5-6 Riemann Integral, Folgen und Grenzwerte

\(\exp(x) = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n\)

\(\exp(1) = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \mathrm e\)     die euler'sche Zahl

\(\exp: \mathbb R \to \mathbb R_{>0}\)

bijektiv, streng monoton steigend, stetig

\(\exp(0) = 1 \\\exp(-x) = \exp(x)^{-1} \quad \forall x \in \mathbb R \\\exp(x+y) = \exp(x) \exp(y) \quad \forall x,y \in \mathbb R\)

endlich viele Elemente (Trennungspunkte \(x_i\)):  \(a=x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\)

\([a,b] = \{ x_0 \} \cup(x_0,x_1)\cup \{x_1\} \cup \dots \cup (x_{n-1}, x_n) \cup \{x_n\}\)

Eine Funktion \(f:[a,b] \to \mathbb R\) heisst Treppenfunktion, falls eine Zerlegung von \([a,b]\) existiert, sodass:

\(f|_{(x_{i-1},x_{i})} = c_i\) konstant   \(\forall i = 1, \dots, n\)    (\(c_i\) : Konstanzwert)

i.e. \(f\) ist Treppenfunktion bezüglich dieser Zerlegung

Wir schreiben:

\(\int\limits_a^b f(x) dx = \sum\limits_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) \cdot c_i\)

1. Linearität:
   \(I(f+c\cdot g)=I(f) + c \cdot I(g)\)
2. Monotonie:
   \(g \le f \Rightarrow I(g)\le I(f)\)
3. Eichung:
   \(I(\mathbf1_{[c,d]}) = d-c\quad \forall [c,d] \subseteq [a,b]\)

\(\inf \big( \mathcal O(f) \big) = \sup \big(\mathcal U (f) \big)\)

mit Untersumme \(\mathcal U (f) \) und Obersumme \(\mathcal O(f)\):
 \(\mathcal U(f) = \left\{ \int\limits_a^b u dx \,\bigg| \, u \in \mathcal{TF}, u\le f\right\}\)
 \(\mathcal O(f) = \left\{ \int\limits_a^b o dx \,\bigg| \, o \in \mathcal{TF}, o \ge f\right\}\)

Insbesondere ist jede \(\mathcal {TF}\) (Treppenfunktion) Riemann integrierbar.

z.B. :

\(f:[0,1] \to \mathbb R, f(x) = \bigg \{ \begin{matrix}1 && x \in \mathbb Q \\0 && \text{sonst}\end{matrix}\)

\(\exists u,o \in \mathcal{TF}, u \le f \le o : \ \)\(\int_a^b (o-u) dx < \varepsilon\)