Lernkarten
Definition1.1(Metrik
Sei Meine Menge. Eine Metrik ist eine Abbildung d:M×M→R aufM×M, für die folgende drei Axiome erfüllt sind:
i) Positive Definitheit: Für alle x,y∈M gilt d(x,y)≥0. Gleichheit gilt genau dann, wenn x=y ist.
ii) Symmetrie: Es gilt d(x,y)=d(y,x) für alle x, y∈M.
iii) Dreiecksungleichung: Es gilt: d(x,y)≤ d(x,z) + d(z,y) ∀x,y,z ∈M.Das Paar (M,d) nennen wir einen metrischen Raum.
Definition1.2 (offene, abgeschlossene Kugel)
Seien (M,d) ein metrischer Raum, x0∈M und r>0. Die Menge U(x0,r):={x∈M: d(x,x0)<r}bezeichnen wir als offene Kugel. Die Menge B(x0,r):={x∈M: d(x,x0)≤r} wird als abgeschlossene Kugel bezeichnet. Ab und an sagen wir statt „Kugel“ auch „Ball“
Definition1.3(Umgebung)
Sei (M,d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U⊂M heißt Umgebung eines Punktes x∈M, falls ein ε>0 existiert, sodass U(x,ε)⊂U. Ins-besondere ist U(x,ε) selbst eine Umgebung von x. Man nennt U(x,ε) die ε-Umgebungvon x.
Definition1.4(offeneMenge
Eine Menge O⊂M eines metrischen Raums (M,d) heißt offen, genauer d-offen, wenn zu jedem x∈O ein ε>0 existiert, so dass U(x,ε)⊂O.
Definition1.5 (abgeschlossene Menge)
Eine Menge A⊂M eines metrischen Raums (M,d) heißt abgeschlossen,wenn das Komplement M\A offen ist. Für das Komplement schreibt manauch oft \(A^c\).
Definition1.6 (Konvergenz)
Sei (xn)n∈N eine Folge in M. Dann nennt man die Folge konvergent gegen den Punkt x∈M genau dann, wenn Folgendes gilt:\(∀ε>0∃ N∈N:d(xn,x)<ε , ∀n≥N\). x heißt in diesem Fall Grenzwert der Folge.
In Worten: Für alle ε>0 existiert ein N∈N mit der Eigenschaft, dass d(xn,x)<ε für alle n≥N.
Definition1.7(Häufungspunkt)
Sei (xn)n∈N ⊂ M eine Folge. Ein Punkt x heißt Häufungspunkt der Folge (xn)n∈N, wenn es eine konvergente Teilfolge von (xn)n∈N gibt, die gegen x konvergiert.
Definition1.8(Cauchy-Folge)
Sei (xn)n∈N ⊂ M eine Folge. Wir sagen (xn)n∈N ist eine Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε>0 ein N∈N gibt, sodass d(xm,xn)<ε für alle m,n≥N
