)    +c

Wenn 2^{x - 3} = 2^x * 2^-3 = 2^x * 1 / 2³, ausrechnen, weiter wie oben

???

Durch das bestimmte Integral;

• Wenn der Graph auf dem Intervall nur oberhalb der x-Achse ist, ist das Ergebnis positiv
• Wenn er nur unterhalb ist, ist das Ergebnis negativ
  • Lösung: Betragsstriche
• Wenn der Graph beiden Orten ist, wird von Nullstelle zu Nullstelle integriert und die Beträge werden zusammengezählt

Wenn sie sich nicht schneiden, indem man den die eine Funktion minus die andere rechnet;

1. Graph 2 minus Graph 1 rechnen
2. Resultat integrieren
3. Intervallgrenzen einsetzen und minus rechnen (wie gewohnt)

Wenn sie sich schneiden:

1. Schnittpunkte berechnen und als Intervallgrenzen bestimmen
2. Dann gleich wie oben

anschauen

abhängige Variable, Funktionswert and der Stelle x, Ordinatenwert

• Die x-Achse heisst auch erste Achse oder Abszissenachse
• Die y-Achse heisst auch zweite Achse oder Ordinatenachse
• Der Schnittpunkt der Achsen heisst Urpsrung (Origio) oder Nullpunkt
• Man schreibt P( x / f(x) )

• Die graphische Darstellung ergibt immer eine Gerade
• f (x) = mx + q
  • m = Steigung, q = Ordinatenabschnitt (dort schneidet der Graph die f (x) - Achse)
• senkrecht = nicht definierte Steigung
• Beim Steigungsdreieck zeichnen soviel wie nach oben/unten = 1., soviel wie nach links/rechts = 2.
  • 2 nach oben, 5 nach links bedeutet m = 2/5
  • m = f (x2) - f (x1) / x2 - x1
• Funktionstypen: Funktion ersten Grades, Proportionalität, konstante Funktion

• Die Funktion ersten Grades
  • f (x) = mx + q
  • m und x ungleich null
  • m = Delta f (x) / Delta x => 2 / 7
  • schneidet f (x) bei q
• Die Proportionalität
  • f (x) = mx
  • q = 0
  • Gerade, die durch den Nullpunkt verläuft
• Die konstante Funktion
  • f (x) = q
  • m = 0
  • Parallele zur Abszissenachse durch den Punkt ( 0 / q )

• f (x) = ax² + bx + c
  • auch ganzrationale Funktion zweiten Grades
  • a ungleich null
• Grundtyp (einfachste quadratische Funktion) ist die Quadratfunktion f (x) = x²
• Graphen heissen Parabeln, der des Grundtyps heisst Normalparabel
• additive Konstante: x² + 2 => zwei nach oben, x² - 2 => zwei nach unten / ansonsten gleich
  • D. h. der Graph dieser Funktion ist kongruent zur Normalparabel
  • Verschiebungsvektor (⁰_c)
  • Der Scheitel ist der Punt S( 0 / c )
• wenn (x +/- s1)² dann, (x + 1)² => eins nach links, (x - 1)² = eins nach rechts
  • D. h. der Graph dieser Funktion ist kongruent zur Normalparabel
  • Verschiebungsvektor (^s1₀)
  • Der Scheitel ist der Punkt S( s1 / 0 )

• f (x) = (x - s1)² + s2
• kongruent zur Normalparabel
• Verschiebungsvektor (^s1_s2)
• Scheitelpunkt S( s1 / s2)

• allgemeine Form: ax² + bx + c
• Scheitelform: a ( x + b/2a)² - b² - 4ac / 4a
• Verschiebungsvekor ist (^b/2a_{b2 - 4ac/4a})
  • Scheitelpunkt S genau gleich einfach ( -x / -y)
• a ist der Streckungsfaktor k ausgehend von der Normalparabel
  • a = 1 => kongruent
  • a < 1 => gestreckt
  • a > 1 => gestaucht
  • Wenn a grösser null, dann Parabel nach oben offen, sonst unten
  • k = 1/a

• f (x) = xⁿ
• Wenn n grösser 0, dann ganzrational, sonst gebrochenrational
• Der Graph heisst Parabel n-ter Ordnung
• Es gibt gerade und ungerade Exponenten sowie solche mit negativen Exponenten

• f ( x) = x²ⁿ
• z.B 2 * 1, 2 * 2 ....
• heissen gerade Funktionen, d. h. f (x) = f (-x)
• Alle Graphen verlaufen durch die Punkte P₁( -1 / 1 ), P₂( 0 / 0 ) und P₃( 1 / 1 )
• Parabeln sind axialsymetrisch (zur f (x) - Achse)
• Je höher der Grad der Funktion, desto steiler die Parabel

• f (x) = x^{2n + 1}
• z. B. 2 * 1 + 1, 2 * 2 + 1, .....
• heissen ungerade Funktionen, d. h. f (x) = -f (x)
• Alle Graphen verlaufen durch die Punkte P₁( 1 / 1 ), P₂( 0 / 0 ) und P₃( -1 / -1 )
• Sind punktsymmetrisch zum Ursprung (Ursprung ist Symmetryzentrum)
• Je höher der Grad der Funkton, desto steiler der Graph bei grösser 1 und kleiner -1

Eine Gerade oder eine Kurve, der sich ein Funktionsgraph immer mehr nähert, ohne sie zu berühren.

• x - Achse = waagrechte Asymptote
• Gerade = schiefe Asymptote

Dort ist kein Wert definiert, weil der Funktionsgraph sich nur nähert, aber den Punkt nie berührt.

• f (x) = x^-n oder auch f (x) = 1 / xⁿ
• heisst Hyberbel n-ter Ordnung (Hyperbel gerader/ungerader Ordnung)
  • Es sind namentlich 1 / x²ⁿ und 1 / x^{2n + 1}
• ungerade Ordnung:
  • immer P₁( -1 / -1 ) und P₂( 1 / 1 )
  • punktsymmetrisch zum Ursprung
  • x = 0
  • f (x) = -f (x) => ungerade Funktion
• gerade Ordnung:
  • immer P₁( 1 / 1 ) und P₂( -1 / 1 )
  • Axialsymmetrisch zur f (x) - Achse
  • x = 0
  • f (x) = f (-x) => gerade Funktion