Lernkarten

Philipp Stark
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Lernende 3 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 10.06.2020 / 22.07.2020
Lizenzierung Namensnennung (CC BY)     (Skript: Analysis I und II von Peter Jossen - https://metaphor.ethz.ch/x/2020/fs/401-1262-07L/sc/SkriptAnalysis.pdf)
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\(\text{div}(F)\)

Die Divergenz (Quellenstärke) von Vektorfeld F ist:

(mit \(U \subseteq \mathbb R^n\)offen und \(F: U \longrightarrow \mathbb R^n\) ein diff'bares Vektorfeld auf \(U\))

Eine Funktion \(div(F): U \longrightarrow \mathbb R\)

\(div(\vec{F})=tr(DF(x))=\frac{\partial F_1}{\partial x_1}+\dots+\frac{\partial F_n}{\partial x_n} = \nabla \cdot \vec{F}\)

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Sei \(\gamma = (\gamma_1, \gamma_2):[a,b] \longrightarrow \mathbb R^2\) stückweise stetig diff'barer Pfad.

Sei  \(t \in [a,b]\)  sodass  \(\gamma\) bei \(t\) diff'bar.

Wir schreiben [...] und bezeichnen diesen Vektor als Aussennormale an \(\gamma\) im Punkt \(\gamma(t)\).

\(n_\gamma(t) = (\gamma_2'(t), \gamma_1'(t))\)

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\(\int_\gamma F \ dn_\gamma\)

Wegintegral

Flussintegral

Arbeitsintegral

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Def. glatt berandet

Eine abgeschlossene Teilmenge \(B\subseteq\mathbb R^n\) heisst ein glatt berandeter Bereich, falls..

..zu jedem Punkt \(p\in B\) eine Umgebung \(U_p \) von \(p \) in \(\mathbb R^n\) und ein Diffeomorphismus \(\varphi:U \longrightarrow V\subseteq \mathbb R^n\) mit \(\varphi(U\cap B) = \{ y \in V | y_n \le 0\}\) existiert.

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Aus der Definition für glatt berandete Bereiche folgt insbesondere, dass..

..der Rand \(\partial B\) eines glatt berandeten Bereichs \(B\) eine \(n-1\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von \(\mathbb R^n\) ist.

(nach Def: \(U_p\) offene Umgebung von p und \(\varphi: U_p \longrightarrow V_p\) Diffeomorphismus nach \(V_p\in \mathbb R^n\) offen mit
 \(\varphi_p(U_p \cap B) = \{ y\in V_p | y_n \le 0\}\) für \(\forall p \in \partial B\);

also glatt berandet, wenn \(B\) lokal um jeden Punkt aussieht wie das Gebiet unter dem Graphen einer glatten reellwertigen Funktion in \(n-1\) Variablen, geeignet rotiert.)

(Ein Schnitt \(U_p \cap B\) lässt sich als Menge aller Punkte unter einem Graphen auffassen)

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\(rot(F)\)

Die Rotation (Wirbelstärke) von Vektorfeld F ist:

(mit \(F: U \longrightarrow \mathbb R^3\) stetig diff'bares Vektorfeld auf offener Menge \(U \subseteq \mathbb R^3\))

\(rot(F)=\begin{pmatrix}\partial_2 F_3-\partial_3 F_2\\\partial_3 F_1-\partial_1 F_3\\\partial_1 F_2-\partial_2 F_1 \end{pmatrix} = \nabla \times F\)     (ein Vektorfeld)

2D:

\(rot(F)=\partial_1 F_2-\partial_2 F_1\)       (ein Skalarfeld)

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Faltung von (\(f:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\) stetig) mit (\(\psi: \mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\) glatt mit kompaktem Träger)


Darstellung, Eigenschaften

\((\psi * f)(x)=\int_{\mathbb R^n} \psi(x-y) f(y) dy\)        (Parameterintegral)

Die Funktion \((\psi * f): \mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\) ist glatt mit Träger in \(\text{supp}(\psi)+\text{supp}(f)\).

(Lemma 14.13)

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Sei \(f:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\) stetig (also für \(\varepsilon > 0 \quad \exists \ \delta \in ( 0, \varepsilon )\) mit \(|x-y| < \delta \implies |f(x)-f(y)| < \varepsilon\)).

So existiert eine glatte Funktion \(\psi:\mathbb R^n \rightarrow [0,\infty)\) sodass ... (und ist damit Glättungskern).

\(\text{supp}(\psi)\subseteq B(0,\delta)\)  und  \(\int_{\mathbb R^n} \psi\, dx = 1\)   \(\forall x \in K, y\in\mathbb R^n\)

Für jede solche Funktion \(\psi\) gilt  \(|(\psi * f)(x)-f(x)| \le \varepsilon \quad \forall x \in K\).

(Lemma 14.14)