2-4 Mengen, Reelle Zahlen, reellwertige Funktionen,

Sei \((X, \le)\) eine induktiv geordnete Menge.
Dann existiert ein maximales Element in X.

induktiv geordnet: jede Kette \(K \subseteq X\) hat eine obere Schranke in \(X\).

\(|x + y| \le |x| + |y|\)

Seien \(X,Y\) nicht-leere Teilmengen von \(K\) derart, dass für alle \(x \in X \) und \(y \in Y\) gilt \(x \le y\).

Dann gibt es ein \(c \in K\), das zwischen \(X\) und \(Y\) liegt. Also:

\(x \le c \le y \quad \forall x \in X, \ y \in Y\)

\(X \subseteq \mathbb R\) heisst dicht in \(\mathbb R\) falls für jedes offene, nicht leere Intervall \(I\) von \(\mathbb R\) ein Element von \(X\) enthällt.

Bzw. \(I \cap X \neq \varnothing\)

Bsp. \(\mathbb Q\) ist dicht in \(\mathbb R\)

\(a_1a_2 + b_1b_2 \le |z| |w|\)

\(\left( z = a_1 + b_1 i, \ w = a_2 + b_2 i\right)\)

\(B(z, \delta) = \{ w \in \mathbb C \, \big| \, |z-w| < \delta \}\)   offene Kreisscheibe mit Zentrum z  und Radius \(\delta\).

\(\overline{B(z, \delta)} = \{ w \in \mathbb C \, \big| \, |z-w| \le \delta \}\)   abgeschlossene .. .

Teilmenge \(U \subseteq \mathbb C\) offen, falls \(\forall u \in U \quad \exists \delta >0 \quad \)\(B(u, \delta ) \subseteq U\)

offen in \(\mathbb C\) :  offene Kreisscheiben, \(\varnothing\), \(\mathbb C\),
beliebige Vereinigungen offener TM, endliche Durchschnitte von offenen TM

\(\sup (X)\) ist die kleinste obere Schranke von \(X\):
\(\sup(X) = \min \{ a \in \mathbb R \, \big| \, x \le a \ \ \forall x \in X\}\)

\(\inf(X)\) die grösste untere Schranke

Stetig an \(x_0\):
\(\forall \varepsilon >0 \ \exists \delta > 0 \quad\)\(|x-x_0| < \delta \Longrightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\)

f ist stetig, wenn an allen x stetig

\((f + g)(x) = f(x) + g(x) \\ (fg)(x) = f(x)g(x)\)  mit \((f + g), (fg) \in \mathcal C(X)\)

(Für konstante Funktionen \(h: X \to \mathbb c \in R\) gilt  \(h \in \mathcal C(X)\) )

i.e. Summen und Produkte stetiger Funktionen sind stetig.
(auch konstante Funktionen sind stetig)

Insbesondere sind Polynomfunktionen stetig \(P[X] \subseteq \mathcal C (X)\)

Sei \(f:D \in \mathbb R \to \mathbb R\) stetig. \([a,b] \subseteq D\)   

\(\forall y_0 \in \mathbb R\)  mit \(f(a) \le y_0 \le f(b)\)     \(\exists x_0 \in [a,b] : f(x_0) = y_0\)

\(f:X \in \mathbb R \to \mathbb R\) ist gleichmässig stetig falls:

\(\forall \varepsilon >0 \ \ \exists \delta > 0 : \ \)\(|x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon\)    \(\forall x,y \in \mathbb R\)

\(f:X\to \mathbb R\) heisst Lipschitz stetig falls:

\(\exists \) Lipschitz-Konstante \(L \ge 0 \) für \(f\) mit

\(|f(x)-f(y)| \le L \cdot |x-y|\)