Topologie Definitionen
Mathematik, Analysis II Topologie
Mathematik, Analysis II Topologie
Kartei Details
| Karten | 30 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 04.03.2020 / 04.03.2020 |
| Weblink |
https://card2brain.ch/box/20200304_topologie_saetze_Aaf1
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Definition1.1(Metrik
Sei Meine Menge. Eine Metrik ist eine Abbildung d:M×M→R aufM×M, für die folgende drei Axiome erfüllt sind:
i) Positive Definitheit: Für alle x,y∈M gilt d(x,y)≥0. Gleichheit gilt genau dann, wenn x=y ist.
ii) Symmetrie: Es gilt d(x,y)=d(y,x) für alle x, y∈M.
iii) Dreiecksungleichung: Es gilt: d(x,y)≤ d(x,z) + d(z,y) ∀x,y,z ∈M.Das Paar (M,d) nennen wir einen metrischen Raum.
Definition1.2 (offene, abgeschlossene Kugel)
Seien (M,d) ein metrischer Raum, x0∈M und r>0. Die Menge U(x0,r):={x∈M: d(x,x0)<r}bezeichnen wir als offene Kugel. Die Menge B(x0,r):={x∈M: d(x,x0)≤r} wird als abgeschlossene Kugel bezeichnet. Ab und an sagen wir statt „Kugel“ auch „Ball“
Definition1.3(Umgebung)
Sei (M,d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U⊂M heißt Umgebung eines Punktes x∈M, falls ein ε>0 existiert, sodass U(x,ε)⊂U. Ins-besondere ist U(x,ε) selbst eine Umgebung von x. Man nennt U(x,ε) die ε-Umgebungvon x.
Definition1.4(offeneMenge
Eine Menge O⊂M eines metrischen Raums (M,d) heißt offen, genauer d-offen, wenn zu jedem x∈O ein ε>0 existiert, so dass U(x,ε)⊂O.
Definition1.5 (abgeschlossene Menge)
Eine Menge A⊂M eines metrischen Raums (M,d) heißt abgeschlossen,wenn das Komplement M\A offen ist. Für das Komplement schreibt manauch oft \(A^c\).
Definition1.6 (Konvergenz)
Sei (xn)n∈N eine Folge in M. Dann nennt man die Folge konvergent gegen den Punkt x∈M genau dann, wenn Folgendes gilt:\(∀ε>0∃ N∈N:d(xn,x)<ε , ∀n≥N\). x heißt in diesem Fall Grenzwert der Folge.
In Worten: Für alle ε>0 existiert ein N∈N mit der Eigenschaft, dass d(xn,x)<ε für alle n≥N.
Definition1.7(Häufungspunkt)
Sei (xn)n∈N ⊂ M eine Folge. Ein Punkt x heißt Häufungspunkt der Folge (xn)n∈N, wenn es eine konvergente Teilfolge von (xn)n∈N gibt, die gegen x konvergiert.
Definition1.8(Cauchy-Folge)
Sei (xn)n∈N ⊂ M eine Folge. Wir sagen (xn)n∈N ist eine Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε>0 ein N∈N gibt, sodass d(xm,xn)<ε für alle m,n≥N
Definition1.9(Vollständigkei
Ist K eine beliebige Teilmenge eines metrischen Raums (M,d). Dann heißt K vollständig, wenn jede Cauchy-Folge (xn)n∈N⊂K auch einen Grenzwert in K besitzt. Ist M selbst eine vollständige Menge, so heißt der metrische Raum vollständig.
Definition1.10(Rand)
Seien (M,d) ein metrischer Raum und A⊂Meine Teilmenge. Ein Punkt x∈M heißt Randpunkt von A, wenn für jedes ε>0 sowohl U(x,ε)∩A =∅ als auch U(x,ε)∩(M\A) =∅ gilt. Wir definieren den Rand ∂A durch ∂A:={x∈M:x ist Randpunkt von A }.
Definition1.11(Inneres)
Seien (M,d) ein metrischer Raum und A⊂M eine Teilmenge. Das Innere von A ist definiert als ̊A:=A\∂A.
Definition1.12(Abschluss)
Seien (M,d) ein metrischer Raum und A⊂M eine Teilmenge. Der Abschluss von A ist definiert als A:=A∪∂A.
Definition 1.13(offene Überdeckung)
Definition 1.14(überdeckungskompakt)
Definition 1.15(Folgenkompakt)
Definition 1.16(total beschränkt präkompakt
Definition 1.17 beschränkt
Definition 1.18 Kompaktheit
Definition 1.19 topologischer Raum
Definition 1.20 offene Menge
Definition 1.21 abgeschlossene Menge
Definition 1.22 Umgebung
Definition 1.23 zusammenhängend
Definition 1.24(Basis)
Definition 1.25 (Subbasis)
Definition 1.26 Norm
Definition 1.27 Normenäquivalenz
Definition 1.28 Banach-Raum
Definition 1.29
Def: Exponential funktion linearer Abbildungen
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