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Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 01.01.2020 / 22.07.2021
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Ein Lineares Gleichungssystem hat genau dann mindestens eine Lösung, wenn

r=m oder r<m und c(i)=0, i=r+1, .., m

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Die Lösung eines lin. GS ist genau dann eindeutig, falls

r=n

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Ein homogenes GS hat genau dann nichttriviale Lösung, wenn

r<n

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Lin. GS ist für beliebeige rechte Seiten lösbar

r=m

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Lin. GS ist nicht für beliebige rechte Seiten lösbar

r<m

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(sei m=n) lin. GS ist eindeutig

(sei m=n) lin. GS ist für beliebige rechte Seiten lösbar

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(m=n)  Lin. GS ist für beliebige rechte Seiten lösbar

(m=n) Zugehöriges HGS hat nur die triviale Lösung

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(A^T)^T

(A+B)^T

(AB)^T

A

A^T + B^T

B^T * A^T

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Seien A und B invertierbare nxn Matrizen, dann gilt

invA*A = I

invA ist invbar und inv(invA)=A

AB ist invbar und inv(AB)=invA*invB

transpA ist invbar und inv(tranpA)=transp(iv(A)

AT ist invbar und (AT)-1=(A-1)T

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(m=n) folgende Aussagen sind äquivalent

A ist invbar

lin. GS ist für jedes b lösbar

HGS hat nur die triviale Lösung

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seien A und B orthogonale Matrizen

A ist invbar und A-1=AT

A-1 ist othogonal

AB ist orthogonal

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Givens-Rotation (QR)

1. Stelle aqp (von A, A`, ...) wählen, die 0 werden soll

2. Gpq berechnen: 

  1.  \(w = \sqrt{app^2+aqp^2}\)
  2. \(sin = {{aqp}\over{w}}\)
  3. cas \(cos = {app\over{w}}\)
  4. Vier Stellen der I mit cos, -sin, sin, cos ersetzen (ipp=cos, ipq=-sin, iqp=sin, iqq=cos)

3. Gpq*A = Ap` (Gpq`*Ap`=Ap``, ...)

4. 1.-3. wiederholen bis Ap() in ZSF --> Ap() = R

5. Q = Gpq*Gpq`*Gpq``....