Nahme lerne lehre

- Skepsis, dass die verwendeten Ausprägungskategorien in inhaltlicher Hinsicht die Anforderungen einer Intervallskala erfüllen
Bsp.: Schlechte Testkonstruktion/Prüfungsgestaltung: Aufgabe 1 gibt max. 5 Punkte, ebenso Aufgabe 2; Aufgabe 1 ist aber viel schwieriger zu lösen als Aufgabe 2. Somit haben 5 Punkte in Aufgabe 1 zu erreichen eine inhaltlich andere Bedeutung, als 5 Punkte
in Aufgabe 2 zu erreichen (im Hinblick auf das Messkonstrukt, z.B. mathematisches Talent)
- Voraussetzungen über die Verteilung in der Population nicht erfüllt (Normalverteilung)

Ist ein solcher Grund gegeben, kommen sog. verteilungsfreie Verfahren zum Einsatz, welche sich nicht auf Verteilungsparameter stützen, sondern die Rangfolgen der Daten zur Prüfung heranziehen.
Es werden also nicht Mittelwerte verglichen, sondern die zentrale Tendenz.

U-Test nach Mann-Whitney
- Prüfgrösse: U oder U' (es wird immer die kleinere von beiden verwendet)
- Prüfverteilung: z-Verteilung, wenn n1 oder n2 > 10

Wilcoxon-Test
- Prüfgrösse: T oder T'
- z-Verteilung, wenn n ≥ 25, ansonsten T-Verteilung

Wenn nicht bereits aus der wissenschaftlichen Literatur bekannt ist, dass das interessierende Merkmal in der Population (näherungsweise) normalverteilt ist, lässt sich der goodness of fit test (Kolmogorov-Smirnov Test) einsetzen.

Kolmogorov-Smirnov Goodness of Fit-Tests

1. Vergleich der in der Stichprobe erhobenen Verteilung mit der Normalverteilung
2. Beurteilung, ob die Stichprobendaten nur zufällig von der Normalverteilung
abweichen
3. Falls ja: Annahme, dass das Merkmal in der Population näherungsweise
normaverteilt ist
4. à Ggf. Verwendung von parametrischen Prüfverfahren (t-Test)

SPSS: Verwendung des Kolmogorov-Smirnov Goodness of Fit-Tests
n Annahme einer Normalverteilung in der Population, wenn die
Überschreitungswahrscheinlichkeit ≥ 25 %!
¨ Grund für dieses Signifikanzniveau ist die Verringerung des Beta-Fehlers

1. Zusammenstellung und Überprüfung der Voraussetzungen des geprüften „Wirkungsmodells"
- Voraussetzung bezüglich Skalenniveau: Intervall- oder Proportionalskala
- Normalverteilung des Merkmals in der Population
¨ Man weiss, dass das Merkmal in der Population normalverteilt ist (selten der Fall)
¨ Überprüfung der Stichprobendaten auf Normalverteilung (K-S-Test). Falls gegeben, so
darf in der Regel für die Population auch eine Normalverteilung angenommen werden.
- Falls keine Normalverteilung gegeben: n > 25 in jeder Gruppe? Falls ja, weiter mit
nächstem Schritt
- Homogene Stichprobenvarianzen: Falls ja à Varianzanalyse
- Generell brauchbare Verfahren in SPSS: Bartlett-Test oder Test nach Levene

2. Formulierung der Arbeitshypothese
3. Prüfung der Arbeitshypothese mit Hilfe von SPSS
4. Interpretation der Resultate hinsichtlich „Wirkungsmodell" oder bezüglich des simultanen Mittelwert-Vergleichs

Parametrische Verfahren der Varianzanalyse machen relativ strenge Voraussetzungen bezüglich:
- des Skalenniveaus der abhängigen Variablen (AV)
- der Verteilung der Werte der AV in der Population
- der Homogenität der Stichprobenvarianzen
- und ggf. auch der Stichprobenkorrelationen

Einen positiven Einfluss auf die Einhaltung der Voraussetzungen hat folgende Situation:
- gleich grosse Stichproben und zugleich
- Stichprobengrösse ≥ 10

- Ansonsten führt eine Verletzung bereits einer Voraussetzung dazu, dass eine parametrische Varianzanalyse unbrauchbar wird!
- à In solchen Fällen kommen nichtparametrische oder verteilungsfreie
Verfahren zum Einsatz

H-Test nach Kruskal-Wallis
- Entspricht einer univariaten, einfaktoriellen Rangvarianzanalyse
- wird angewendet, wenn die Voraussetzungen für eine Varianzanalyse nicht erfüllt sind
- Wenn die abhängige Variable ordinalskaliert ist, kann ohne Prüfung weiterer Voraussetzungen der H-Test angewendet werden

(1) Formulierung der Nullhypothese (Arbeitshypothese)
¨ Bsp.: „Die unabhängige Variable (UV) „Zivilstand" und die abhängige Variable (AV)
„Berufliche Position" stehen in keinem Zusammenhang, der nicht durch den Zufall zu
erklären ist."
(2) Testdurchführung mit SPSS und Prüfung der Arbeitshypothese
¨ Relevante Kennwerte: Prüfgrösse: Chi-Quadrat ; Prozentangabe zur Signifikanz
¨ Ablehnung der Arbeitshypothese gemäss vorgewähltem Signifikanzniveau
¨ (p ≤ 0.1 % p ≤ 1 %, p ≤ 5 %)
(3) Interpretation:
¨ Ablehnung der Arbeitshypothese, wenn das vorgewählte Signifikanzniveau erreicht oder
unterschritten wird. Dann:
¨ „Die UV „Zivilstand" steht mit der AV „Berufliche Position" in einem Zusammenhang, der mit einer vorgewählten Irrtumswahrscheinlichkeit p (0.1/1 oder 5 %) nicht dem Zufall zuzuschreiben ist."
(5) Einzelvergleiche, falls der Test signifikant wird
¨ Ein signifikantes Ergebnis bedeutet, dass sich mindestens zwei Stichproben signifikant unterscheiden. Unklar bleibt jedoch, welche und wie viele Stichproben sich unterscheiden.
¨ à Durchführung von Einzelvergleichen mit Hilfe des U-Tests nach Mann-Whitney

Spearman-Korrelation / Kendall-Tau-Korrelation mit geringeren Ansprüchen
an die Voraussetzungen
n typisch bei folgenden Skalenniveau-Kombinationen:
¨ ordinal - ordinal
¨ ordinal - intervall/proportional
¨ intervall/proportional - intervall/proportional (bei nicht gegebener Normalverteilung)
n Kendall-Tau-Korrelation ist vorzuziehen, wenn Ausreisser in den Daten auftreten

klein = 0.1
Mittel = 0.3
Gross = 0.5 weil nur eine variable mehr als 50% ausmacht

Kovarianz ( cov(x, y) ): Das „miteinander variieren"
je weiter der Wert von Null entfernt ist, desto enger der Zusammenhang zwischen den
zwei Variablen
¨ positiver Wert: gleichsinniger Zusammenhang
¨ negativer Wert: gegensinniger Zusammenhang

Korrelationskoeffizient (r): Zusammenhangsmass
gibt Auskunft über die Stärke des Zusammenhangs/des Kovariierens
möglicher Wertebereich: -1 bis 1, weil hier...
...die Kovarianz in einen einheitlichen Wertebereich transformiert wird (Division durch
das Produkt der Standardabweichungen der beiden Variablen)

Unterschiedshypothesen
- Aufklärung von Unterschieden bei Verteilungskennwerten (z.B. Mittelwert/Standardabweichung)
- Grundsatzfrage, inwiefern der Zufall für die Unterschiede verantwortlich ist
- Die Wahrscheinlichkeitstheorie ermöglicht es uns einzuschätzen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein ganz bestimmter Unterschied rein zufällig zustande kommt,
unter der Annahme, dass: für die Vergleichsstichproben vorausgesetzt werden kann, dass sie aus Populationen stammen, die identische Mittelwerte aufweisen

1. Wir postulieren mit der Nullhypothese H0, dass Unterschiede hinsichtlich der Kennwerte zufällig bestehen
2. Wir bestimmen eine Irrtumswahrscheinlichkeit für die Verwerfung der Nullhypothese (5 % / 1 % / 0.1 % - signifikant / sehr signifikant / hoch signifikant)
3. Anwendung des Prüfverfahrens, also Test auf signifikante Unterschiede
4. Interpretation der Unterschiede

unspezifische und spezifische Alternativhypothese

unspezifische Alternativhypothese: H1: μ1 ≠ μ2
- „Die beiden Stichproben stammen aus Populationen mit unterschiedlichen
Mittelwerten."

spezifische Alternativhypothese: H1: μ1 = 0.5 + μ2
- „Der Mittelwert der Population, aus welcher Stichprobe 1 stammt, ist um 0.5 höher als
der Mittelwert der Population, aus welcher Stichprobe 2 stammt."

Eine zweiseitge Hypothesenprüfung interessiert uns die Wahrscheinlichkeit von positiven und negativen Differenzen also ob links und rechts von der Normalverteilung Ausreisser auftreten. Bei der einseitigen Prüfung interessiert uns nur eine Seite, da wir empirisch davon ausgehen können, dass nur dort ein Ausreisser stattfindet.

Alpha-Fehler (Fehler erster Art): Nullhypothese wird fälschlicherweise abgelehnt
- Risiko kann abgeschätzt werden
Beta-Fehler (Fehler zweiter Art): Nullhypothese wird irrtümlicherweise angenommen
- Risiko kann nur im Falle einer spezifischen Alternativhypothese abgeschätzt werden

Interpretation: Der Unterschied ist nicht zufällig entstanden bzw. irren wir uns diesbezüglich mit einer maximalen Wahrscheinlichkeit von 5 %. Worin die Ursache für den beobachteten Unterschied liegt, ist Interpretationssache der Forscherin/des Forschers und kann nicht mit Hilfe des verwendeten Prüfverfahrens eruiert werden.

Interpretation: Wir schliessen nicht aus, dass der Unterschied zufällig entstanden ist, da die Wahrscheinlichkeit diesbezüglich doch über 5 % liegt. Die Nullhypothese wird beibehalten und wir gehen davon aus, dass beide Stichproben aus Populationen mit identischen Kennwerten (z.B. μ oder σ) stammen.

unabhängige oder abhängige Stichproben
kleine oder grosse Stichproben
homogene oder inhomogene Stichprobenvarianzen
einseitige oder zweiseitige Hypothesenprüfung
Wahl des Signifikanzniveaus