ZZ AM Math Einleitung Funktionen

• f (x) = (x - s1)² + s2
• kongruent zur Normalparabel
• Verschiebungsvektor (^s1_s2)
• Scheitelpunkt S( s1 / s2)

• allgemeine Form: ax² + bx + c
• Scheitelform: a ( x + b/2a)² - b² - 4ac / 4a
• Verschiebungsvekor ist (^b/2a_{b2 - 4ac/4a})
  • Scheitelpunkt S genau gleich einfach ( -x / -y)
• a ist der Streckungsfaktor k ausgehend von der Normalparabel
  • a = 1 => kongruent
  • a < 1 => gestreckt
  • a > 1 => gestaucht
  • Wenn a grösser null, dann Parabel nach oben offen, sonst unten
  • k = 1/a

• f (x) = xⁿ
• Wenn n grösser 0, dann ganzrational, sonst gebrochenrational
• Der Graph heisst Parabel n-ter Ordnung
• Es gibt gerade und ungerade Exponenten sowie solche mit negativen Exponenten

• f ( x) = x²ⁿ
• z.B 2 * 1, 2 * 2 ....
• heissen gerade Funktionen, d. h. f (x) = f (-x)
• Alle Graphen verlaufen durch die Punkte P₁( -1 / 1 ), P₂( 0 / 0 ) und P₃( 1 / 1 )
• Parabeln sind axialsymetrisch (zur f (x) - Achse)
• Je höher der Grad der Funktion, desto steiler die Parabel

• f (x) = x^{2n + 1}
• z. B. 2 * 1 + 1, 2 * 2 + 1, .....
• heissen ungerade Funktionen, d. h. f (x) = -f (x)
• Alle Graphen verlaufen durch die Punkte P₁( 1 / 1 ), P₂( 0 / 0 ) und P₃( -1 / -1 )
• Sind punktsymmetrisch zum Ursprung (Ursprung ist Symmetryzentrum)
• Je höher der Grad der Funkton, desto steiler der Graph bei grösser 1 und kleiner -1

Eine Gerade oder eine Kurve, der sich ein Funktionsgraph immer mehr nähert, ohne sie zu berühren.

• x - Achse = waagrechte Asymptote
• Gerade = schiefe Asymptote

Dort ist kein Wert definiert, weil der Funktionsgraph sich nur nähert, aber den Punkt nie berührt.

• f (x) = x^-n oder auch f (x) = 1 / xⁿ
• heisst Hyberbel n-ter Ordnung (Hyperbel gerader/ungerader Ordnung)
  • Es sind namentlich 1 / x²ⁿ und 1 / x^{2n + 1}
• ungerade Ordnung:
  • immer P₁( -1 / -1 ) und P₂( 1 / 1 )
  • punktsymmetrisch zum Ursprung
  • x = 0
  • f (x) = -f (x) => ungerade Funktion
• gerade Ordnung:
  • immer P₁( 1 / 1 ) und P₂( -1 / 1 )
  • Axialsymmetrisch zur f (x) - Achse
  • x = 0
  • f (x) = f (-x) => gerade Funktion

• f (x) = b^x
• "Exponentialfunktion zur Basis b"
• f (t) = a mal b^t, wobei t = Zeit
  • exponentielle Wachstumsfunktion wenn b > 1, exponentielle Zerfallsfunktion wenn 0 < b < 1

• f (x) = log_b(x)
• "Logarithmusfunktion zur Basis b
• log_a(b) = log₁₀(b) / log₁₀(a)

Wenn die durch sie vermittelte Zuordnung umkehrbar eindeutig ist, also jedem f (x) ein x zugeteilt werden kann.

Dabei wird zwischen der Ausgangsfunktion und der Umkehrfunktion unterschieden.

• Graphisch: spiegeln an der f (x) = x Achse
• Rechnerisch: f (x) = HIER FUNKTIONSTERM EINSETZEN nach x auflösen und dann f (x) und x vertauschen

Grundfunktionen, elementare Funktionen, höhere mathematische Funktionen

• Konstantenfunktion
• Lineare Funktion
• Potenzfunktion
• Hyperbelfunktion
• Exponentialfunktion
• Trgonometrische Funktion
• Wurzelfunktion
• Logarithmusfunktion
• Arcusfunktion

Wenn man Grundfunktionen rational verknüpft mit +-:x oder verkettet (Funktionen von Funktionen, innere und äussere Funktion)

• 2x³ + 5x + 8
• sin(Wurzel x)

Die Differenzialrechnung und die Integralrechnung, Grundlage für höhere Analysis

• Ein Term mit x⁵, x⁴, x² usw.
• grösster Exponent bestimmt Grad, x³ =  Polynom 3. Grades
• x¹ = lineares Polynom
• Nur Polynom wenn Exponent eine natürliche Zahl, 1/2 oder x zählen nicht

1. Beide Polynome nach dem grössten x^etwas ordnen
2. Das erste linke geteilt durch das erste rechte, Resultat
3. Zurückrechnen mit allen rechten, unten aufschreiben
4. In Klammer setzen und minus rechnen
5. Rest von oben abschreiben und alles wiederholen
6. Wenn Rest (natürliche Zahl ohne x), dann diese Zahl / durch das rechte

Wenn man bei einer Gleichung n-ten Grades = 0 Lösungen findet (die erste durch Probieren, positive und negative Teiler der ganzen Zahl durchgehen), und die Lösung x_{1 = 3 ist, bedeutet das dass der Linearfaktor (x - 3) ist.}

_{Eine Gleichung hat max. so viele Lösungen wie der höchste Exponent.}

Gelesen: Der Limes des Term (1 + 3x) für n gegen (0) ist gleich (15).

Beim Limes, x nähert sich dieser Zahl immer mehr, erreicht sie aber nie.

Ein Funktionsgraph, der innert des Definitionsberechs nahtlos gezeichnet werden kann, also ohne Absetzen des Stifts.

Funktionen, welche aus Polynomen bestehen.

Ganzrationale haben keine Brüche, gebrochenrationale haben einen.

Voraussetzung: Natürliche Exponenten

lim x=> unenedlich f (x)

• Wenn der Zähler (oben) grösser ist als der Nenner (unten) ist f (x) => unendlich
• Wenn der Zähler kleiner ist, ist f (x) gegen 0
• Sind beide gleich gross, gibt es einen genauen Wert; die Zahlen die jeweils vor dem grössten Exponenten stehen.

Gebrochenrationale Funktionen sind nicht definiert, wenn der Nenner gleich 0 ist

1. Definitionslücke bestimmen
2. Wert der Definitionslücke für x einsetzen und schauen ob Zähler oder Nenner grösser, gegen unendlich oder null
3. Im Nenner die Zahl grösser und die Zahl kleiner als Definitionslücke einsetzen:
   1. Zähler oder Nenner grösser?
   2. Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert, manchmal an DL Vorzeichenwechsel

Wahrscheinlich nur +/- unendlich möglich, weil unterer Teil ja immer kleiner, da null

Die Steigung m einer Geraden.

Sie wird bestimmt durch f (x₂) - f (x₁) / (x₂) - (x₁)

Wobei der Zähler nach oben unten verschiebt und der Nenner nach links rechts

Wenn eine Parabel, bspw. die Normalparabel, nicht eine konstante Steigung haben sondern eine exponentielle, so ist die Steigung an jedem Punkt P im Graph anders.

• Wenn man die Steigung bei R will, Punkt R und Punkt S nach Differenzenquotient machen
• Dann Intervall verkleinern, S an R immer weiter annähern, so kommt man immer näher an die tatsächliche Steigung

Dieser Grenzwert, der dabei raus kommt, gibt die Tangentensteigung im Punkt R an.

• Besagt, dass beim Ableiten die ganzen Zahlen ohne x jeweils wegfallen
• Weil diese bestimmen nur wo der Graph die f (x)-Achse schneidet, ob weiter unten oder oben
• Im Gegensatz dazu, bestimmen Multiplikatoren die Steigung, diese muss man berücksichtigen

• Potenzregel x⁴ =4x³
• Konstantenregel 3x + 8 = 3
• Summenregel wie oben
• Produktregel (mal)
• Quotientenregel (Bruch)
• Kettenregel (innere mal äussere)

Die 2. und alle darauffolgenden Ableitungen

Wenn es x⁴ ist als höchste, dann ist die 5. AL gleich null

1. Definitionsbereich
2. Symmetrie
3. Verhalten im Unendlichen, Asymptoten
4. Definitionslücken
5. Nullstellen, Schnittpunkte mit f(x)
6. Extrempunkte, Wendepunkte, Terrassenpunkte
7. Graphische Darstellung

• Hoch-/Tiefpunkte (Extrema): 1. gleich null und 2. ungleich null
• Wendepunkte: 2. gleich null und 3. ungleich null
• Terrassenpunkte (Sattelpunkte): 1. gleich null und 2. gleich null und 3. ungleich null
  • Wendepunkt mit Steigung null, dh. waagrechter Tangente