Modulare Arithmetik

ggT(136, 123) = 1

ggT(2341, 5817) = 1

s := 2 und t := −1

s := 19 und t := −21

Mit dem Euklidischen Algorithmus lässt sich der größte gemeinsame Teiler von zwei natürlichen Zahlen bestimmen. Darüber hinaus findet er beim Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik Anwendung

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen a und b teilt zum einen diese beiden Zahlen, zum anderen wird er selbst von jeder ganzen Zahl geteilt, die ebenfalls diese beiden Zahlen teilt.

Es ist zu beachten, dass der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen per Definition immer eine natürliche Zahl, also insbesondere immer positiv, ist.

a) Seien a = 15 und b = 3. Dann ist 15 = 3 · 5 + 0, also q = 3 und r = 0.

b) Seien a = 5 und b = 2. Dann ist 5 = 2 · 5 + 1, also q = 2 und r = 1.

Seien a := 15 und b := 60. Ohne Anwendung des Euklidischen Algorithmus könnten wir den größten gemeinsamen Teiler z. B. durch einen Vergleich der Teilermengen bestimmen.

Hierzu ermitteln wir zunächst diejenigen natürlichen Zahlen, die sowohl a als auch b teilen. Dies sind 1, 3, 5 und 15. Es existieren noch weitere Zahlen, die entweder nur a oder nur b teilen. Da wir jedoch auf der Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler sind, sind diese Zahlen nicht relevant.

Die Zahlen 1, 3 und 5 können jeweils keine größten gemeinsamen Teiler von a und b sein, denn sie werden nicht von 15 geteilt. Der größte gemeinsame Teiler ist somit 15, denn 15|a und 15|b und 15 selbst wird jeweils von 1, 3 und 5 geteilt.

3 * 5 = 15

ggT(65, 20) = 5

Seien a, b ∈ ℤ mit a ≠ 0. Dann gibt es Zahlen s, t ∈ ℤ mit ggT(a, b) = s*a + t*b

Häufig kombiniert man das Lemma von Bézout mit dem Euklidischen Algorithmus und berechnet dann zuerst den größten gemeinsamen Teiler und im Anschluss daran die Zahlen s und t. Man spricht dann hierbei häufig auch vom erweiterten Euklidischen Algorithmus.

Seien a, b ∈ ℤ und sei p ∈ ℕ eine Primzahl. Wenn p ein Teiler von ab ist, d. h. wenn p|ab gilt, dann gilt auch p|a oder p|b.

Jede natürliche Zahl x ∈ ℕ lässt sich in eindeutiger Weise als Produkt von endlich vielen Primzahlen p1, …, pn, also in der Form x = p1 · … · pn, schreiben. Wir nennen das Produkt p1 · … · pn die Primfaktorzerlegung von x.