5-6 Riemann Integral, Folgen und Grenzwerte
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; zum Kapitel 5 und 6 aus der Vorlesung
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; zum Kapitel 5 und 6 aus der Vorlesung
Set of flashcards Details
Flashcards | 46 |
---|---|
Language | Deutsch |
Category | Maths |
Level | University |
Created / Updated | 18.06.2020 / 08.06.2025 |
Weblink |
https://card2brain.ch/box/20200618_6_folgen_und_grenzwerte
|
Embed |
<iframe src="https://card2brain.ch/box/20200618_6_folgen_und_grenzwerte/embed" width="780" height="150" scrolling="no" frameborder="0"></iframe>
|
Create or copy sets of flashcards
With an upgrade you can create or copy an unlimited number of sets and use many more additional features.
Log in to see all the cards.
Limes superior, Limes inferior
\(\limsup \limits_{n \to \infty} x_n := \lim \limits_{k \to \infty} ( \sup\{ x_n \,|\, n \ge k\})\)
\(\liminf \limits_{n \to \infty} x_n := \lim \limits_{k \to \infty} ( \inf\{ x_n \,|\, n \ge k\})\)
Bernoulli-Ungleichung
Sei \(a \in \mathbb R\) mit \(a \ge -1\) dann gilt:
\((1+a)^n \ge 1+na \quad \forall n \in \mathbb N\)
Grenzwert einer Funktion
Sei \(f : D \to \mathbb R\) eine Funktion. Eine reelle Zahl \(a\) heisst Grenzwert von \(f(x)\) für \(x \to x_0\), falls..
\(\forall \varepsilon >0 \ \ \exists \delta >0 : \,\)\(x \in D \cap B(x_0, \delta) \Longrightarrow | f(x) - a| < \varepsilon\)
Falls der Grenzwert existiert schreibe:
\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = a\)
Weiter gilt, falls \(\lim \limits_{x \to x_0} g(x) = b\) esistiert:
\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) + g(x) = a + b\) und \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) g(x) = a b\)
Stetigkeit mit Grenzwerten
\(f: D \to \mathbb R\) stetig bei \(x_0 \quad \)\(\Longleftrightarrow \quad \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)
Falls \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x \ge x_0 \end{smallmatrix}} f(x) \) existiert sagen wir \(f\) sei rechtsseitig stetig (analog links).
Wir nennen \(x_0 \in D\) Sprungstelle, falls \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x < x_0 \end{smallmatrix}} f(x) \) und \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x > x_0 \end{smallmatrix}} f(x) \) existieren aber verschieden sind.
hebbare Unstetigkeitsstelle
Angenommen \(x_0 \in D\) sei HP von D, also auch von \(D \backslash \{ x_0 \}\).
Sei \(f ^* : D \backslash \{ x_0 \} \to \mathbb R\) die Einschränkunt von \(f\) auf \(D \backslash \{ x_0 \}\).
Schreibe \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix}x \to x_0 \\x \not = x_0\end{smallmatrix}} f(x) := \lim\limits_{x \to x_0} f^*(x)\) falls dieser Grenzwert existiert.
(Grenzwert von \(f\) in punktierter Umgebung von \(x_0\))
Dann ist \(x_0 \in D\) eine hebbare Unstetigkeitsstelle von \(f\). Und zwar mit
\(\tilde f : D \to \mathbb R \\\tilde f(x) = \Big\{ \begin{smallmatrix}f(x) && \text{falls} & x \in D \backslash \{x_0\} \\A && \text{falls} & x = x_0\end{smallmatrix}\)
Uneigentliche Grenzwerte
\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = \infty\) für
\(\forall M \in \mathbb R \ \ \exists \delta > 0 \ : \ \)\(|x-x_0| < \delta \Longrightarrow f(x) > M \ \ \forall x \in D\)
Umgekehrt:
\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = -\infty\) wenn \(\lim \limits_{x \to x_0} -f(x) = \infty\)
Rechtsseitiger Grenzwert
\(\lim \limits_{ \begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x > x_0\end{smallmatrix} }f(x) = a\) Bzw. linksseitiger: \(\lim \limits_{ \begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x < x_0\end{smallmatrix} }f(x) = a\)
z.B. \(\lim \limits_{ \begin{smallmatrix} x \to 0 \\ x > 0\end{smallmatrix} }\text{sgn} (x) = 1\) während \(\lim \limits_{x \to 0}\text{sgn} (x)\) oder \(\lim \limits_{ \begin{smallmatrix} x \to 0 \\ x \not = 0\end{smallmatrix} }\text{sgn} (x)\) nicht existieren
Landau-Notation
\(f\) ist Gross-O von \(g\) ( \(f(x) = O(g(x))\) ) für \(x \to x_0\), wenn:
\(\exists \delta > 0 , \ M > 0 : \, \)\(|x-x_0| < \delta \Longrightarrow |f(x)| \le M \, |g(x)|\)
\(f\) ist klein-o von \(g\) ( \(f(x) = o(g(x))\) ) für \(x \to x_0\), wenn:
\(\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : \, \)\(|x-x_0| < \delta \Longrightarrow|f(x)| \le \varepsilon \, |g(x)|\)
Normen in Vektorräumen
Eine Norm auf V (einem \(\mathbb K\)-Vektorraum, \(\mathbb K = \mathbb R \vee \mathbb K = \mathbb C\) ) ist eine Abbildung \(||\dots|| : V \to \mathbb R\) mit den Eigenschaften:
- Definitheit
\(||v|| \ge 0 \ \ \forall v \in V\) und \(||v|| = 0 \Longleftrightarrow v = 0\) - Homogenität
\(\forall v \in V \ \ \forall \alpha \in K : \,\)\(|| \alpha \cdot v || = | \alpha | \cdot ||v||\) - Dreiecksungleichung
\(||v + w|| \le ||v|| + ||w||\)
\(1,2,\infty\)-Norm auf \(\mathbb K = \mathbb R^n\)
Die p-Norm mit \(p \in \mathbb R\) ist allgemein: \(||v||_p = \left( \sum \limits_{i=1}^n |x_i|^p\right)^\frac{1}{p}\)
- 1-Norm: \(||v||_1 = \sum\limits_{i=1}^n |x_i|\)
- 2-Norm, Euklidische Norm, Standardnorm: \(||v||_2 = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}\)
- \(\infty\)-Norm, sup-Norm, Maximumsnorm: \(||v||_\infty = \max \{ |x_1|, \dots, |x_n|\}\)
Ähnlich für \(V = \mathcal C([a,b])\) den VR aller stetigen Fct \(f: [a,b] \to \mathbb R\)
\(L_1, L_2, .. ,L_\infty\)-Norm mit \(||f||_p = \left( \int_a^b |f(x)|^p \, dx \right)^\frac{1}{p}\)
Äquivalente Normen
Norm \(||\dots||_1\) und \(||\dots||_2\) sind äquivalent wenn \(\exists A,B \in \mathbb R : \begin{matrix}||v||_1 \le A||v||_2 \ \forall v \in V \\||v||_2 \le B||v||_1 \ \forall v \in V\end{matrix}\)
Das trifft sowohl auf die p-Normen im \(V = \mathbb R^n\) wie auch im \(V = \mathcal C([a,b])\) zu. (mit \(p \in \mathbb N\backslash\{0\}\))
Unf für zwei Normen auf einem \(\mathbb K\)-VR gilt:
- Sie sind äquivalent.
- Die Identitätsabbildung \(||\dots||_1 \to ||\dots||_2\) bzw. \(||\dots||_2 \to ||\dots||_1\) ist stetig.
- Eine offen Teilmenge ist bzgl. \(||\dots||_1\) offen, genau dann, wenn auch bzgl. \(||\dots||_2\)
Eine Folge konvergiert bzgl. \(||\dots||_1\), genau dann, wenn auch bzgl. \(||\dots||_2\)
Skalarprodukte in K-Vektorräumen
Abbildung \(\langle .,. \rangle : V \times V \to K,\ (v,w) \to \langle v, w \rangle\) mit:
- Sesquilinearität
\(\forall \alpha, \beta \in K, \ \ v_1,v_2,w_1,w_2 \in V : \,\)\(\langle \alpha v_1 + \beta v_2, w\rangle = \alpha \langle v_1, w\rangle + \beta \langle v_2, w\rangle \\ \langle v, \alpha w_1 + \beta w_2 \rangle = \bar \alpha \langle v, w_1 \rangle + \bar \beta \langle v, w_2 \rangle\) - Symmetrie \(\langle v, w \rangle = \overline {\langle w, v \rangle}\)
- positive Definitheit \(\forall v \in V : \langle v,v \rangle \in \mathbb R _{\ge0}\) und \(\langle v,v \rangle = 0 \implies v = 0\)
Satz von Heine-Borel
Sei \(d \in \mathbb N\). So hat jede bzgl. der Euklidischen Norm beschränkte Folge in \(\mathbb K ^d\) einen Häufungspunkt und eine konvergierende Teilfolge.
\((X, \langle . , . \rangle ) \) Eine Menge mit Skalarprodukt ist ein..
Prähilbertraum
Also auch ein normierter Vektorraum, also auch ein Metrischer Raum.
\((X, \langle . , . \rangle ) \Longrightarrow (X, ||\dots ||) \,\)\(\Longrightarrow (X,d)\)
Konvergenz einer Folge im \(\mathbb K \)-Vektorraum
Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie komponentenweise bzgl. der 1-Norm konvergiert.
Definition Exponentialfunktion
\(e^x\)
\(\exp(x) = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n\)
\(\exp(1) = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \mathrm e\) die euler'sche Zahl
Eigenschaften Exponentialfunktion
\(\exp(x)\)
\(\exp: \mathbb R \to \mathbb R_{>0}\)
bijektiv, streng monoton steigend, stetig
\(\exp(0) = 1 \\\exp(-x) = \exp(x)^{-1} \quad \forall x \in \mathbb R \\\exp(x+y) = \exp(x) \exp(y) \quad \forall x,y \in \mathbb R\)
Zerlegung von \([a,b]\)
endlich viele Elemente (Trennungspunkte \(x_i\)): \(a=x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\)
\([a,b] = \{ x_0 \} \cup(x_0,x_1)\cup \{x_1\} \cup \dots \cup (x_{n-1}, x_n) \cup \{x_n\}\)
Treppenfunktion
Eine Funktion \(f:[a,b] \to \mathbb R\) heisst Treppenfunktion, falls eine Zerlegung von \([a,b]\) existiert, sodass:
\(f|_{(x_{i-1},x_{i})} = c_i\) konstant \(\forall i = 1, \dots, n\) (\(c_i\) : Konstanzwert)
i.e. \(f\) ist Treppenfunktion bezüglich dieser Zerlegung
Wir schreiben:
\(\int\limits_a^b f(x) dx = \sum\limits_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) \cdot c_i\)
Die Menge aller Treppenfunktionen sind ein Vektorraum:
Die Abbildung
\(I: \mathcal F([a,b]) \to \mathbb R \\\quad \ f \longrightarrow \int_a^b f(x) dx = I(f)\)
erfüllt:
- Linearität:
\(I(f+c\cdot g)=I(f) + c \cdot I(g)\) - Monotonie:
\(g \le f \Rightarrow I(g)\le I(f)\) - Eichung:
\(I(\mathbf1_{[c,d]}) = d-c\quad \forall [c,d] \subseteq [a,b]\)
Beschränkte Funktion \(f:[a,b] \to \mathbb R\) ist Riemann integrierbar, falls
\(\inf \big( \mathcal O(f) \big) = \sup \big(\mathcal U (f) \big)\)
mit Untersumme \(\mathcal U (f) \) und Obersumme \(\mathcal O(f)\):
\(\mathcal U(f) = \left\{ \int\limits_a^b u dx \,\bigg| \, u \in \mathcal{TF}, u\le f\right\}\)
\(\mathcal O(f) = \left\{ \int\limits_a^b o dx \,\bigg| \, o \in \mathcal{TF}, o \ge f\right\}\)
Insbesondere ist jede \(\mathcal {TF}\) (Treppenfunktion) Riemann integrierbar.
Beispiel für beschränkte, nicht Riemann integrierbare Funktion
z.B. :
\(f:[0,1] \to \mathbb R, f(x) = \bigg \{ \begin{matrix}1 && x \in \mathbb Q \\0 && \text{sonst}\end{matrix}\)
Nützliche Umformung der Definition von Riemann integrierbarkeit
Beschränkte Funktion \(f: [a,b] \to \mathbb R\) ist Riemann integrierbar, falls \(\forall \varepsilon > 0\)..
\(\exists u,o \in \mathcal{TF}, u \le f \le o : \ \)\(\int_a^b (o-u) dx < \varepsilon\)
Dreiecksungleichung für Integrale
\(\left| \int_a^b f \ dx\right| \le \int_a^b |f(x)| \ dx\)
Sei \(f:[a,b] \to \mathbb R\) monoton. Dann..
ist f integrierbar
Sei \(f:[a,b] \to \mathbb R\) stetig. Dann..
ist f integrierbar.
(Intervall [a,b] kompakt, also f gleichmässig stetig. Wähle \(\delta > x_k -x_{k-1} \quad \forall k = i,\dots, n\) )
Insbesondere sind Polynomfunktionen integrierbar.
metrischer Raum
\((X,d)\) Menge mit Distanzfunktion bzw. Metrik
def. Distanzfunktion?
\(d:X \times X \to \mathbb R_{\ge 0}\)
- Definitheit \(d(x,y) \ge 0\), \(d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y\)
- Symmetrie \(d(x,y) = d(y,x)\)
- Dreiechsungleichung \(d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)\)
Beispiele von Metriken
- Standardmetrik auf \(\mathbb R, \ \mathbb C \simeq \mathbb R^2, \ \mathbb R^n\) \(d(x,y) = |x-y|\)
- diskrete Metrik \(d(x_1,x_2) = \Big\{ \begin{smallmatrix}1 && \text{falls} \ x_1 \not = x_2 \\ 0 && \text{falls} \ x_1 = x_2\end{smallmatrix}\)
- kürzester Weg (\(n \in \mathbb N\)) beim kominatorischen Graphen
- "SNCF-Metrik" oder "NY-Metrik" im \(\mathbb R^2\)
\(d(x,y) = \bigg\{ \begin{smallmatrix} |x| + |y| && \text{falls x,y nicht kolinear} \\ |x - y| && \text{falls x,y kolinear} \end{smallmatrix}\), \(d(x,y) = d \left( \big( \begin{smallmatrix} x_1 \\ x_2 \end{smallmatrix} \big) , \big( \begin{smallmatrix} y_1 \\ y_2 \end{smallmatrix} \big) \right) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2|\) - mit \(X = \mathcal C ([a,b])\) (stetige Fct. auf [a,b]): \(d(f,g) = \max\{ |f(x)-g(x)| \, \big| \, x \in [a,b]\}\)
- mit \(X = \mathcal C ([a,b])\) \(d(f,g) = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx\)
Sei \((X,d)\) metrischer Raum.
Was ist ein Ball?
\(B(x_0, r) = \{ x\in X \,|\,d(x, x_0) < r \} \) mit \(x_0 \in X, r\in \mathbb R_{>0}\)
ein offener Ball mit Zentrum \(x_0\) und Radius \(r\)
Sei \((X,d)\) metrischer Raum, \(A \subseteq X\) Teilmenge.
Wann heisst \(A \) beschränkt?
Falls:
\(\exists R \ge 0 : d(x,y) \le R \quad \forall x,y \in A\)
bsp. \(A = \mathbb Z \subseteq \mathbb R\) ist nicht beschränkt
-
- 1 / 46
-