7-9 Reihen, Funktionenfolgen, Potenzreihen, Differentialrechnung, Ableitung und Integral

\(\sin(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, z^{2n+1}\)             \(\cos(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \, z^{2n}\)

Daraus folgt (siehe Def. \(\exp\)):

\(\sin(z) = \frac{ \exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}\)  und  \(\cos(z) = \frac{ \exp(iz)+\exp(-iz)}{2}\)

weil

\(\cos(z) + i \sin(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, z^{2n+1} + i\frac{(-1)^n}{(2n)!} \, z^{2n} \right) = \exp(iz)\)

\(\exists ! \pi \in (0,4) \subset \mathbb R : \sin(\pi) = 0\) und es gilt \(e^{2 \pi i} =1 \)

\(\sin'(x) = \cos(x), \quad \cos'(x) = -\sin(x)\)

Sei \((V, ||\dots||)\) ein normierter Vektorraum. \((v_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge auf V.

\(s_n = v_0 + \dots + v_n = \sum \limits _{i=0}^n v_i\)  ist eine Partialsumme. Die Partialsummen bilden wieder eine Folge auf V:

\((s_n)_{n=0}^\infty = \)    (wird auch Reihe genannt)

Sei \((V, ||\dots||)\) ein normierter Vektorraum. \((v_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge auf V.
Und \((s_n)_{n=0}^\infty\) mit  \(s_n = \sum \limits_{i=0}^n v_i\)  die entsprechende Reihe.

Der Grenzwert:  \(w = \lim \limits_{n \to \infty} s_n = \sum \limits_{n = 0}^\infty v_n\) 
also  \(\forall \varepsilon >0 \ \exists N \in \mathbb N : ||s_n-w|| < \varepsilon \ \forall n \ge N\)

Existiert der Grenzwert, so gilt: \(\lim \limits_{n \to \infty} s_{n+1} - s_n = \lim \limits_{n \to \infty} x_{n+1} = 0\)
\((x_n)_{n=0}^\infty\)  ist eine Nullfolge

\(\sum \limits_{n = 0}^\infty v_n\)  konvergiert absolut, falls die Reihe \(\sum \limits_{n = 0}^\infty ||v_n||\)  konvergiert.
( \(v_i \in (V, ||\dots||)\) )

Für absolut konvergierende Reihen \((z_n)_{n=0}^\infty \in \mathbb C\) gilt: \(\left| \sum \limits_{n = 0}^\infty z_n \right| \le \sum \limits_{n = 0}^\infty | z_n |\)

Seien \((a_n)_{n=0}^\infty , (b_n)_{n=0}^\infty \in \mathbb R\)  Folgen mit \(0 \le a_n \le b_n\).

Falls \(\sum \limits_{n=0}^\infty b_n\) konvergiert, so konvergiert \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) und es gilt \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \le \sum \limits_{n=0}^\infty b_n\) .

(Denn \(\left( \sum \limits_{k=0}^n a_k \right)_{n=0}^\infty\) ist monoton steigend und beschränkt)

Sei \(( a_n )_{n=0}^\infty\) eine monoton fallende Folge in \(\mathbb R_{ \ge 0}\) .

\(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) konvergiert  \(\Longleftrightarrow\)  \(\sum \limits_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}\) konvergiert

Sei \(( a_n )_{n=0}^\infty\) eine monoton fallende Folge in \(\mathbb R_{ \ge 0}\) . \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n = 0\)

Dann konvergiert \( \sum \limits_{n=0}^\infty(-1)^n \, a_n\)   (alternierende Reihe)

(Weil mit \(s_n := \sum \limits_{k=0}^n (-1)^k a_k\) gilt \(s_{2n-1} \le \sum \limits_{k=0}^\infty (-1)^k a_k \le s_{2n}\) wobei \((s_{2n})_{n=0}^\infty\) monoton fallend und durch \(s_1\) beschränkt, analog \((s_{2n+1})_{n=0}^\infty\) monoton steigend und durch \(s_0\) beschränkt. Also konvergieren beide Seiten des Sandwich wobei \(\lim \limits_{n \to \infty} s_{n} - s_{n-1} = \lim \limits_{n \to \infty} a_n = 0\) und somit auch die Reihe selbst konvergiert.

Sei \(( a_n )_{n=0}^\infty \) eine reelle Folge.

\(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \) konvergiert   \(\Longleftrightarrow\)  \(\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists N \in \mathbb N : \left| \sum \limits_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon \ \ \ \)\(\forall n,m: n \ge m \ge N\)

(Also Folge \((s_n)_{n=0}^\infty\) ist Cauchy)

Sei \((a_n)_{n=0}^\infty\) eine relle Folge.

\(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} (\sqrt[n]{|a_n|}) \in \mathbb R_{\ge 0} \cup \{ \infty \}\)

Für \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) gilt \(\bigg\{ \begin{smallmatrix}\text{konvergiert absolut} & \text{für } \rho <1 \\\text{divergiert} & \text{für } \rho>1\end{smallmatrix}\)

Sei \((a_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge komplexer Zahlen mit \(a_n \not =0 \ \ \forall n\).

\(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} {| \frac{a_{n+1}}{a_n} |}\)

Für \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) gilt \(\bigg\{ \begin{smallmatrix} \text{konvergiert absolut} & \text{für } \rho <1 \\ \text{divergiert} & \text{für } \rho>1 \end{smallmatrix}\)

Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \) eine absolut konvergierende Reihe (in \(\mathbb C, \mathbb R, (V, \| \cdot \|)\)). Sei \(\varphi: \mathbb N \to \mathbb N \) eine Bijektion.

Dann konvergiert \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_{\varphi(n)}\) absolut und es gilt \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_{\varphi(n)} = \sum \limits_{n=0}^\infty a_n\).

Potenzreihe mit Koeffizienten in K; Folge \((a_n)_{n=0}^\infty\) in K geschrieben als \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, T^n\). ( T = "variable")

\(K[\![ T ]\!]\)  d.h. Menge aller formalen Potenzreihen

Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, T^n \in \mathbb C [\![T]\!]\).  Sei \(\rho = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \in [0,\infty) \cup \{ \infty \}\) .

Der Konvergenzradius der Reihe \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, T^n \) ist \(R = \Bigg\{ \begin{matrix}\infty & \text{falls} & \rho = 0 \\\frac{1}{\rho} & \text{falls} & \rho > 0 , \rho \not = \infty\\0 & \text{falls} & \rho = \infty\end{matrix}\)

Für \(z \in \mathbb C\) mit \(|z| < R\) konvergiert \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, z^n \) wegen Cauchy's Wurzelkriterium absolut.

1. z.B. \(\bigg\{ \begin{smallmatrix}a_n\ =\ 10^{-n} & n \ \text{gerade}\\a_n\ =\ 2\cdot 10^{-n+1} &n \ \text{ungerade}\\\end{smallmatrix}\);  \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n = 3.0303..\)  mit \(\rho = 2\)
2. Keine Aussage. Potenzreihe kann konvergieren oder divergieren.
   z.B. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{T^n}{n}\), \(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} \sqrt[n] \frac{1}{n} = 1 \) \(\Rightarrow R = 1\)
   z = -1, konvergiert; z = 1 und z = i, divergiert;

Konvergenz von Potenzreihen: Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \ T^n \in \mathbb C [ \![T]\!]\) Potenzreihe mit Konvergenzradius \(R > 0\). Definiere \(f_n : D \to \mathbb C\) durch \(\sum \limits_{k=0}^n a_k \ z^k\)  auf  \(D = \overline{B(0,r)}\) mit \(0 < r < R\). (\(f_n\) sind als Polynome stetig)
Die Folge \((f_n )_{n=0}^\infty\) konvergiert gleichmässig gegen f. (insb. f stetig, es gilt \(\lim\limits_{n \to \infty} \int _ B f_n dx = \int_B f \,dx\))

Seien \(D \subseteq \mathbb R\), \(f_n: D \to \mathbb R\) stetig mit  \(n = 0,1,2,\dots\)

\(\forall \varepsilon >0 \quad \exists N \in \mathbb N\)  mit  \(\| f_n - f \|_\infty < \varepsilon \quad \forall n \in \mathbb N\)  dann ist f stetig.

\((f_n)_{n=0}^\infty\) konvergiert gleichmässig gegen f.

Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n T^n \in \mathbb C [\![ T ]\!]\) mit Konvergenzradius \(R \in \mathbb R_{\ge 0}\). Falls die Reihe konvergiert, gilt:

\(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} t \to R \\ t < R \end{smallmatrix}} \sum \limits_{n=0}^\infty a_n t^n = \sum \limits_{n=0}^\infty a_n R^n\)  i.e. \(f(t) := \sum \limits_{n=0}^\infty a_n t^n\) ist stetig bei R

\(f: (a,b) \to \mathbb C\) sei bei \(x_0 \in (a,b) \not = \{\}\) differenzierbar, falls der folgende Grenzwert existiert:

\(f'(x_0) = \lim \limits_{ \begin{smallmatrix}x \to x_0 \\ x \not = x_0\end{smallmatrix} }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\lim \limits_{ \begin{smallmatrix}h \to 0 \\ h \not = 0\end{smallmatrix} }\frac{f(x_0 + h)}{h}\)

\(f\) ist differenzierbar auf \((a,b)\), falls in jedem Punkt differenzierbar. Dann nennen wir \(f' : (a,b) \to \mathbb C\) Ableitung von \(f\).

Linksseitige Ableitung: \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x < x_0 \end{smallmatrix}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) (rechts-s. analog)

Ableitbar bei \(x_0 \implies \)stetig bei \(x_0\)

\((f+g)\) und \((f\,g)\) sind ableitbar bei \(x_0\) und es gilt:

• \((f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)\)
• \((f\,g)'(x_0) = f'(x_0) \, g(x_0) + f(x_0) \, g'(x_0)\)
  Leibnitzregel

\((g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) \, f'(x_0)\)

\(g\) ist bei \(f(x_0) =: y_0\) ableitbar und es gilt:

\(g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\)

Sei \(D \in \mathbb R\) ohne isolierte Punkte.

\(\mathcal C(D) = \mathcal C^0(D) :=\) Klasser der stetigen, reellwertigen Fct. auf D

\(\mathcal C^1(D) := \) Vektorraum aller stetig diff'baren Fct. auf D

\(\mathcal C^n (D) := \) Vektorraum aller Fct. \(f\) auf D mit \(f' \in \mathcal C^{n-1}(D)\)

\(\mathcal C^\infty (D) = \bigcap\limits_{n=0}^\infty \mathcal C^n(D)\)    (glatte Funktionen)

(Sei \(f: D \in \mathbb R \to \mathbb R\) Funktion.)
\(x_0 \in D\)  lokales Maximum von \(f\), falls \(\exists \varepsilon > 0 : \) \(f(x) \le f(x_0) \quad \forall x \in B(x_0, \varepsilon)\cap D\)
isoliertes Maximum wenn \(f(x) < f(x_0)\)

Bei lokalem Maxima oder Minima gilt mindestens eine der folgenden Aussagen:

1. \(x_0\) ist Randpunkt von \(D\)
2. \(f\) nicht ableitbar bei \(x_0\)
3. \(f\) ist ableitbar bei \(x_0\) und \(f'(x_0) =0\)

1. Wenn \(f(a) = f(b)\), dann existiert \(x \in (a,b)\) mit \(f'(x) = 0\) (Satz von Rolle)
2. Es existiert \(x \in (a,b)\) mit \(f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
   ( Lässt sich auf Satz von Rolle zurückführen: \(g(x) := f(x) - \frac{f(b)- f(a)}{b-a}(x-a)\) mit \(g(a)=g(b)=f(a)\) )

Generell sagt Mittelwertsatz: Mittlere Steigung wird erreicht.

Dann existiert \(x \in (a,b)\) mit \(\frac{g'(x)}{f'(x)} = \frac{g(b)-b(a)}{f(b)-f(a)}\) bzw. \(g'(x) \, \big( f(b) - f(a) \big) = f'(x) \, \big( g(b) - g(a) \big) \)

Zurückführen auf Satz von Rolle mit \(F: [a,b] \to \mathbb R\), \(F(x) = g(x) \big( f(b) - f(a) \big) - f(x) \big( g(b) - g(a) \big)\), \(F(a) = f(b) g(a) - f(a) g(b) = F(b)\)

\(\lim \limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A\)

Dann gilt  \(\lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = A\)

Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall

\(f \) sei konvex falls \(\forall a< b \in I\)  gilt:

\(f \big( a + (b-a)t \big) \le f(a) + \big( f(b)-f(a) \big) t \)\(\quad \forall t \in [0,1]\)

Also: \(f \) konvex \(\Longleftrightarrow f'\) monoton steigend \(\Longleftrightarrow ( \)falls \(f \in \mathcal C^2(I) : f'' \ge 0) \)

Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall \(a \in I\), \(f: I \to \mathbb R \) stetig. \(F : I \to \mathbb R\), \(F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt\)

Dann ist F stetig differenzierbar und es gilt \(F' = f\).

Jedes \(F : I \to \mathbb R\) mit \(F' = f\) nennen wir Stammfunktion von \(f\). Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion. Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich durch eine Konstante:
\(\int f(t) dt = F + C\)

(Korollar) Sei \(f :I \to \mathbb R\) stetig. F eine Stammfunktion von f. Dann gilt \(\int \limits_a^b f(t)dt = F(b)-F(a)\)

\(\int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx = \int \limits_a^b (f+g)(x) dx\)

\(\int Fg \ dx = F \cdot G - \int f \,G \ dx + C\)

\(\big( G( f(x) ) \big)' = g(f(x)) \, f'(x)\) woraus folgt:

\(\int g(f(x)) f'(x) \,dx = G(f(x)) + C\)

\(\int \limits_a^b g(f(x)) \, f'(x) dx = \int_{f(a)}^{f(b)} g(u) du\)           \(u = f(x) \implies\ \)\(\frac{d}{dx} u = \frac{d}{dx} f(x) \Rightarrow du = f'(x) dx\)

falls für ein beliebiges \(c \in (a,b)\) die folgenden Grenzwerte existieren:

\(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to a \\ x > a\end{smallmatrix}}\int_x^c f(t)\,dt = A\),   \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to b \\ x < b\end{smallmatrix}}\int_c^x f(t)\,dt = B\)

Schreibe \(\int_a^b f(x) dx = A + B\)

Dann gilt: \(a_0 = f(0), \quad a_1 = f'(0), \ \dots\)        \(a_n = \frac{1}{n} f^{(n)} (0)\)

\(L(T) = \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} T^k\)  Taylor-Reihe von \(f\) bei \(x_0\)

\(P_n(x) = \sum \limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k\)  n-te Taylorapproximation

Sei \(D \subseteq \mathbb R\) Intervall, \(x_0 \in D\), \(f: D \to \mathbb R\) von \(\mathcal C^{n+1}\). Dann gilt \(\forall x \in D\)

\(f(x) = P_n(x) + \int_{x_0}^x f^{(n+1)} (t) \frac{(x-t)^n}{n!} dt\)

Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall, \(f: I \to \mathbb R\) glatt.

\(f\) heisst analytisch, falls \(\forall x_0 \in I \quad \exists \delta > 0 : \, \)\(f(x) = \sum \limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)} (x_0)}{n!} (x-x_0)^n\)   \(\forall x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta]\)

\(\Big( f(x) = \lim \limits_{n \to \infty} P_n (x) \Big)\)    Bei Potenzreihe mit Konvergenzradius R \([x_0 - \delta , x_0 + \delta] \subseteq (-R,R)\) analytisch.

Seien \(f,g\) reellwertige, analytische Fct. auf Intervall \(I \subseteq \mathbb R\).

\(\exists x_0 \in I, \delta > 0 : \ f(x) = g(x) \quad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) \(\Longleftrightarrow f(x) = g(x) \quad \forall x \in I\)