2-4 Mengen, Reelle Zahlen, reellwertige Funktionen,
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; Wichtiges aus Kapitel 2-4 aus der Vorlesung
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; Wichtiges aus Kapitel 2-4 aus der Vorlesung
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Flashcards
Auswahlaxiom
Seien \(X\) und \(Y\) Mengen und \(f: X \to Y\) eine surjektive Funktion.
...
Dann existiert eine Funktion \(g: Y \to X\) mit der Eigenschaft \(f \circ g = \text{id}_Y\).
( \(g\) ist Schnitt von \(f\) )
Zorn's Lemma
(2.97)
Sei \((X, \le)\) eine induktiv geordnete Menge.
Dann existiert ein maximales Element in X.
induktiv geordnet: jede Kette \(K \subseteq X\) hat eine obere Schranke in \(X\).
Dreiecksungleichung
\(|x + y| \le |x| + |y|\)
Vollständigkeitsaxiom
(Ein vollständig angeordneter Körper erfüllt das Vollständigkeitsaxiom)
(3.15)
Seien \(X,Y\) nicht-leere Teilmengen von \(K\) derart, dass für alle \(x \in X \) und \(y \in Y\) gilt \(x \le y\).
Dann gibt es ein \(c \in K\), das zwischen \(X\) und \(Y\) liegt. Also:
\(x \le c \le y \quad \forall x \in X, \ y \in Y\)
dicht in \(\mathbb R\)
\(X \subseteq \mathbb R\) heisst dicht in \(\mathbb R\) falls für jedes offene, nicht leere Intervall \(I\) von \(\mathbb R\) ein Element von \(X\) enthällt.
Bzw. \(I \cap X \neq \varnothing\)
Bsp. \(\mathbb Q\) ist dicht in \(\mathbb R\)
Cauchy-Scharz-Ungleichung
\(a_1a_2 + b_1b_2 \le |z| |w|\)
\(\left( z = a_1 + b_1 i, \ w = a_2 + b_2 i\right)\)
Kreisscheibe in \(\mathbb C\)
\(B(z, \delta) = \{ w \in \mathbb C \, \big| \, |z-w| < \delta \}\) offene Kreisscheibe mit Zentrum z und Radius \(\delta\).
\(\overline{B(z, \delta)} = \{ w \in \mathbb C \, \big| \, |z-w| \le \delta \}\) abgeschlossene .. .
Teilmenge \(U \subseteq \mathbb C\) offen, falls \(\forall u \in U \quad \exists \delta >0 \quad \)\(B(u, \delta ) \subseteq U\)
offen in \(\mathbb C\) : offene Kreisscheiben, \(\varnothing\), \(\mathbb C\),
beliebige Vereinigungen offener TM, endliche Durchschnitte von offenen TM
Supremum, Infimum
\(\sup (X)\) ist die kleinste obere Schranke von \(X\):
\(\sup(X) = \min \{ a \in \mathbb R \, \big| \, x \le a \ \ \forall x \in X\}\)
\(\inf(X)\) die grösste untere Schranke
Stetigkeit von \(f: X \to \mathbb R\)
Stetig an \(x_0\):
\(\forall \varepsilon >0 \ \exists \delta > 0 \quad\)\(|x-x_0| < \delta \Longrightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\)
f ist stetig, wenn an allen x stetig
\(f,g \in \mathcal C(X)\)
\(f+g \\ fg\)
\((f + g)(x) = f(x) + g(x) \\ (fg)(x) = f(x)g(x)\) mit \((f + g), (fg) \in \mathcal C(X)\)
(Für konstante Funktionen \(h: X \to \mathbb c \in R\) gilt \(h \in \mathcal C(X)\) )
i.e. Summen und Produkte stetiger Funktionen sind stetig.
(auch konstante Funktionen sind stetig)
Insbesondere sind Polynomfunktionen stetig \(P[X] \subseteq \mathcal C (X)\)
Zwischenwertsatz
Sei \(f:D \in \mathbb R \to \mathbb R\) stetig. \([a,b] \subseteq D\)
\(\forall y_0 \in \mathbb R\) mit \(f(a) \le y_0 \le f(b)\) \(\exists x_0 \in [a,b] : f(x_0) = y_0\)
gleichmässig stetig
\(f:X \in \mathbb R \to \mathbb R\) ist gleichmässig stetig falls:
\(\forall \varepsilon >0 \ \ \exists \delta > 0 : \ \)\(|x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon\) \(\forall x,y \in \mathbb R\)
Lipschitz stegig
\(f:X\to \mathbb R\) heisst Lipschitz stetig falls:
\(\exists \) Lipschitz-Konstante \(L \ge 0 \) für \(f\) mit
\(|f(x)-f(y)| \le L \cdot |x-y|\)
