Lernkarten
Definition Exponentialfunktion
\(e^x\)
\(\exp(x) = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n\)
\(\exp(1) = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \mathrm e\) die euler'sche Zahl
Eigenschaften Exponentialfunktion
\(\exp(x)\)
\(\exp: \mathbb R \to \mathbb R_{>0}\)
bijektiv, streng monoton steigend, stetig
\(\exp(0) = 1 \\\exp(-x) = \exp(x)^{-1} \quad \forall x \in \mathbb R \\\exp(x+y) = \exp(x) \exp(y) \quad \forall x,y \in \mathbb R\)
Zerlegung von \([a,b]\)
endlich viele Elemente (Trennungspunkte \(x_i\)): \(a=x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\)
\([a,b] = \{ x_0 \} \cup(x_0,x_1)\cup \{x_1\} \cup \dots \cup (x_{n-1}, x_n) \cup \{x_n\}\)
Treppenfunktion
Eine Funktion \(f:[a,b] \to \mathbb R\) heisst Treppenfunktion, falls eine Zerlegung von \([a,b]\) existiert, sodass:
\(f|_{(x_{i-1},x_{i})} = c_i\) konstant \(\forall i = 1, \dots, n\) (\(c_i\) : Konstanzwert)
i.e. \(f\) ist Treppenfunktion bezüglich dieser Zerlegung
Wir schreiben:
\(\int\limits_a^b f(x) dx = \sum\limits_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) \cdot c_i\)
Die Menge aller Treppenfunktionen sind ein Vektorraum:
Die Abbildung
\(I: \mathcal F([a,b]) \to \mathbb R \\\quad \ f \longrightarrow \int_a^b f(x) dx = I(f)\)
erfüllt:
- Linearität:
\(I(f+c\cdot g)=I(f) + c \cdot I(g)\) - Monotonie:
\(g \le f \Rightarrow I(g)\le I(f)\) - Eichung:
\(I(\mathbf1_{[c,d]}) = d-c\quad \forall [c,d] \subseteq [a,b]\)
Beschränkte Funktion \(f:[a,b] \to \mathbb R\) ist Riemann integrierbar, falls
\(\inf \big( \mathcal O(f) \big) = \sup \big(\mathcal U (f) \big)\)
mit Untersumme \(\mathcal U (f) \) und Obersumme \(\mathcal O(f)\):
\(\mathcal U(f) = \left\{ \int\limits_a^b u dx \,\bigg| \, u \in \mathcal{TF}, u\le f\right\}\)
\(\mathcal O(f) = \left\{ \int\limits_a^b o dx \,\bigg| \, o \in \mathcal{TF}, o \ge f\right\}\)
Insbesondere ist jede \(\mathcal {TF}\) (Treppenfunktion) Riemann integrierbar.
Beispiel für beschränkte, nicht Riemann integrierbare Funktion
z.B. :
\(f:[0,1] \to \mathbb R, f(x) = \bigg \{ \begin{matrix}1 && x \in \mathbb Q \\0 && \text{sonst}\end{matrix}\)
Nützliche Umformung der Definition von Riemann integrierbarkeit
Beschränkte Funktion \(f: [a,b] \to \mathbb R\) ist Riemann integrierbar, falls \(\forall \varepsilon > 0\)..
\(\exists u,o \in \mathcal{TF}, u \le f \le o : \ \)\(\int_a^b (o-u) dx < \varepsilon\)
