5-6 Riemann Integral, Folgen und Grenzwerte

z.B. :

\(f:[0,1] \to \mathbb R, f(x) = \bigg \{ \begin{matrix}1 && x \in \mathbb Q \\0 && \text{sonst}\end{matrix}\)

\(\exists u,o \in \mathcal{TF}, u \le f \le o : \ \)\(\int_a^b (o-u) dx < \varepsilon\)

\(\left| \int_a^b f \ dx\right| \le \int_a^b |f(x)| \ dx\)

ist f integrierbar

ist f integrierbar.

(Intervall [a,b] kompakt, also f gleichmässig stetig. Wähle \(\delta > x_k -x_{k-1} \quad \forall k = i,\dots, n\) )

Insbesondere sind Polynomfunktionen integrierbar.

\(d:X \times X \to \mathbb R_{\ge 0}\)

• Definitheit  \(d(x,y) \ge 0\),     \(d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y\)
• Symmetrie  \(d(x,y) = d(y,x)\)
• Dreiechsungleichung  \(d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)\)

• Standardmetrik auf \(\mathbb R, \ \mathbb C \simeq \mathbb R^2, \ \mathbb R^n\)    \(d(x,y) = |x-y|\)
• diskrete Metrik \(d(x_1,x_2) = \Big\{ \begin{smallmatrix}1 && \text{falls} \ x_1 \not = x_2 \\ 0 && \text{falls} \ x_1 = x_2\end{smallmatrix}\)
• kürzester Weg (\(n \in \mathbb N\)) beim kominatorischen Graphen
• "SNCF-Metrik" oder "NY-Metrik" im \(\mathbb R^2\)
  \(d(x,y) = \bigg\{ \begin{smallmatrix} |x| + |y| && \text{falls x,y nicht kolinear} \\ |x - y| && \text{falls x,y kolinear} \end{smallmatrix}\),     \(d(x,y) = d \left( \big( \begin{smallmatrix} x_1 \\ x_2 \end{smallmatrix} \big) , \big( \begin{smallmatrix} y_1 \\ y_2 \end{smallmatrix} \big) \right) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2|\)
• mit \(X = \mathcal C ([a,b])\) (stetige Fct. auf [a,b]): \(d(f,g) = \max\{ |f(x)-g(x)| \, \big| \, x \in [a,b]\}\)
• mit \(X = \mathcal C ([a,b])\)   \(d(f,g) = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx\)

\(B(x_0, r) = \{ x\in X \,|\,d(x, x_0) < r \} \)    mit  \(x_0 \in X, r\in \mathbb R_{>0}\)

ein offener Ball mit Zentrum \(x_0\) und Radius \(r\)

Falls:

\(\exists R \ge 0 : d(x,y) \le R \quad \forall x,y \in A\)

bsp. \(A = \mathbb Z \subseteq \mathbb R\) ist nicht beschränkt

\(\forall x_0 \in A \ \exists \delta >0 : B(x_0, \delta) \subseteq A\)

Und \(B \subseteq X\) abgeschlossen, falls  \(X \backslash B\) offen.

metrische Räume (X,d) und (Y,d)

Funktion \(f: X \to Y\) heisst stetig im Punkt \(x_0 \in X\) falls:
\(\forall \varepsilon >0 \ \exists \delta >0 : \ \)\(d_X(x,x_0) < \delta \Longrightarrow d_Y \big((f(x), f(x_0) \big) < \varepsilon\)
(\(f\) stetig, wenn stetig in jedem Punkt, also obiges \(\forall x_0 \in X\); zu jedem Punkt und \(\varepsilon\) ein \(\delta\))

gleichmässig stetig:   Wenn obiges \(\forall x,x_0 \in X\), also ein \(\delta(\varepsilon)\) für alle Punkte

Lipschitz stetig:  \(\exists L \ge 0 : d_Y \big( f(x_1), f(x_2) \big) \le L \cdot d_X(x_1,x_2)\)

Für jede offene Teilmenge \(U \subseteq Y\) ist das Urbild \(f^{-1}(U) \subseteq X\) offen.

\(f^{-1}(U) = \{x \in X \,|\, f(x) \in U\}\)

Funktion \(x: \mathbb N \to X\) (kann auch auf einen Funktionenraum wie z.B. \(\mathcal C ([0,1])\) stetige Fct auf [0,1] gehen)

schreibe Folgeglieder als \(x(n) = x_n\)

gesamte Folge als \((x_n)^\infty_{n=0}\) geschrieben

Folge heisst beschränkt, wenn ihr Bild beschränkt ist.

Sei Folge \((x_n)_{n=0}^\infty\) auf metrischem Raum \((X,d)\).

Element \(a \in X\) heisst Grenzwert, falls:

\(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb N :\) \(n \ge N \Longrightarrow d(a, x_n) < \varepsilon\)

Schreibe auch  \(a = \lim\limits_{n \to \infty} x_n\)

Folge heisst konvergent, falls Grenzwert existiert. Andernfalls divergent.

\(\left( \exists a = \lim\limits_{n \to \infty} x_n \right)\)

ist \((x_n)_{n=0}^\infty\) beschränkt.

Sei \((x_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge auf dem metrischen Raum \((X,d)\).

Element \(a \in X \) heisst Häufungspunkt falls:
\(\forall \varepsilon >0 \ \forall N \in \mathbb N \ \exists n \ge N : \ \)\(d(x_n,a)< \varepsilon\)

Ist eine Folge konvergent ist der Grenzwert der einzige HP.

Existieren HP, so existiert zu jedem HP konvergierende Teilfolgen \((y_k)_{k=0}^\infty\) von \((x_n)_{n=0}^\infty\) mit dem HP als Grenzwert.

\((y_k)_{k=0}^\infty\) ist Teilfolge von \((x_n)_{n = 0}^\infty\), falls

\(\exists f: \mathbb N \to \mathbb N\) streng monoton steigend mit \(y_k = x_{f(k)} \quad \forall k \in \mathbb N\)

\(\big( f(x_n) \big)_{n=0}^\infty\) konvergiert gegen \(f(a)\)

Folge \((x_n)_{n=0}^\infty\) heisst Cauchy-Folge, falls
\(\forall \varepsilon >0 \ \exists N \in \mathbb N : \,\)\(d(x_n, x_m) < \varepsilon \ \forall n,m \ge \mathbb N\)

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Aber nicht jede Cauchy-Folge konvergiert:
z.B. \((x_n)_{n=0}^\infty\) mit \(x_n = 10^{-n}\) auf \((X,d)\) mit \(X = (0,1), \ d(x,y) = |x-y|\)
(weil \(0 \not \in X\))

Ein metrischer Raum \((X,d)\) heisst vollständig, falls jede Cauchy-Folge in \(X\) konvergiert.

z.B. \((0,1)\) oder \(\mathbb Q\) sind nicht vollständig

Eigenschaften von \(T: X \to X\) :

\(T\) ist eine Kontraktion, also Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante \(0 \le \lambda < 1\), also \(d \big( T(x),T(y) \big) \le \lambda \cdot d(x,y)\)

(zwei Punkte sind nach anwenden von \(T\) näher beisammen, also gibt es einen Fixpunkt a)

1. Die Folge \((x_n + y_n)_{n=0}^\infty\) konvergiert gegen \(\lim\limits_{n \to \infty} ( x_n + y_n) = a + b\)  (vgl. Komplexe Folge)
2. Die Folge \((x_n y_n)_{n=0}^\infty\) konvergiert gegen \(\lim\limits_{n \to \infty} ( x_n y_n) = a b\)
3. Angenommen \(x_n \not = 0 \ \ \forall n\) und \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n \not = 0\).
   Dann konvergiert \((x_n^{-1})_{n=0}^\infty\) gegen \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n^{-1} = a^{-1}\)
4. Gilt \(a < b\) so existiert eine Schranke \(N \in \mathbb N\) mit \(x_n < y_n \quad \forall n \ge N\)
5. Existiert ein \(N \in \mathbb N\) so dass \(x_n \le y_n\) für \(n \ge N\) so gilt \(a \le b\)

für jede konvergente Folge \((y_n)_{n=0}^\infty\) in \(D\) mit \(\lim \limits_{n \to \infty} y_n = x_0\)

auch die Folge \(\big( f(x_n) \big)_{n=0}^\infty\) konvergiert und \(\lim \limits_{n \to \infty} f(y_n) = f(x_0)\) gilt.

Seien \((x_n)_{n=0}^\infty, (y_n)_{n=0}^\infty, (z_n)_{n=0}^\infty\) Folgen in \(\mathbb R\).

Angenommen \(x_n \le y_n \le z_n \ \ \forall n \ (n \ge N)\) und \((x_n)_{n=0}^\infty\) und \((z_n)_{n=0}^\infty\) konvergieren gegen denselben Grenzwert \(a \in \mathbb R\).

Dann konvergiert auch \((y_n)_{n=0}^\infty\) mit \(\lim \limits_{n \to \infty} y_n = a\).

sie beschränkt ist.

Ist sie monoton wachsend, so gilt \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = \sup \{x_n \,|\,n \in \mathbb N\}\).
Monoton fallend entsprechen \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = \inf \{x_n \,|\,n \in \mathbb N\}\).

\(\limsup \limits_{n \to \infty} x_n := \lim \limits_{k \to \infty} ( \sup\{ x_n \,|\, n \ge k\})\)

\(\liminf \limits_{n \to \infty} x_n := \lim \limits_{k \to \infty} ( \inf\{ x_n \,|\, n \ge k\})\)

Sei \(a \in \mathbb R\) mit \(a \ge -1\) dann gilt:

\((1+a)^n \ge 1+na \quad \forall n \in \mathbb N\)

\(\forall \varepsilon >0 \ \ \exists \delta >0 : \,\)\(x \in D \cap B(x_0, \delta) \Longrightarrow | f(x) - a| < \varepsilon\)

Falls der Grenzwert existiert schreibe:
\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = a\)

Weiter gilt, falls \(\lim \limits_{x \to x_0} g(x) = b\) esistiert:
\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) + g(x) = a + b\)  und  \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) g(x) = a b\)

\(f: D \to \mathbb R\) stetig bei \(x_0 \quad \)\(\Longleftrightarrow \quad \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)

Falls \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x \ge x_0 \end{smallmatrix}} f(x) \) existiert sagen wir \(f\) sei rechtsseitig stetig (analog links).

Wir nennen \(x_0 \in D\) Sprungstelle, falls \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x < x_0 \end{smallmatrix}} f(x) \) und \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x > x_0 \end{smallmatrix}} f(x) \) existieren aber verschieden sind.

Dann ist \(x_0 \in D\) eine hebbare Unstetigkeitsstelle von \(f\). Und zwar mit 
\(\tilde f : D \to \mathbb R \\\tilde f(x) = \Big\{ \begin{smallmatrix}f(x) && \text{falls} & x \in D \backslash \{x_0\} \\A && \text{falls} & x = x_0\end{smallmatrix}\)

\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = \infty\)  für

\(\forall M \in \mathbb R \ \ \exists \delta > 0 \ : \ \)\(|x-x_0| < \delta \Longrightarrow f(x) > M \ \ \forall x \in D\)

Umgekehrt:  
\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = -\infty\)   wenn   \(\lim \limits_{x \to x_0} -f(x) = \infty\)

\(\lim \limits_{ \begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x > x_0\end{smallmatrix} }f(x) = a\)       Bzw. linksseitiger:   \(\lim \limits_{ \begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x < x_0\end{smallmatrix} }f(x) = a\)

z.B. \(\lim \limits_{ \begin{smallmatrix} x \to 0 \\ x > 0\end{smallmatrix} }\text{sgn} (x) = 1\)  während \(\lim \limits_{x \to 0}\text{sgn} (x)\) oder \(\lim \limits_{ \begin{smallmatrix} x \to 0 \\ x \not = 0\end{smallmatrix} }\text{sgn} (x)\) nicht existieren

\(f\) ist Gross-O von \(g\) ( \(f(x) = O(g(x))\) ) für \(x \to x_0\), wenn:
\(\exists \delta > 0 , \ M > 0 : \, \)\(|x-x_0| < \delta \Longrightarrow |f(x)| \le M \, |g(x)|\)

\(f\) ist klein-o von \(g\) ( \(f(x) = o(g(x))\) ) für \(x \to x_0\), wenn:
\(\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : \, \)\(|x-x_0| < \delta \Longrightarrow|f(x)| \le \varepsilon \, |g(x)|\)

Eine Norm auf V (einem \(\mathbb K\)-Vektorraum, \(\mathbb K = \mathbb R \vee \mathbb K = \mathbb C\) ) ist eine Abbildung \(||\dots|| : V \to \mathbb R\) mit den Eigenschaften:

1. Definitheit
   \(||v|| \ge 0 \ \ \forall v \in V\)  und  \(||v|| = 0 \Longleftrightarrow v = 0\)
2. Homogenität
   \(\forall v \in V \ \ \forall \alpha \in K : \,\)\(|| \alpha \cdot v || = | \alpha | \cdot ||v||\)
3. Dreiecksungleichung
   \(||v + w|| \le ||v|| + ||w||\)