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Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 27.04.2021 / 28.04.2021
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Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den folgenden größten gemeinsamen Teiler:
ggT(45, 81)

ggT(45, 81) = 9

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Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den folgenden größten gemeinsamen Teiler:
ggT(136, 123)

ggT(136, 123) = 1

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Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den folgenden größten gemeinsamen Teiler:
ggT(2341, 5817)

ggT(2341, 5817) = 1

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Bestimmen Sie mithilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus (Lemma von Bézout) jeweils Zahlen s, t ∈ ℤ in der Art, dass Folgendes gilt:
s·45 + t·81= ggT (45,81)
 

s := 2 und t := −1

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Bestimmen Sie mithilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus (Lemma von Bézout) jeweils Zahlen s, t ∈ ℤ in der Art, dass Folgendes gilt:

s·136 + t·123= ggT(136,123)
 

s := 19 und t := −21

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Wozu wird der Euklidische Algorithmus benötigt?

Mit dem Euklidischen Algorithmus lässt sich der größte gemeinsame Teiler von zwei natürlichen Zahlen bestimmen. Darüber hinaus findet er beim Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik Anwendung

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Was versteht man unter dem größten gemeinsamen Teiler?

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen a und b teilt zum einen diese beiden Zahlen, zum anderen wird er selbst von jeder ganzen Zahl geteilt, die ebenfalls diese beiden Zahlen teilt.

Es ist zu beachten, dass der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen per Definition immer eine natürliche Zahl, also insbesondere immer positiv, ist.

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Benutzen Sie den Satz „Division mit Rest“. Bestimmen Sie r und q.

a) a = 15 und b = 3

b) a = 5 und b = 2

a) Seien a = 15 und b = 3. Dann ist 15 = 3 · 5 + 0, also q = 3 und r = 0.

b) Seien a = 5 und b = 2. Dann ist 5 = 2 · 5 + 1, also q = 2 und r = 1.