2-4 Mengen, Reelle Zahlen, reellwertige Funktionen,

Dann existiert eine Funktion \(g: Y \to X\) mit der Eigenschaft \(f \circ g = \text{id}_Y\).

( \(g\) ist Schnitt von \(f\) )

Sei \((X, \le)\) eine induktiv geordnete Menge.
Dann existiert ein maximales Element in X.

induktiv geordnet: jede Kette \(K \subseteq X\) hat eine obere Schranke in \(X\).

\(|x + y| \le |x| + |y|\)

Seien \(X,Y\) nicht-leere Teilmengen von \(K\) derart, dass für alle \(x \in X \) und \(y \in Y\) gilt \(x \le y\).

Dann gibt es ein \(c \in K\), das zwischen \(X\) und \(Y\) liegt. Also:

\(x \le c \le y \quad \forall x \in X, \ y \in Y\)

\(X \subseteq \mathbb R\) heisst dicht in \(\mathbb R\) falls für jedes offene, nicht leere Intervall \(I\) von \(\mathbb R\) ein Element von \(X\) enthällt.

Bzw. \(I \cap X \neq \varnothing\)

Bsp. \(\mathbb Q\) ist dicht in \(\mathbb R\)

\(a_1a_2 + b_1b_2 \le |z| |w|\)

\(\left( z = a_1 + b_1 i, \ w = a_2 + b_2 i\right)\)

\(B(z, \delta) = \{ w \in \mathbb C \, \big| \, |z-w| < \delta \}\)   offene Kreisscheibe mit Zentrum z  und Radius \(\delta\).

\(\overline{B(z, \delta)} = \{ w \in \mathbb C \, \big| \, |z-w| \le \delta \}\)   abgeschlossene .. .

Teilmenge \(U \subseteq \mathbb C\) offen, falls \(\forall u \in U \quad \exists \delta >0 \quad \)\(B(u, \delta ) \subseteq U\)

offen in \(\mathbb C\) :  offene Kreisscheiben, \(\varnothing\), \(\mathbb C\),
beliebige Vereinigungen offener TM, endliche Durchschnitte von offenen TM

\(\sup (X)\) ist die kleinste obere Schranke von \(X\):
\(\sup(X) = \min \{ a \in \mathbb R \, \big| \, x \le a \ \ \forall x \in X\}\)

\(\inf(X)\) die grösste untere Schranke