Lineare Algebra

Die Negation einer Aussage p, symbolisch mit \( {\displaystyle {\overline {p}}}\) bezeichnet, ist diejenige Aussage, welche genau dann wahr ist wenn p falsch ist und welche genau dann falsch ist, wenn p wahr ist.

Eine Aussageform ist ein Wortlaut, welcher eine oder mehrere Variablen enth¨alt und welche zu einer Aussage wird, wenn den Variablen geeignete Werte zugewiesen werden. 

Aussageformen sind ¨ublicherweise durch Kleinbuchstaben dargestellt, begleitet mit einer Liste von Variablen: p(x), q(x, y), r(x, y, z, w), . . .

Beispiele:

1. p(x) : ”x ist ¨alter als 30 Jahre.”

2. q(y) : ”Die geometrische Form von y ist ein Dreieck.”

3. r(x, y) : x + y < 10.

Bedeutet: "für alle" gilt.

Beispiel:

Ist p(x) die Aussageform p(x) : x 2 ≥ 0 so ist die Aussage ∀x ∈ R, p(x) wahr. 

Beudetet: ”es existiert”

Beispiel:

Ist p(x) die Aussageform p(x) : x − 1 = 2 dann ist die Aussage ∃x ∈ R, p(x) richtig, denn für die Zahl x = 3 gilt die Behauptung

Wir nennen die zusammengesetzte Aussage p und q von zwei Aussagen p und q eine Konjunktion, welche symbolisch mit p ∧ q ausgedr¨uckt wird. Die Konjunktion zweier Aussagen ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.

Die Disjunktion von zwei Aussagen p und q ist die Aussage p oder q, symbolisch bezeichnet mit p ∨ q. Die Disjunktion von zwei Aussagen ist genau wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist.

In gewissen F¨allen können nicht beide Aussagen wahr sein. In diesem Fall spricht man von ENTWEDER ODER mit der Notation p XOR q.

Beispiel:

p: ”Das Kind von Frau X ist ein Knabe.” (F)

q: ”Das Kind von Frau X ist ein M¨adchen.” (T)

p XOR q: ”Das Kind von Frau X ist entweder ein Knabe oder ein Mädchen.” (T)

Die Aussage ”falls p, so q” heisst Implikation. Sie wird also aus zwei Aussagen p, q erhalten und symbolisch mit p ⇒ q  oder p \(\rightarrow\) q bezechnet. Die Aussage p heisst Prämisse (oder Voraussetzung) und q heisst Konklusion (oder Behauptung).

Die Implikation p ⇒ q ist dann und nur dann falsch, wenn die Prämisse wahr und die Konklusion falsch ist.

Die sogannte Kontraposition der Implikation p ⇒ q ist die Aussage  \( {\displaystyle {\overline {p}}}\) ⇒  \( {\displaystyle {\overline {q}}}\). Implikation und ihre Kontraposition haben dieselbe Wahrheitstabelle.

Nach der Wahrheitstabelle ist die Implikation p ⇒ q nur dann falsch, wenn p wahr und q falsch ist, also wenn \( {\displaystyle {\overline {p}}}\) falsch und \( {\displaystyle {\overline {q}}}\) wahr ist. Somit ist die Kontraposition \( {\displaystyle {\overline {q}}}\) ⇒ \( {\displaystyle {\overline {p}}}\) in diesem Fall auch falsch. Und es ist der einzige Fall, der falsch ist. 

 Die Anzahl der Elementen einer Menge A heisst die Kardinalität (oder die Mächtigkeit) von A und ist notiert Card(A).

\(S = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\)

Was soviel bedeutet wie ”Summe der Zahlen a_k für k von 1 bis n”. In dieser Schreibweise ist a_k der allgemeine Term, k der Summations-Index, welcher von der unteren Schranke (hier 1) bis zur oberen Schranke n läuft. 

\(S = \displaystyle\prod_{k=1}^{n} a_k\)

Ein lineares Gleichungssystem mit m Zeilen (Gleichungen) und n Spalten (Variablen)

\( \begin{pmatrix} a_{1,1}x_{1} & a_{1,2}x_{2} & \cdots & a_{1,n}x_{n} \\ a_{2,1}x_{1} & a_{2,2}x_{2} & \cdots & a_{2,n}x_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1}x_{1} & a_{m,2}x_{2} & \cdots & a_{m,n}x_{n} \end{pmatrix}\)

kann folgendermaßen als Matrix-Gleichung formuliert werden:

\( \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_{1} \\b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}\)

Oder kurz:

\(A * \overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}\)

Dabei gelten folgende Bezeichnungen:

\(A\) Koeffizientenmatrix

\(\overrightarrow{x}\) Lösungsvektor

\(\overrightarrow{b}\)  Vektor der Absolutglieder

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 &1 \\1 & -1 &-1 \\1 & 0 &1 \\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Gleich wie bei der Koeffizientenmatrix wird die Matrix und der Vektor der Absolutglieder angegeben, jedoch den Lösungsvektor (z.B. x₁, x₂ und x₃) nicht.

\({ \left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right) }\)

\({ \left(\begin{array}{cc|c} 4 & 2 & 6 \\ -3 & 1 & -12 \end{array}\right) }\)

1. Eindeutige Lösung

Es gibt eine eindeutige Lösung, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix der Anzahl der unbekannten n entspricht. Anmerkung: Bei Gleichungssystemen mit n Gleichungen ist das dann der Fall, wenn alle Gleichungen linear unabhängig sind.

\(\text{rang}(A) = \text{rang}(A|b) = n\)

2. Unendlich viele Lösungen

Es gibt unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten n.

\(\text{rang}(A) = \text{rang}(A|b) < n\)

3. Keine Lösung

Es gibt keine Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A nicht dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|B)(A|B) entspricht.

\(\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A|b)\)

1. Eindeutige Lösung

\(A = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5& 6 & 2\\ {\color{red}0}&{\color{red}0}& 9 & 3 \end{array} \right)\)

Begründung: Die Koeffizientenmatrix sowie die erweiterte Koeffizientenmatrix haben jeweils den Rang 3. Außerdem entspricht der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix der Anzahl der Unbekannten. Zur Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems kann man deshalb sagen: Es gibt eine eindeutige Lösung.

2. Unendlich viele Lösungen

\(B = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5& 6 & 2\\ {\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0} \end{array} \right)\)

Begründung: Die Koeffizientenmatrix sowie die erweiterte Koeffizientenmatrix haben jeweils den Rang 2. Der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix (2) entspricht jedoch nicht der Anzahl der Unbekannten (3). Zur Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems kann man deshalb sagen: Es gibt unendlich viele Lösungen.

3. Keine Lösung

\(C = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5& 6 & 2\\ {\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}& 3 \end{array} \right)\)

Begründung: Die Koeffizientenmatrix besitzt den Rang 2, wohingegen die erweiterte Koeffizientenmatrix den Rang 3 besitzt. Zur Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems kann man deshalb sagen: Es gibt keine Lösung.

Es gibt genau eine Lösung, wenn sich die Gleichungsgeraden schneiden.

Es gibt unendliche viele Lösungen, wenn die geraden aufeinander liegen.

Es gibt keine Lösung, wenn die Geraden parallel zueinander verlaufen.

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen) zusammen. Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung ersten Grades, d.h. die Variable x kommt in keiner höheren als der ersten Potenz vor.

Beispiel

\(\begin{align*} x+y = 1 \\ 2x+2y = 3 \end{align*}\)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme.

Prozess Beispiel:

\(\begin{align*} x_1 - x_2 + 2x_3 &= 0 \\ -2x_1 + x_2 - 6x_3 &= 0 \\ x_1 - 2x_3 &= 3 \\ \end{align*}\)

Unbekannten weg und schreiben nur die Koeffizienten auf:

\(\begin{array}{rrr|c} x_1 & x_2 & x_3 & \\ \hline 1 & -1 & 2 & 0\\ -2 & 1 & -6 & 0\\ 1 & 0 & -2 & 3 \end{array}\)

Ziel des Gauß-Algorithmus ist es, mit Hilfe von zeilenweisen Umformungen unter der Hauptdiagonalen Nullen zu erzeugen. Nach einigen Umformungen sieht das Gleichungssystem so aus:

\(\begin{array}{rrr|c} x_1 & x_2 & x_3 & \\ \hline 1 & -1 & 2 & 0\\ {\color{red}0}& -1 & -2 & 0\\ {\color{red}0}& {\color{red}0} & -6 & 3 \end{array}\)

Danach kann man die Zahlen wieder in das Gleichungssystem schreiben:

\(\begin{align*} x_1 - x_2 + 2x_3 &= 0 \\ -x_2 - 2x_3 &= 0 \\ -6x_3 &= 3 \\ \end{align*}\)

Berechnung von x₃

Mit Hilfe der 3. Zeile lässt sich x₃ ganz einfach berechnen:

\(-6x_3 = 3 \qquad \rightarrow \qquad x_3 = -0,5\)

Der Rest kann man entsprechend auch mit dem Einsetzen von x₃ berechnen.