...
Kartei Details
| Zusammenfassung | Diese Lernkarten bieten eine vertiefte Einführung in die modulare Arithmetik auf Universitätsniveau. Sie konzentrieren sich auf zentrale Konzepte wie den Euklidischen Algorithmus, den größten gemeinsamen Teiler, das Lemma von Bézout und die Primfaktorzerlegung. Die Karteikarten erklären, wie diese Konzepte angewendet werden, um mathematische Probleme zu lösen, und bieten praktische Beispiele zur Berechnung von Teilern und zur Anwendung des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Diese Lernkarten sind ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in modularer Arithmetik vertiefen und ihre Fähigkeiten in der Anwendung dieser Algorithmen verbessern möchten. |
|---|---|
| Karten | 16 |
| Lernende | 2 |
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 27.04.2021 / 28.09.2023 |
| Weblink |
https://card2brain.ch/box/20210427_modulare_arithmetik
|
| Einbinden |
<iframe src="https://card2brain.ch/box/20210427_modulare_arithmetik/embed" width="780" height="150" scrolling="no" frameborder="0"></iframe>
|
Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den folgenden größten gemeinsamen Teiler:
ggT(45, 81)
ggT(45, 81) = 9
Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den folgenden größten gemeinsamen Teiler:
ggT(136, 123)
ggT(136, 123) = 1
Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den folgenden größten gemeinsamen Teiler:
ggT(2341, 5817)
ggT(2341, 5817) = 1
Bestimmen Sie mithilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus (Lemma von Bézout) jeweils Zahlen s, t ∈ ℤ in der Art, dass Folgendes gilt:
s·45 + t·81= ggT (45,81)
s := 2 und t := −1
Bestimmen Sie mithilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus (Lemma von Bézout) jeweils Zahlen s, t ∈ ℤ in der Art, dass Folgendes gilt:
s·136 + t·123= ggT(136,123)
s := 19 und t := −21
Wozu wird der Euklidische Algorithmus benötigt?
Mit dem Euklidischen Algorithmus lässt sich der größte gemeinsame Teiler von zwei natürlichen Zahlen bestimmen. Darüber hinaus findet er beim Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik Anwendung
Was versteht man unter dem größten gemeinsamen Teiler?
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen a und b teilt zum einen diese beiden Zahlen, zum anderen wird er selbst von jeder ganzen Zahl geteilt, die ebenfalls diese beiden Zahlen teilt.
Es ist zu beachten, dass der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen per Definition immer eine natürliche Zahl, also insbesondere immer positiv, ist.
Benutzen Sie den Satz „Division mit Rest“. Bestimmen Sie r und q.
a) a = 15 und b = 3
b) a = 5 und b = 2
a) Seien a = 15 und b = 3. Dann ist 15 = 3 · 5 + 0, also q = 3 und r = 0.
b) Seien a = 5 und b = 2. Dann ist 5 = 2 · 5 + 1, also q = 2 und r = 1.
Berechnen Sie ohne Anwendung des Euklidischen Algorithmus und ohne die Primfaktorzerlegung die folgenden größten gemeinsamen Teiler von 15 und 60. Erläutern Sie die Vorgehensweise
Seien a := 15 und b := 60. Ohne Anwendung des Euklidischen Algorithmus könnten wir den größten gemeinsamen Teiler z. B. durch einen Vergleich der Teilermengen bestimmen.
Hierzu ermitteln wir zunächst diejenigen natürlichen Zahlen, die sowohl a als auch b teilen. Dies sind 1, 3, 5 und 15. Es existieren noch weitere Zahlen, die entweder nur a oder nur b teilen. Da wir jedoch auf der Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler sind, sind diese Zahlen nicht relevant.
Die Zahlen 1, 3 und 5 können jeweils keine größten gemeinsamen Teiler von a und b sein, denn sie werden nicht von 15 geteilt. Der größte gemeinsame Teiler ist somit 15, denn 15|a und 15|b und 15 selbst wird jeweils von 1, 3 und 5 geteilt.
Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler von 90 und 525 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
3 * 5 = 15
Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 20 und 65.
ggT(65, 20) = 5
Wie lautet das Lemma von Bézout
Seien a, b ∈ ℤ mit a ≠ 0. Dann gibt es Zahlen s, t ∈ ℤ mit ggT(a, b) = s*a + t*b
Was versteht man unter dem erweiterten Euklidischen Algorithmus? Wozu wird er benötigt?
Häufig kombiniert man das Lemma von Bézout mit dem Euklidischen Algorithmus und berechnet dann zuerst den größten gemeinsamen Teiler und im Anschluss daran die Zahlen s und t. Man spricht dann hierbei häufig auch vom erweiterten Euklidischen Algorithmus.
Wie lautet das Lemma von Euklid?
Seien a, b ∈ ℤ und sei p ∈ ℕ eine Primzahl. Wenn p ein Teiler von ab ist, d. h. wenn p|ab gilt, dann gilt auch p|a oder p|b.
Wie lautet der Fundamentalsatz der Arithmetik?
Jede natürliche Zahl x ∈ ℕ lässt sich in eindeutiger Weise als Produkt von endlich vielen Primzahlen p1, …, pn, also in der Form x = p1 · … · pn, schreiben. Wir nennen das Produkt p1 · … · pn die Primfaktorzerlegung von x.
Bestimmen Sie mithilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus jeweils Zahlen s, t ∈ ℤ in der Art, dass s · 42 + t · 120 = ggT(42, 120).
-
- 1 / 16
-
