Vorlesung Methoden 10 - WiSe

ANOVA ohne Messwiederholung (unabhängige Stichproben)

- Varianzhomogenität (oder Homoskedastizität): die Population hat in allen Bedingungen die jeweils gleiche Varianz; manchmal auch: die Fehlervarianz soll homogen sein (gleichbedeutend) 

- Normalverteilung der Population in jeder Bedingung (bzw. Normalverteilung der Fehler in jeder Bedingung) 

- Unabhängigkeit aller Beobachtungen (bzw. Fehler) 

--> Annahmen 1 & 2 führen dazu, dass sich nur die Mittelwerte der Verteilungen zwischen den Bedingungen unterscheiden (da Form und Streuung konstant) 

ANOVA mit Messwiederholung (abhängige Stichproben):

- zusätzliche Annahme: Sphärizität (Varianzen aller möglichen Treatmentdifferenzen gleich) --> bei Verletzungen gibt SPSS korrigierte df- und p-Werte aus, oder man verwendet MANOVA

- Grundidee F-Test: Entscheidung für einen Gruppenunterschied, wenn Varianz zwischen Gruppen im Verhältnis zur Varianz innerhalb der Gruppen bedeutsam größer ist (F-Bruch: signal-to-noise ratio)

- F = MStreat/ MSerror (MS = Mean of Squares) 

- MStreat = QStreat/dftreat (QS = Sum of Square; df = Freiheitsgrade --> bei drei Werten = 2) 

– Quadrierte Abweichung aller Werte vom Gesamtmittelwert jeweils berechnen und dann aufsummieren (hier: 100) ergibt Quadratsumme QSTot (bzw. im Englischen SSTOT)
– durch df = („Anzahl aller Werte“ minus 1) teilen: ergibt die Gesamtvarianz (hier: 100/19) Interpretation: Wie stark variiert die AV insgesamt?

- Nein, denn Additivität gilt nicht für Varianzen (nur Quadratsummen und df) 

- Varianzzerlegung in Gesamtmittel + Abweichung der zugehörigen Gruppe vom Gesamtmittel (Treatmenteffekt) + Abweichung Individuum von Gruppe (Fehler) 

- Wenn man sich vier verschiedene Unterrichtsmethoden als UV anschaut und dazu die erzielten Punkte in einem Test als AV: 

- Gesamtmittel: 4

- Abweichung Gruppe (2) vom Gesamtmittel: 2-4 = -2

- Abweichung Individuum (1) von Gruppe: 1-2 = -1

Grundidee F-Test: Entscheidung für einen Gruppenunterschied, wenn Varianz zwischen Gruppen im Verhältnis zur Varianz innerhalb der Gruppen bedeutsam größer ist (Verhältnis von Treatment- und Fehlervarianz) 

F(3,16) = 12.41, p < 0.05

- die AV keine Häufigkeit, sondern eine intervallskalierte Variable

- getestet wird bei der ANOVA nicht nur die Interaktion (wie beim 4-Felder-Test) sondern auch die beiden Haupteffekte

Bei ANOVA für abhängige Daten: 

- Logik ungefähr: df(Fehler) = „alle Werte“ minus „je einen pro Bedingung (Gruppe)“ minus „je einen pro Proband“ (kommt nicht exakt hin weil sonst ein Wert doppelt berücksichtigt würde, vgl. nachfolgende Folie)

- d.h. im Gegensatz zur ANOVA für unabhängige Stichproben muss wegen der Umwandlung in ipsative Daten für jeden Probanden ein df abgezogen werden, da der jeweilige Pbn-Mittelwert ja auf 0 fixiert wird, und dadurch jeweils ein Wert weniger frei variieren kann

- Multivariate ANOVA (> 1 AV):Die Daten der verschiedenen Messzeitpunkte werden wie verschiedene AVn behandelt --> beide Prozeduren können daher zu verschiedenen Ergebnissen führen (z.B. gibt SPSS standardmäßig immer beide Ergebnisse aus)

- Linear mixed effect models (gewinnen zunehmend an Popularität!):

• Normale Annahme bei ANOVAs: UV als „fixed effect“ (bedeutet: Stufen der UV sind festgelegt und würden bei Replikation des Experiments genau gleich sein, z.B. Geschlecht)
• hier neu: UV auch als „random effect“ spezifizierbar: Stufen der UV sind nicht festgelegt, sondern eine Zufallsauswahl (z.B. Wortfrequenzeffekt (= in der Sprache häufig vorkommende Wörter werden schneller gelesen): Konkret ausgewählte Wörter in einem Experiment könnten im nächsten Experiment ganz anders sein)
• Erlaubt auch Multilevel-Analysen: (Schüler – Klasse – Stadt – Bundesland),
• oder in Allgemeiner Psychologie: ob z.B. ein Reaktionszeiteffekt pro Person abhängt von allgemeinen Reaktionszeitlevel einer Person
• Kann besser mit missing data und Sphärizitätsverletzungen umgehen als Messwiederholungs-ANOVA

- vier Haupteffekte (A, B, C, D)

- sechs zweifach Interaktionen (AB, AC, AD, BC, BD, CD) 

- drei dreifach Interaktionen (ABC, ACD, BCD) 

- eine vierfach Interaktion (ABCD) 

… funktioniert im Prinzip wie bei der einfaktoriellen ANOVA, z.B. bei zwei Faktoren:

• Berechnung von QS(tot): wie gehabt (df = N-1)
• Berechnung von QS(Treatment des Faktors 1): so als ob Faktor 2 nicht existiert (df = FaktorstufenUV1 – 1)
• Berechnung von QS(Treatment des Faktors 2): so als ob Faktor 1 nicht existiert (df = FaktorstufenUV2 – 1)
• Berechnung von QS(error): Summierte quadrierte Abweichungen der Einzelwerte von ihrem Zellenmittel (df = N – Zellenanzahl)
• Was noch übrigbleibt bis zur QS(tot), wenn man die letzten drei QS addiert, entspricht QS(Interaktion): df = df(Treat1)*df(Treat2)
• Für den jeweiligen F-Bruch (im folgenden Bsp. insgesamt 3 nötig) setzt man dann die jeweils interessierende MS ins Verhältnis zu MS(error)

• ordinal (Unterschied auf einer Stufe größer als auf anderer)
• disordinal (Unterschied auf einer Stufe in anderer Richtung als auf anderer)

1. η² / ω² (Schätzer für Anteil der jeweiligen QS an QSTOT) wie bei One-way ANOVA

2. Partielles η² / ω²: im Nenner nicht die gesamte Varianz, sondern die Summe aus der interessierenden Treatment- plus der Fehlervarianz (vgl. Howell, 2007, S. 416)
Idee: partielle Maße sind unabhängig davon, wie viele zusätzliche Faktoren in Experiment/ANOVA vorhanden

3. Für einzelne Kontraste: d-basierte Effektmaße

1. Stellen Sie sich vor, Sie untersuchen 5 Lehrmethoden in 5 Klassen

2. Sie finden per ANOVA einen signifikanten Effekt der Lehrmethoden

Aber: Sie stellen fest, dass (zufällig) in den besseren Gruppen die Kinder auch etwas älter sind (signifikanter linearer Zusammenhang zwischen AV und Kovariate) --> Alter ist also eine potentielle Störvariable!

Lösung: Mit der ANCOVA können Sie ausrechnen, ob der Lehrmethodeneffekt noch signifikant ist, wenn man den Einfluss des Alters „herausrechnet“ (Fachterminus: auspartialisiert)

Wie gehts das? 

- Sie rechnen zuerst eine Regression, bei der Sie aufgrund der Kovariate (Alter) die AV (Lernleistung) vorhersagen
- Dann ersetzen Sie die Originaldaten der AV durch die Residuen (also den Teil, der nicht schon durch das Alter vorhergesagt/erklärt wird)
- Dann rechnen Sie eine ANOVA über die Residuen: Wenn die UV (Lehrmethode) immer noch signifikant, dann kann man sagen: Selbst nach Auspartialisieren der Variable „Alter“ besteht immer noch ein Effekt der Lehrmethode auf die Lernleistung

Weitere Anwendungsmöglichkeit:
ANCOVA erhöht oft die Teststärke (im Vergleich zur ANOVA), wenn als Kovariate Variablen eingeführt werden, die unsystematische (Fehler-)Varianz produzieren
z.B.: Wenn „Alter“ im vorigen Beispiel nicht systematisch mit den Gruppen variieren würde (aber dennoch innerhalb der Gruppen stark variiert):

--> Auspartialisieren des Alters (= Aufnahme als Kovariate) würde dann die Fehlervarianz verringern (kleinerer Nenner im F-Bruch)
--> ... und damit F größer werden lassen (also die Teststärke erhöhen)!
-->  Funktion 2: ANCOVA zur Teststärkenerhöhung