7-9 Reihen, Funktionenfolgen, Potenzreihen, Differentialrechnung, Ableitung und Integral
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; zu den Kapiteln 7, 8 und 9 aus der Vorlesung
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; zu den Kapiteln 7, 8 und 9 aus der Vorlesung
Set of flashcards Details
Flashcards | 36 |
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Language | Deutsch |
Category | Maths |
Level | University |
Created / Updated | 18.06.2020 / 05.03.2022 |
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https://card2brain.ch/box/20200618_7_reihen_funktionenfolgen_potenzreihen
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Klassen von stetig diff'baren Funktionen
Sei \(D \in \mathbb R\) ohne isolierte Punkte.
\(\mathcal C(D) = \mathcal C^0(D) :=\) Klasser der stetigen, reellwertigen Fct. auf D
\(\mathcal C^1(D) := \) Vektorraum aller stetig diff'baren Fct. auf D
\(\mathcal C^n (D) := \) Vektorraum aller Fct. \(f\) auf D mit \(f' \in \mathcal C^{n-1}(D)\)
\(\mathcal C^\infty (D) = \bigcap\limits_{n=0}^\infty \mathcal C^n(D)\) (glatte Funktionen)
Lokales Minimum von \(f\)
(Sei \(f: D \in \mathbb R \to \mathbb R\) Funktion.)
\(x_0 \in D\) lokales Maximum von \(f\), falls \(\exists \varepsilon > 0 : \) \(f(x) \le f(x_0) \quad \forall x \in B(x_0, \varepsilon)\cap D\)
isoliertes Maximum wenn \(f(x) < f(x_0)\)
Bei lokalem Maxima oder Minima gilt mindestens eine der folgenden Aussagen:
- \(x_0\) ist Randpunkt von \(D\)
- \(f\) nicht ableitbar bei \(x_0\)
- \(f\) ist ableitbar bei \(x_0\) und \(f'(x_0) =0\)
Mittelwertsatz (V1, V2)
Sei \(D \subseteq \mathbb R\) Intervall, \(f: D \to \mathbb R\) ableitbar, \(a < b \in D\)
- Wenn \(f(a) = f(b)\), dann existiert \(x \in (a,b)\) mit \(f'(x) = 0\) (Satz von Rolle)
- Es existiert \(x \in (a,b)\) mit \(f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
( Lässt sich auf Satz von Rolle zurückführen: \(g(x) := f(x) - \frac{f(b)- f(a)}{b-a}(x-a)\) mit \(g(a)=g(b)=f(a)\) )
Generell sagt Mittelwertsatz: Mittlere Steigung wird erreicht.
Mittelwertsatz von Cauchy
Seien \(f,g: [a,b] \to \mathbb R\) diff'bar.
Dann existiert \(x \in (a,b)\) mit \(\frac{g'(x)}{f'(x)} = \frac{g(b)-b(a)}{f(b)-f(a)}\) bzw. \(g'(x) \, \big( f(b) - f(a) \big) = f'(x) \, \big( g(b) - g(a) \big) \)
Zurückführen auf Satz von Rolle mit \(F: [a,b] \to \mathbb R\), \(F(x) = g(x) \big( f(b) - f(a) \big) - f(x) \big( g(b) - g(a) \big)\), \(F(a) = f(b) g(a) - f(a) g(b) = F(b)\)
Regel von l'Hôpitale
Sei \(D = (a,b)\) ein Intervall, \(f,g: D \to \mathbb R\) diff'bar, mit \(g(x) \not = 0 \) und \(g'(x) \not = 0 \) \(\forall x \in D\)
Sei \(\lim \limits_{x \to a} f(x) = 0\) und \(\lim \limits_{x \to a} g(x) = 0\) und
\(\lim \limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A\)
Dann gilt \(\lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = A\)
konvex/konkav
Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall
\(f \) sei konvex falls \(\forall a< b \in I\) gilt:
\(f \big( a + (b-a)t \big) \le f(a) + \big( f(b)-f(a) \big) t \)\(\quad \forall t \in [0,1]\)
Also: \(f \) konvex \(\Longleftrightarrow f'\) monoton steigend \(\Longleftrightarrow ( \)falls \(f \in \mathcal C^2(I) : f'' \ge 0) \)
Fundamentalsatz der Integralrechnung
Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall \(a \in I\), \(f: I \to \mathbb R \) stetig. \(F : I \to \mathbb R\), \(F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt\)
Dann ist F stetig differenzierbar und es gilt \(F' = f\).
Jedes \(F : I \to \mathbb R\) mit \(F' = f\) nennen wir Stammfunktion von \(f\). Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion. Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich durch eine Konstante:
\(\int f(t) dt = F + C\)
(Korollar) Sei \(f :I \to \mathbb R\) stetig. F eine Stammfunktion von f. Dann gilt \(\int \limits_a^b f(t)dt = F(b)-F(a)\)
Additivität
\(\int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx = \int \limits_a^b (f+g)(x) dx\)
partielle Integration
\(\int Fg \ dx = F \cdot G - \int f \,G \ dx + C\)
Kettenregel
\(\big( G( f(x) ) \big)' = g(f(x)) \, f'(x)\) woraus folgt:
\(\int g(f(x)) f'(x) \,dx = G(f(x)) + C\)
Substitution
\(\int \limits_a^b g(f(x)) \, f'(x) dx = \int_{f(a)}^{f(b)} g(u) du\) \(u = f(x) \implies\ \)\(\frac{d}{dx} u = \frac{d}{dx} f(x) \Rightarrow du = f'(x) dx\)
\(\int_a^b f(x) dx\) konvergiert
falls für ein beliebiges \(c \in (a,b)\) die folgenden Grenzwerte existieren:
\(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to a \\ x > a\end{smallmatrix}}\int_x^c f(t)\,dt = A\), \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to b \\ x < b\end{smallmatrix}}\int_c^x f(t)\,dt = B\)
Schreibe \(\int_a^b f(x) dx = A + B\)
Tailor-Reihen
Sei eine Funktion \(f: (-R, R) \to \mathbb R\), \(f(x) = \sum \limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) mit Konvergenzradius grösser als R.
Dann gilt: \(a_0 = f(0), \quad a_1 = f'(0), \ \dots\) \(a_n = \frac{1}{n} f^{(n)} (0)\)
\(L(T) = \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} T^k\) Taylor-Reihe von \(f\) bei \(x_0\)
\(P_n(x) = \sum \limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k\) n-te Taylorapproximation
Sei \(D \subseteq \mathbb R\) Intervall, \(x_0 \in D\), \(f: D \to \mathbb R\) von \(\mathcal C^{n+1}\). Dann gilt \(\forall x \in D\)
\(f(x) = P_n(x) + \int_{x_0}^x f^{(n+1)} (t) \frac{(x-t)^n}{n!} dt\)
analytische Funktionen
Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall, \(f: I \to \mathbb R\) glatt.
\(f\) heisst analytisch, falls \(\forall x_0 \in I \quad \exists \delta > 0 : \, \)\(f(x) = \sum \limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)} (x_0)}{n!} (x-x_0)^n\) \(\forall x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta]\)
\(\Big( f(x) = \lim \limits_{n \to \infty} P_n (x) \Big)\) Bei Potenzreihe mit Konvergenzradius R \([x_0 - \delta , x_0 + \delta] \subseteq (-R,R)\) analytisch.
Starrheit/Rigidität analytischer Funktionen
Seien \(f,g\) reellwertige, analytische Fct. auf Intervall \(I \subseteq \mathbb R\).
\(\exists x_0 \in I, \delta > 0 : \ f(x) = g(x) \quad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) \(\Longleftrightarrow f(x) = g(x) \quad \forall x \in I\)
komplexe Exponentialabbildung
\(\exp : \mathbb C \to \mathbb C\) \(\exp(z) = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\)
stetig, nicht injektiv
( \(\exp : \mathbb R \times [0,2 \pi) i \to \mathbb C^*\) ist bijektiv; Umkehrabbildung \(\log: \mathbb C^* \to \mathbb R \times [0,2 \pi) i\) )
stetig mit \(|\exp(z)| = \exp(\text{Re}(z)) \quad \forall z \in \mathbb C\)
insbesondere \(|\exp (iy)| = 1 \quad \forall y \in \mathbb R\)
\(\big(\) Konvergenzradius: \(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} \sqrt[n] {\left| \frac{1}{n ! } \right|} =0 \) \(\Rightarrow R = \infty \Rightarrow \) konvergiert \(\forall z \in \mathbb C\) \(\big)\)
Definition Sinus und Cosinus
\(\sin(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, z^{2n+1}\) \(\cos(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \, z^{2n}\)
Daraus folgt (siehe Def. \(\exp\)):
\(\sin(z) = \frac{ \exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}\) und \(\cos(z) = \frac{ \exp(iz)+\exp(-iz)}{2}\)
weil
\(\cos(z) + i \sin(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, z^{2n+1} + i\frac{(-1)^n}{(2n)!} \, z^{2n} \right) = \exp(iz)\)
\(\exists ! \pi \in (0,4) \subset \mathbb R : \sin(\pi) = 0\) und es gilt \(e^{2 \pi i} =1 \)
\(\sin'(x) = \cos(x), \quad \cos'(x) = -\sin(x)\)
Partialsumme
Sei \((V, ||\dots||)\) ein normierter Vektorraum. \((v_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge auf V.
\(s_n = v_0 + \dots + v_n = \sum \limits _{i=0}^n v_i\) ist eine Partialsumme. Die Partialsummen bilden wieder eine Folge auf V:
\((s_n)_{n=0}^\infty = \) (wird auch Reihe genannt)
Grenzwert einer Reihe
Sei \((V, ||\dots||)\) ein normierter Vektorraum. \((v_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge auf V.
Und \((s_n)_{n=0}^\infty\) mit \(s_n = \sum \limits_{i=0}^n v_i\) die entsprechende Reihe.
Der Grenzwert: \(w = \lim \limits_{n \to \infty} s_n = \sum \limits_{n = 0}^\infty v_n\)
also \(\forall \varepsilon >0 \ \exists N \in \mathbb N : ||s_n-w|| < \varepsilon \ \forall n \ge N\)
Existiert der Grenzwert, so gilt: \(\lim \limits_{n \to \infty} s_{n+1} - s_n = \lim \limits_{n \to \infty} x_{n+1} = 0\)
\((x_n)_{n=0}^\infty\) ist eine Nullfolge
Absolute Konvergenz
\(\sum \limits_{n = 0}^\infty v_n\) konvergiert absolut, falls die Reihe \(\sum \limits_{n = 0}^\infty ||v_n||\) konvergiert.
( \(v_i \in (V, ||\dots||)\) )
Für absolut konvergierende Reihen \((z_n)_{n=0}^\infty \in \mathbb C\) gilt: \(\left| \sum \limits_{n = 0}^\infty z_n \right| \le \sum \limits_{n = 0}^\infty | z_n |\)
Majoranten-Kriterium
Seien \((a_n)_{n=0}^\infty , (b_n)_{n=0}^\infty \in \mathbb R\) Folgen mit \(0 \le a_n \le b_n\).
Falls \(\sum \limits_{n=0}^\infty b_n\) konvergiert, so konvergiert \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) und es gilt \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \le \sum \limits_{n=0}^\infty b_n\) .
(Denn \(\left( \sum \limits_{k=0}^n a_k \right)_{n=0}^\infty\) ist monoton steigend und beschränkt)
Verdichtungskriterium
Sei \(( a_n )_{n=0}^\infty\) eine monoton fallende Folge in \(\mathbb R_{ \ge 0}\) .
\(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) konvergiert \(\Longleftrightarrow\) \(\sum \limits_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}\) konvergiert
Leibnitzkriterium
Sei \(( a_n )_{n=0}^\infty\) eine monoton fallende Folge in \(\mathbb R_{ \ge 0}\) . \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n = 0\)
Dann konvergiert \( \sum \limits_{n=0}^\infty(-1)^n \, a_n\) (alternierende Reihe)
(Weil mit \(s_n := \sum \limits_{k=0}^n (-1)^k a_k\) gilt \(s_{2n-1} \le \sum \limits_{k=0}^\infty (-1)^k a_k \le s_{2n}\) wobei \((s_{2n})_{n=0}^\infty\) monoton fallend und durch \(s_1\) beschränkt, analog \((s_{2n+1})_{n=0}^\infty\) monoton steigend und durch \(s_0\) beschränkt. Also konvergieren beide Seiten des Sandwich wobei \(\lim \limits_{n \to \infty} s_{n} - s_{n-1} = \lim \limits_{n \to \infty} a_n = 0\) und somit auch die Reihe selbst konvergiert.
Cauchy-Kriterium
Sei \(( a_n )_{n=0}^\infty \) eine reelle Folge.
\(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \) konvergiert \(\Longleftrightarrow\) \(\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists N \in \mathbb N : \left| \sum \limits_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon \ \ \ \)\(\forall n,m: n \ge m \ge N\)
(Also Folge \((s_n)_{n=0}^\infty\) ist Cauchy)
Cauchy's Wurzelkriterium
Sei \((a_n)_{n=0}^\infty\) eine relle Folge.
\(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} (\sqrt[n]{|a_n|}) \in \mathbb R_{\ge 0} \cup \{ \infty \}\)
Für \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) gilt \(\bigg\{ \begin{smallmatrix}\text{konvergiert absolut} & \text{für } \rho <1 \\\text{divergiert} & \text{für } \rho>1\end{smallmatrix}\)
D'Alembert's Quotientenkriterium
Sei \((a_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge komplexer Zahlen mit \(a_n \not =0 \ \ \forall n\).
\(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} {| \frac{a_{n+1}}{a_n} |}\)
Für \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) gilt \(\bigg\{ \begin{smallmatrix} \text{konvergiert absolut} & \text{für } \rho <1 \\ \text{divergiert} & \text{für } \rho>1 \end{smallmatrix}\)
Umordnungssatz
Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \) eine absolut konvergierende Reihe (in \(\mathbb C, \mathbb R, (V, \| \cdot \|)\)). Sei \(\varphi: \mathbb N \to \mathbb N \) eine Bijektion.
Dann konvergiert \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_{\varphi(n)}\) absolut und es gilt \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_{\varphi(n)} = \sum \limits_{n=0}^\infty a_n\).
Potenzreihe
Potenzreihe mit Koeffizienten in K; Folge \((a_n)_{n=0}^\infty\) in K geschrieben als \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, T^n\). ( T = "variable")
\(K[\![ T ]\!]\) d.h. Menge aller formalen Potenzreihen
Konvergenzradius
Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, T^n \in \mathbb C [\![T]\!]\). Sei \(\rho = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \in [0,\infty) \cup \{ \infty \}\) .
Der Konvergenzradius der Reihe \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, T^n \) ist \(R = \Bigg\{ \begin{matrix}\infty & \text{falls} & \rho = 0 \\\frac{1}{\rho} & \text{falls} & \rho > 0 , \rho \not = \infty\\0 & \text{falls} & \rho = \infty\end{matrix}\)
Für \(z \in \mathbb C\) mit \(|z| < R\) konvergiert \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, z^n \) wegen Cauchy's Wurzelkriterium absolut.
Was ist bei..
- D'Alembert's Quotientenkriterium mit \(\rho = \limsup\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| > 1\) und \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) konvergiert doch
- einer Potenzreihe an einem Ort mit \(|z| = R\) (Konvergenzradius)
- z.B. \(\bigg\{ \begin{smallmatrix}a_n\ =\ 10^{-n} & n \ \text{gerade}\\a_n\ =\ 2\cdot 10^{-n+1} &n \ \text{ungerade}\\\end{smallmatrix}\); \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n = 3.0303..\) mit \(\rho = 2\)
- Keine Aussage. Potenzreihe kann konvergieren oder divergieren.
z.B. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{T^n}{n}\), \(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} \sqrt[n] \frac{1}{n} = 1 \) \(\Rightarrow R = 1\)
z = -1, konvergiert; z = 1 und z = i, divergiert;
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