Mathematik Grundlagen I
GrundbegriffeBeweistechnikenEndliche Summen
GrundbegriffeBeweistechnikenEndliche Summen
Erläutern Sie, was man unter einem Satz und unter einem Beweis versteht
Satz: mathematische Aussage, die wahr oder falsch sein kann
Beweis: Herleitung einer Aussage, die die Richtigkeit oder Unrichtigkeit dieser Aussage zeigt
Was wird unter einem direkten Beweis verstanden?
Bei direkten Beweisen beginnen wir mit bestimmten Vorraussetzungen und leiten daraus schrittweise die Behauptung her.
Wir zeigen die Richtigkeit der zu beweisenden Aussage dabei direkt.
A=>B ,,aus a folgt b"
Was versteht man unter einem Beweis durch Kontraposition?
Dieser Ansatz basiert auf den Gesetzen der Logik. Anstatt eine Aussage der Form A → B zu beweisen, führt man einen Beweis für den negierten Ausdruck.
Das bedeutet, man zeigt nicht, dass aus der Aussage A die Aussage B folgt, sondern stattdessen, dass aus der Aussage „nicht B“ die Aussage „nicht A“ folgt.
Was versteht man unter einem Beweis durch Ringschluss?
Implikationspfeilen folgen
Was versteht man unter einem Wertebereich einer Variablen? Wie wird dieser dargestellt
Der Wertebereich einer Variablen bestimmt, welche Werte diese Variable annehmen kann.
Um auszudrücken, dass eine Variable x nur Zahlen einer bestimmten Zahlenmenge speichern kann, verwenden wir die Notation \(x \in M\), wobei M für eine der oben genannten Zahlenmengen steht.
Was versteht man unter einer Variablen?
Platzhalter
Was versteht man unter natürlichen Zahlen?
alle positiven ganzen Zahlen
Was versteht man unter rationalen Zahlen?
Hierunter verstehen wir alle Zahlen, die sich als Bruch mit einer ganzen Zahl p und einer natürlichen Zahl q darstellen lassen
\(p \over q\)
Worin besteht der Unterschied zwischen rationalen und reellen Zahlen?
Rationale Zahlen als Teil der reellen Zahlen
Zeigen Sie, dass n3 + 2n durch 3 teilbar ist für alle n ≥ 0.
Starten Sie mit dem Induktionsanfang und formulieren Sie den Induktionsschritt.
Schreiben Sie die folgende Addition mit einem Summensymbol: 1+2+3+4+5
.
Schreiben Sie die folgende Addition mit einem Summensymbol: 5+6+7+8+9+10
.
Schreiben Sie die folgende Addition mit einem Summensymbol: 13+15+17+19+21+23
Schreiben Sie folgendes Summensymbol als Addition:
\(3 \cdot(3-1) + 4\cdot(4-1)+5\cdot(5-1)+6\cdot(6-1)\)
Schreiben Sie folgende Summe mithilfe der Summenformel:
\(i+3+i^2+9+i^3+27\)
\(\sum_{j=1}^3 (i^j +3^j)\)
Beweis durch Wiederspruch
Es gelte die Vorraussetzung A und man nimmt an, B sei falsch. Im Beweis zeigt man nun, dass die Anahme B sei falsch nicht stimmen kann. Daraus folgt das B richtig sein muss.
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Flashcards
Erläutern Sie, was man unter einem Satz und unter einem Beweis versteht
Satz: mathematische Aussage, die wahr oder falsch sein kann
Beweis: Herleitung einer Aussage, die die Richtigkeit oder Unrichtigkeit dieser Aussage zeigt
Was wird unter einem direkten Beweis verstanden?
Bei direkten Beweisen beginnen wir mit bestimmten Vorraussetzungen und leiten daraus schrittweise die Behauptung her.
Wir zeigen die Richtigkeit der zu beweisenden Aussage dabei direkt.
A=>B ,,aus a folgt b"
Was versteht man unter einem Beweis durch Kontraposition?
Dieser Ansatz basiert auf den Gesetzen der Logik. Anstatt eine Aussage der Form A → B zu beweisen, führt man einen Beweis für den negierten Ausdruck.
Das bedeutet, man zeigt nicht, dass aus der Aussage A die Aussage B folgt, sondern stattdessen, dass aus der Aussage „nicht B“ die Aussage „nicht A“ folgt.
Was versteht man unter einem Beweis durch Ringschluss?
Implikationspfeilen folgen
Was versteht man unter einem Wertebereich einer Variablen? Wie wird dieser dargestellt
Der Wertebereich einer Variablen bestimmt, welche Werte diese Variable annehmen kann.
Um auszudrücken, dass eine Variable x nur Zahlen einer bestimmten Zahlenmenge speichern kann, verwenden wir die Notation \(x \in M\), wobei M für eine der oben genannten Zahlenmengen steht.
Was versteht man unter einer Variablen?
Platzhalter
Was versteht man unter natürlichen Zahlen?
alle positiven ganzen Zahlen
Was versteht man unter rationalen Zahlen?
Hierunter verstehen wir alle Zahlen, die sich als Bruch mit einer ganzen Zahl p und einer natürlichen Zahl q darstellen lassen
\(p \over q\)
Worin besteht der Unterschied zwischen rationalen und reellen Zahlen?
Rationale Zahlen als Teil der reellen Zahlen
Zeigen Sie, dass n3 + 2n durch 3 teilbar ist für alle n ≥ 0.
Starten Sie mit dem Induktionsanfang und formulieren Sie den Induktionsschritt.
Schreiben Sie die folgende Addition mit einem Summensymbol: 1+2+3+4+5
.
Schreiben Sie die folgende Addition mit einem Summensymbol: 5+6+7+8+9+10
.
Schreiben Sie die folgende Addition mit einem Summensymbol: 13+15+17+19+21+23
Schreiben Sie folgendes Summensymbol als Addition:
\(3 \cdot(3-1) + 4\cdot(4-1)+5\cdot(5-1)+6\cdot(6-1)\)
Schreiben Sie folgende Summe mithilfe der Summenformel:
\(i+3+i^2+9+i^3+27\)
\(\sum_{j=1}^3 (i^j +3^j)\)
Beweis durch Wiederspruch
Es gelte die Vorraussetzung A und man nimmt an, B sei falsch. Im Beweis zeigt man nun, dass die Anahme B sei falsch nicht stimmen kann. Daraus folgt das B richtig sein muss.
