14 Globale Integralsätze
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; Fragen zum Kapitel 14 aus der Vorlesung
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; Fragen zum Kapitel 14 aus der Vorlesung
Fichier Détails
| Cartes-fiches | 27 |
|---|---|
| Langue | Deutsch |
| Catégorie | Mathématiques |
| Niveau | Université |
| Crée / Actualisé | 10.06.2020 / 27.02.2024 |
| Lien de web |
https://card2brain.ch/box/20200610_14_globale_integralsaetze
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| Intégrer |
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\(\text{div}(F)\)
Die Divergenz (Quellenstärke) von Vektorfeld F ist:
(mit \(U \subseteq \mathbb R^n\)offen und \(F: U \longrightarrow \mathbb R^n\) ein diff'bares Vektorfeld auf \(U\))
Eine Funktion \(div(F): U \longrightarrow \mathbb R\)
\(div(\vec{F})=tr(DF(x))=\frac{\partial F_1}{\partial x_1}+\dots+\frac{\partial F_n}{\partial x_n} = \nabla \cdot \vec{F}\)
Sei \(\gamma = (\gamma_1, \gamma_2):[a,b] \longrightarrow \mathbb R^2\) stückweise stetig diff'barer Pfad.
Sei \(t \in [a,b]\) sodass \(\gamma\) bei \(t\) diff'bar.
Wir schreiben [...] und bezeichnen diesen Vektor als Aussennormale an \(\gamma\) im Punkt \(\gamma(t)\).
\(n_\gamma(t) = (\gamma_2'(t), \gamma_1'(t))\)
\(\int_\gamma F \ dn_\gamma\)
Def. glatt berandet
Eine abgeschlossene Teilmenge \(B\subseteq\mathbb R^n\) heisst ein glatt berandeter Bereich, falls..
..zu jedem Punkt \(p\in B\) eine Umgebung \(U_p \) von \(p \) in \(\mathbb R^n\) und ein Diffeomorphismus \(\varphi:U \longrightarrow V\subseteq \mathbb R^n\) mit \(\varphi(U\cap B) = \{ y \in V | y_n \le 0\}\) existiert.
Aus der Definition für glatt berandete Bereiche folgt insbesondere, dass..
..der Rand \(\partial B\) eines glatt berandeten Bereichs \(B\) eine \(n-1\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von \(\mathbb R^n\) ist.
(nach Def: \(U_p\) offene Umgebung von p und \(\varphi: U_p \longrightarrow V_p\) Diffeomorphismus nach \(V_p\in \mathbb R^n\) offen mit
\(\varphi_p(U_p \cap B) = \{ y\in V_p | y_n \le 0\}\) für \(\forall p \in \partial B\);
also glatt berandet, wenn \(B\) lokal um jeden Punkt aussieht wie das Gebiet unter dem Graphen einer glatten reellwertigen Funktion in \(n-1\) Variablen, geeignet rotiert.)
(Ein Schnitt \(U_p \cap B\) lässt sich als Menge aller Punkte unter einem Graphen auffassen)
\(rot(F)\)
Die Rotation (Wirbelstärke) von Vektorfeld F ist:
(mit \(F: U \longrightarrow \mathbb R^3\) stetig diff'bares Vektorfeld auf offener Menge \(U \subseteq \mathbb R^3\))
\(rot(F)=\begin{pmatrix}\partial_2 F_3-\partial_3 F_2\\\partial_3 F_1-\partial_1 F_3\\\partial_1 F_2-\partial_2 F_1 \end{pmatrix} = \nabla \times F\) (ein Vektorfeld)
2D:
\(rot(F)=\partial_1 F_2-\partial_2 F_1\) (ein Skalarfeld)
Faltung von (\(f:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\) stetig) mit (\(\psi: \mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\) glatt mit kompaktem Träger)
Darstellung, Eigenschaften
\((\psi * f)(x)=\int_{\mathbb R^n} \psi(x-y) f(y) dy\) (Parameterintegral)
Die Funktion \((\psi * f): \mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\) ist glatt mit Träger in \(\text{supp}(\psi)+\text{supp}(f)\).
(Lemma 14.13)
Sei \(f:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\) stetig (also für \(\varepsilon > 0 \quad \exists \ \delta \in ( 0, \varepsilon )\) mit \(|x-y| < \delta \implies |f(x)-f(y)| < \varepsilon\)).
So existiert eine glatte Funktion \(\psi:\mathbb R^n \rightarrow [0,\infty)\) sodass ... (und ist damit Glättungskern).
\(\text{supp}(\psi)\subseteq B(0,\delta)\) und \(\int_{\mathbb R^n} \psi\, dx = 1\) \(\forall x \in K, y\in\mathbb R^n\)
Für jede solche Funktion \(\psi\) gilt \(|(\psi * f)(x)-f(x)| \le \varepsilon \quad \forall x \in K\).
(Lemma 14.14)
Eine (positiv orientierte) Parametrisierung des Randes von \(B\subseteq \mathbb R^2\) abgeschlossen ist eine endliche Kollektion stetig diff'barer Pfade (Wege, Kurven) \(\gamma_k : [a_k,b_k]\rightarrow \partial B\) mit folgenden Eigenschaften:
(14.17)
- Überdeckend \(\bigcup_{k=1}^K \gamma_k([a_k,b_k]) = \partial B\)
- Nicht überschneidend \(\gamma_j(s) = \gamma_k(t)\) mit \((j,s) \neq (k,t)\) \(\Rightarrow s \in \{a_j,b_j\} \wedge t\in\{a_k,b_k\}\) (nur an Enden)
- Aufeinanderfolgend \(\forall j \in \{1,\dots,K\} \ \ \exists! \,k \in \{1,\dots,K\} :\) \(\gamma_j(b_j)=\gamma_k(a_k)\)
- Regularität \(\gamma'_k(t) \neq 0 \quad \forall t \in (a_k,b_k)\)
- (Orientierung) \(\forall t \in (a_k,b_k) :\quad \gamma_k(t) - \varepsilon \cdot n_\gamma(t) \in B^\circ\) für \(\varepsilon\) klein genug.
Wegintegral von \(F\) entlang \(\partial B\) auf \(\mathbb R^2\)
\(\int_{\partial B} F \,dt\)
(\(B \subseteq \mathbb R^2\) mit positiv orientierter Parametrisierung und \(F: U \rightarrow \mathbb R^2\) stetig diff'bares Vektorfeld auf Umgebung \(U\) von \(B\).)
\(\int_{\partial B} F \,dt = \sum\limits_{k=1}^K \int^{b_k}_{a_k} \langle F(\gamma_k(t)), \gamma_k'(t)\rangle dt\)
Flussintegral von \(F\) durch \(\partial B\) auf \(\mathbb R^2\)
\(\int_{\partial B} F \,dn\)
(\(B \subseteq \mathbb R^2\) mit positiv orientierter Parametrisierung und \(F: U \rightarrow \mathbb R^2\) stetig diff'bares Vektorfeld auf Umgebung \(U\) von \(B\).)
\(\int_{\partial B} F \,dn = \sum\limits_{k=1}^K \int^{b_k}_{a_k} \langle F(\gamma_k(t)), n_\gamma(t)\rangle dt\)
Divergenzsatz in der Ebene
Sei \(B \subseteq \mathbb R^2\) glattberandeter, kompakter Bereich, sei \(F: U \rightarrow \mathbb R^2\) ein stetig diff'bares VF auf offener TM \(U \supset B\).
Dann gilt:
\(\int_{\partial B} Fdn = \int_B \text{div}(F) \, dx\)
(Flussintegral durch Rand = Flächenintegral der Divergenz)
(Satz 14.22)
Satz von Green
Sei \(F: U \rightarrow \mathbb R^2\) ein stetig diff'bares Vektorfeld auf einer offenen Menge \(U \subseteq \mathbb R^2\).
Dann gilt für jeden glatt berandeten, kompakten Bereich \(B \subseteq U\):
\(\int_{\partial B} F \,dt = \int_B \text{rot}(F) \,dx\)
(Arbeitsintegral = Flächenintegral der Rotation)
(Satz 14.26)
Bem. aus VL: \(\text{div}((-F_2,F_1)) = -\partial_1 F_2 + \partial_2 F_1= \text{rot}(F)\)
Ein stetig diff'bares VF \(F: U \rightarrow \mathbb R^2\) nennen wir rotationsfrei (wirbelfrei), wenn \(\text{rot}(F) = 0\).
Das bedeutet:
(14.27)
Sei \(U\subseteq \mathbb R^n\) offen und \(F: U \rightarrow \mathbb R^n\) ein diff'bares Vektorfeld.
\(\text{div}(F) = 0\) bedeutet:
Zwei Arten von Oberflächen im \(\mathbb R^3\):
- geschlossene Fläche \(S = \partial B\) als Rand von \(B \subseteq \mathbb R^3\) glatt berandet und kompakt. (z.B. S ein Torus, eine Sphäre..)
im Zusammenhang mit Feldern/Flüssen auf \(U \supset B\) - Fläche mit Rand , 2-dim Teilmannigfaltigkeiten \(S \subseteq\mathbb R^3\)
Also: \(\forall p \in X \quad \exists\) eine Karte \(\varphi: U \rightarrow V,\quad \varphi(U \cap S) = V \cap \mathbb R^2\) \(= \{x \in V | x_3 = 0\}\) mit \(U\) offene Umgebung von \(p \) und \(V\) offene Umgebung von \(\varphi(p)\). (vgl. mit S als Topologischer Raum aufgefasst und \(U\subset S\))
Sei \(S \subseteq \mathbb R^3\) eine Fläche.
Wir nennen Atlas für \(S\) eine Überdeckung \(\{U_i \ |\ i \in I\}\) von \(S\) durch relativ offene Teilmengen \(U_i \subseteq S\), genannt Kartenbereiche.
Zusammen mit [A] \(\varphi_i : U_i \rightarrow V_i\) mit \(V_i \subseteq \mathbb R^2\) offen, genannt Kartenabbildungen.
So dass die Parametrisierungen \(\varphi_i^{-1}=:\psi_i: V_i \rightarrow U_i \subseteq \mathbb R^3\) glatt sind.
Und so dass die [B] \(\alpha_{12}: \varphi_1(U_1 \cap U_2) \xrightarrow{\varphi_1^{-1}} U_1 \cap U_2 \xrightarrow{\varphi_2} \varphi_2(U_1 \cap U_2)\) glatt ist.
(Def. 14.40)
[A] Homeomorphismus
[B] Transitionsabbildung, Kartenwechsel, Übergangsmorphismus
Was heisst Fläche \(S\subseteq \mathbb R^3\) sei orientierbar?
(14.42)
\(S\) ist orientierbar, falls es einen orienterieten Atlas besitzt:
Atlas \((\varphi_i : U_i \rightarrow V_i)_{i \in I}\) sei orientiert,
falls für alle Transitionsabbildungen/Kartenwechsel \(\alpha_{ij}\) die Jacobi-Determinante positiv ist:
\(\det( D \alpha_{ij} ) > 0\)
\(S\) ist genau dann orientierbar, falls ein stetiges normiertes Normalenfeld auf \(S\) existiert. (Ü14.44)
Was ist das?
Ein stetig normiertes Normalenfeld ist ein stetiger Schnitt des Normalenbündels von S,
also eine stetige Abbildung \(n: S \rightarrow \mathbb (\text T_pS)^\perp \subseteq R^3\) sodass \(||n(p)|| = 1 \quad \forall p \in S\).
Sei \(X\) eine 2-dim reelle Mannigfaltigkeit.
Was bedeutet Glattheit für eine Funktion \(f: X \rightarrow \mathbb R^n\) ?
Funktion \(f: X \rightarrow \mathbb R^n\) heisst glatt, falls für jede Karte von \(X \quad\)(\(\varphi: U\subseteq X \rightarrow V \subseteq \mathbb R^2\)) die Verknüpfung \(V \xrightarrow{\varphi^{-1}} U \xrightarrow{f} \mathbb R^n\) glatt ist.
Wie nennt man eine injektive, abgeschlossene Abbildung \(h: X \rightarrow \mathbb R^3\) mit \(D(h \circ \varphi_i^{-1})(x)\) injektiv?
Immersion
Wenn \(h\) eine Immersion, dann ist \(h(X) \subseteq \mathbb R^3\) eine 2-dim Teilmannigfaltigkeit.
(U.a. weil \(v_1 = D(h \circ \varphi_i^{-1})(\varphi_i(x_0))(e_1) \\v_2 = D(h \circ \varphi_i^{-1})(\varphi_i(x_0))(e_2)\) eine wegen \(D(h \circ \varphi_i^{-1})(x)\) injektiv linear unabhängige Basis des Tangentialraums an Punkt \(x_0 \in X\).)
Divergenzsatz/Satz von Gauss
Sei \(B \subseteq \mathbb R^2\) ein kompakter, glatt berandeter Bereich und F ein stetig diff'bares Vektorfeld definiert auf einer offenen Umgebung von \(B\) dann gilt:
\(\int_B \text{div}(F)\, dx = \int_{\partial B} F \, dn\)
(14.58)
Divergenzsatz mit "Bereich unter einem Graphen"
\(\int_{\partial B} F \, dn = \int^d_c \bigg( \int_{\partial B_{x_2}}F_y \, dn \bigg) dx_2 =\,\)\( \int^d_c \int_{B_{x_2}}(\partial_1 F_1 + \partial_3 F_3) dx_1 dx_3 dx_2 =\int_B \text{div} F \,dx\)
Für Beweis: 2dim Divergenzsatz und Satz von Fubini
Stokes für Flächen mit Rand
\(\int_S \text{rot}(F) \, dn = \int_{\partial S} F \, dt\)
(\(F\) stetig diff'bares VF auf offener TM \(U \subseteq \mathbb R^3\), \(S \subseteq U\) eine glatt berandete, kompakte und orientierte Fläche)
orientierte Fläche
Sei \(S \subseteq \mathbb R^3\) eine Fläche.
Wir sagen ein Atlas \((\varphi_i: U_i \to V_i)_{i\in I}\) sei orientiert,
falls für alle Kartenwechsel \(\alpha_{ij}\) gilt:
\(\det (D\alpha_{ij}) > 0\) (Jacobi-Det positiv)
\(S\) sei orientiert, falls \(\exists\)orientierter Atlas.
Flächen im \(\mathbb R^3\)
- geschlossene Flächen: \(S = \partial B\) mit \(B\subseteq \mathbb R^3\) kompakt, glatt berandet
- Fläche mit Rand: \(S \subseteq M\) Fläche sd. \(\overline{S} \) kompakt und \(\partial S\) (TMF dim 1) glatt
Beides sind 2-dim Teilmannigfaltigkeiten
Zurückgezogenes Vektorfeld
\(U \subseteq \mathbb R^n, V \subseteq \mathbb R^m\) offen,
\(F:U\to\mathbb R^n\) ein stetiges Vektorfeld, \(\varphi: V \to U \) eine stetig diff'bare Fkt.
Vektorfeld \(\varphi^* F : V \to \mathbb R^m\) gegeben durch:
\(\varphi^*F:x \mapsto \sum \limits_{k=1}^m \langle \partial_k \varphi(x), F(\varphi(x))\rangle e_k\)
(Pullback von F bzw. entlang \(\varphi\) zurückgezogenes VF)
Es entsteht Abb. \(\varphi^*:\) {stetige VF auf U} \(\to\) {stetige VF auf V}
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