Photonik TU 2019
Sinnvolle Dinge die bei der mündlichen Prüfung verinnerlicht sein sollen!
Sinnvolle Dinge die bei der mündlichen Prüfung verinnerlicht sein sollen!
Fachterminus für die Anregung eines Elektrons in das Leitungsband
Elektron-Loch-Generation
Im Gegensatz zur Rekombination
Definition Direkter Halbleiter
Wenn das energetische Minimum des Leitungsbandes direkt über dem energetischen Maximum des Valenzbandes liegt.
Übergangsenergie E=hbar*omega
\(\displaystyle \hbar \omega = \left( E_c + \frac{\hbar^2k^2}{2m_c} \right) - \left( E_v + \frac{\hbar^2k^2}{2m_v} \right) = \\ \displaystyle = E_g + \frac{\hbar^2k^2}{2m_r}\\ . \\ mit \qquad E_g = E_c-E_v\qquad \frac 1 {m_r} = \frac 1 {m_c} + \frac 1 {m_v} \)
wobei Delta k = 0 gelten muss, also dass das Elektron im direkt über dem Loch des Valenzbandes liegt.
Fermi-Faktor
Der Fermifaktor kommt aus der Überlegung, dass ein Übergänge statistisch berechenbar sind.
f_c(E_b) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Leitungsband bei Energieniveau E_b mit einem Elektron besetzt ist.
1-f_v(E_a) ist dementsprechend die Gegenwahrscheinlichkeit im Valenzband. Also die Wahrscheinlichkeit bei dem Energieniveau E_a ein Loch vorzufinden.
Für die Absorption (Elektron-Loch-Generation) und die Emission (Rekombination) ergibt sich das zu:
\(f_{abs} = f_v(E_a)[1-f_c(E_b)] \\ f_{em} = f_c(E_b)[1-f_v(E_a)]\\. \\ \text{FermiFaktor} =f_{em} - f_{abs} = f_c(E_b)- f_v(E_a)\)
Goldene Regel von Fermi im HL
Auch hier kann Absorption eines Photons nur stattfinden, wenn der Energieunterschied mit der Wellenlänge des Photons übereinstimmt.
\(\hbar \omega = E_b - E_a\)
Verstärkerbedingung
\(E_g \prec \hbar \omega \prec E_{F,c}-E_{F,v}\)
Die Lage der QFN hängt von der Ladungsträgerdichte und der Temperatur ab.
In der Abbildung sieht man den Spektralen Verlauf des Gewinnkoeffizienten bei Raumtemperatur für verschiedene Ladungsträgerdichten n_e (GaAs-HL)
Photonen-Ratengleichung bei 4NS
\(\displaystyle \frac{\mathrm d q}{\mathrm d t} = q \left( \sigma c \frac{N_2} V - \frac 1 {\tau_{res}} \right)\)
tau_res ist die Resonatorlebensdauer. Sie setzt sich zusammen aus den "nützlichen" Auskoppelverlusten und verschiedenen inneren Verlusten.
Von 2NS zu dessen Intensitätsverlauf
Grundsätzlich ist folgendes auch für 3- oder 4NS gültig, solange die N's angepasst werden.
\(\displaystyle \frac {\mathrm d \rho_{ph}} {\mathrm d t} = -N_1 W_{12} + N_2 W_{21} = (N_2 - N_1) W \\ . \\ mit \quad F = c\rho_{ph} \quad \mathrm d z = c \mathrm d t \quad W = \sigma F \\ . \\ \displaystyle \frac {\mathrm d F} {\mathrm d z} = (N_2 - N_1) \sigma F \\ \displaystyle \frac {\mathrm d F} F = \frac {\mathrm d I} I = (N_2 - N_1 ) \sigma \mathrm \; d z \qquad \\ . \\ \displaystyle \frac {F(z)} {F(0)} = \frac {I(z)} {I(0)} =e^{ (N_2 - N_1 ) \sigma z}\)
Beschreibe diesen Verlauf der Inversion und was man sonst noch so sieht
Wenn die kritische Pumprate W_p,c erreicht wird, ist einerseits die maximale Inversion erreicht mit N_2,c. Andererseits beginnt ab hier auch die im Resonator stationät bleibende Photonenzahl q_0 an zu wachsen. Diese ist proportional zur Leistung P_out die als Laser ausgekoppelt wird.
Leerlauf-Inversion bei 4NLaser (auch für 3N-System)
\(N_{2,0} = NW\tau_2 \\ \gamma_0 = N_{2,0} \sigma\)
Bei Abwesenheit von stimmulierenden Photonen, wird die Anzahl der im Energieniveau E_2 befindlichen Atome nur von deren Lebensdauer tau_2 bestimmt.
Dies führt zu dem oben angeführten Leerlauf-Gewinnkoeffizienten gamma_0 (Nur 4NS)
Verteilte Verlustkoeffizienten alpha_1,2,i und Kritischer Gewinnkoeffizient gamma_c und nützliche Auskopplung
Bei einem Umlauf von z = 2d setzt sich der Gesamtverlustkoeffizient alpha_res zusammen aus
\(\displaystyle \alpha_{1,2} = - \frac{\ln(1-T_{1,2})}{2d} \\ \displaystyle \alpha_{i} = - \frac{\ln(1-a_{i})}{d} \\ \alpha_{res} = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_i \\. \\ \displaystyle \frac {\mathrm d F} {F} =\frac {\mathrm d q} q = - \alpha_{res} \mathrm d z \\ .\\ \tau_{res} = \frac 1 {c \alpha_{res}}\)
Wobei einer der Spiegel (hier Spiegel 2 angenommen) meist zur Auskopplung des Lasers verwendet wird. Somit ist alpha_2 auch der Auskoppelkoeffizient.
Erst wenn sich die Verluste im Resonator mit dessen Gewinn kompensieren (gamma = alpha_res), gelangt man in einen stationären Zustand des Oszillators. (er schwingt an) Den dazu benötigten Gewinnkoeffizienten gamma = alpha_res nennt man auch kritischen Gewinnkoeffizienten gamma_c
N_2,c Berechnung (4NS)
Über die stationäre Ratengleichung der Photonen folgt, solange q >0 ist
\(\displaystyle \frac {\mathrm d q}{\mathrm dt} = q\left( \sigma c \frac{N_2} V - \frac 1 {\tau_{res}} \right) \qquad \tau_{res} = \frac 1 {c \alpha_{res}}\\ N_{2,c} = \displaystyle \frac{\alpha_{res} V} \sigma\)
Übergangswahrscheinlichkeit aus Photonenzahl/Photonendichte
\(W = \sigma c \rho_{ph} = \sigma c \frac q V\)
in Teilchen/Sekunde
kritische Pumprate W_p,c
Hierbei können N_2,c und N die Teilchen oder deren Dichten darstellen.
\(\displaystyle W_{p,c} = \frac {N_2,c}{N \tau_2} = \frac 1 {\sigma c N \tau_{res}\tau_{2}}\)
Stationäre Photonenzahl q_0
\(q_0 = (W_p - W_{p,c})NV\tau_{res}\)
Erst über der kritischen Pumprate bleiben im stationären Betrieb Photonen im Resonator, welche natürlich von der Resonatorlebensdauer abhängen.
Ausgangsleistung P_out des Resonators aufgrund Auskopplung bei Spiegel 2
\(P_{out} = q_0 c \alpha_{2} \hbar\omega\)
Sättigungsintensität und deren Einheit
\(I_s = \displaystyle \frac {\hbar \omega}{\sigma \tau_2} \\ [I_s] = \displaystyle \frac {J}{m^2 s} = \frac {W}{m^2 } \)
Pumpverhältnis p
Wird verwendet um P_out einfacher darzustellen.
\(\displaystyle p = \frac {W_p}{W_{p,c}} \qquad W_{p,c} = \frac 1 {\sigma c N \tau_{res} \tau_2}\\ .\\ P_{out} = (p - 1) \displaystyle \frac {\hbar \omega V \alpha_2} {\sigma \tau_2}\)
Differentieller Wirkungsgrad \(\eta_p \)
\(\eta_p = \displaystyle \displaystyle \frac {W_pN V_p \hbar \omega_p} {P_{p}} \)
Die Leistung die von den angeregten Photonen erbracht wird, durch die Leistung die zum pumpen benötigt wird.
Wie kommt man zum effizientesten Betriebszustand?
Über die Bedingung
\(\displaystyle \frac {\mathrm d P_{out}}{\mathrm d \alpha_2} = 0 \\.\\ \alpha_{2opt} = \sqrt{\gamma_0\alpha_i}- \alpha _i\)
gelangt man zum optimalen Auskoppelkoeffizienten
In der Photonik betrachteter Wellenlängen Bereich
einige µm bis 100nm, von Infrarot bis Ultraviolett
Dies ist der Bereich typischer atomarer Anregungsenergien und Austrittsarbeiten.
Die Suszeptibilität \(\chi\) [chi]
Sie ist die fundamentale Beziehung zwischen Feld und Materie
\(\vec{D} = \varepsilon_0(I+\tilde\chi) \vec{E} \qquad \vec{P} = \varepsilon_0 \tilde\chi \vec{E}\\ \tilde\varepsilon_r = I+\tilde\chi \\ \varepsilon_r = 1 + \chi\)
Die Polarisation P ist nicht instantan, daher ist chi frequenzabhängig.
Außerdem ist P und E nicht immer parallel -> chi im allgemeinen ein Tensor 2.Stufe
Vorallem bei hohen Feldern merkt man dann, dass chi auch Feldabhängig ist.
Außerdem hängt P nicht nur von der lokalen sondern auch vom umliegenden Feld ab.
im
Von Maxwell-Gleichungen zu Wellengleichung
Man beginnt mit dem Induktionsgesetz und dem Ampere-Maxwell-Satz im ladungs- und stromfreien Feldgebiet.
\(\nabla \times E = - \partial_t \mu_0H \\ \nabla \times H = \partial_t D\\ \nabla \times (\nabla \times E) = -\partial_t^2\mu_0D \\ \nabla(\nabla \cdot E) -\nabla^2E = -\displaystyle \frac{\varepsilon_r}{c_0^2}\partial^2_t E\)
Helmholz Darstellung der Wellengleichung
Wenn man die einfache Wellengleichung in den Frequenzbereich bringt.
\(\nabla^2 \tilde E(\vec x,\omega) + \displaystyle \frac{\omega^2 \varepsilon_r}{c_0^2} \tilde E( \vec x , \omega) = 0\)
Von Frequenzbereich in den Zeitbereich (von E)
\(E(\vec x, t) = Re[\tilde E(\vec x , t )] \\ \tilde E (\vec x , t) = \tilde E(\vec k , \omega) \; e^{-j(\vec k \cdot \vec x - \omega t)}\)
\vec{k} und \omega sind von einander abhängig
\(| \vec k | = k \qquad k^2 = \frac{\omega^2 \varepsilon_r }{c_0^2} \\ k_0 = \frac{\omega}{c_0}\)
Phasengeschwindigkeit von ebenen Wellen bestimmen
Die Ebenen konstanter Phase bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit in Richtung des Wellenvektors \vec{k}.
Nach der Ableitung kann die Phasengeschwindigkeit ermittelt werden.
\(\vec k \cdot \vec x - \omega t = const \\ \vec k \cdot \partial_t \vec x - \omega = 0 \\ v_{ph} = |\partial_t \vec x| = \frac{\omega}{k} = \frac{c_0}{n}\)
wobei n den Brechungsindex angibt.
Der Brechungsindex n
Über die Phasengeschwindigkeit oder die relative Permitivität berechenbar.
\(v_{ph} = \displaystyle \frac{c_0}{n} \qquad n = \sqrt{\varepsilon_r} \\ \displaystyle n = \frac{k c_0}{\omega}\)
Gruppengeschwindigkeit
Am einfachsten anschaulich gemacht durch Überlagerung zweier kolinerarer harmonischer Wellen.
\(E(z,t) = Re\left[E_0 (e^{-j[(k^0 + \Delta k)z-(\omega_0 + \Delta\omega)t]} + e^{-j[(k^0 - \Delta k)z-(\omega_0 - \Delta\omega)t]})\right] = \\ = 2 E_0 \cos\left( z \Delta k - t \Delta \omega \right) \cos\left( \omega_0 t - k^0 z \right)\)
hier wurde k^0 anstatt k_0 benutzt um die ursprüngliche Kreiswellenzahl anzugeben da k_0 oft die Kreiswellenzwhl im Vakuum angibt...
Im zweiten Cosinusterm sieht man, dass sich die Phasenfronten weiterhin mit der Phasengeschwindigkeit ausbreiten.
Der erste Term zeigt die Einhüllende. Durch Ableitung des Arguments des Cosinus gelangen wir zu deren Ausbreitungsgeschwindigkeit.
\(z\Delta k - t \Delta \omega = const \\ \partial_t z = \frac{\Delta \omega}{\Delta k} = v_{g} \\ \; \\ k = \frac{n \omega}{c_0} \\ \displaystyle \frac{1}{v_g} = \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \omega}\left( \frac{n \omega}{c_0} \right) = \frac{1}{c_0}\left( n + \omega \frac{\mathrm{d} n }{\mathrm{d} \omega} \right)\)
Gruppengeschwindigkeit nur Formel
\(v_g = \displaystyle \frac{c_0}{n + \omega(\mathrm{d}n/\mathrm{d} \omega)} = \frac{c_0}{n - \lambda_0(\mathrm{d}n/\mathrm{d} \lambda_0)} \\ \mathrm{d} \omega/ \omega = - \mathrm{d} \lambda_0 / \lambda_0\)
Wichtige Geschwindigkeit bei Interferenzphänomänen
Bei Lichtimpulsen bewegt sich die Phasenfront mit der Phasengeschwindigkeit der Trägerfrequenz fort.
Daher ist bei Interferenzphänomänen die Phasengeschwindigkeit maßgeblich!
Polarisationszustände des Lichts
Die Lage der Feldvektoren im Raum gibt den Polarisationszustand an.
Bei Planwellen liegt der Feldstärkevektor E in einer zu dem Wellenvektor k senkrechten Ebene.
Im allgemeinen Fall rotiert E mit der Periodendauer T = 2pi/ \omega und beschreibt dabei eine Ellipse.
bei Ausbreitung in z-Richtung:
\(E_x(z,t) = E_{0,x} \cos(\omega t -kz) \\ E_y(z,t) = E_{0,y} \cos(\omega t -kz + \Delta \phi)\)
Zwei Spezialfälle: lineare Polarisierung (DeltaPhi = 0), zirkulare Polarisierung (DeltaPhi = +- pi/2[+r,-l])
Räumlich gesehen entsteht eine Helix derern Ganghöhe lambda = 2pi/k beträgt.
(isotropische Medien Vorrausgesetzt)
JONES-Formalismus
Mithilfe des Jones-Vektors J lassen sich Polarisationszustände einfacher angeben. Dieser ist meist auf 1 normiert.
\(\text{linear} \qquad \left[\begin{array}{c} \cos\varphi \\ \sin \varphi \end{array}\right] \\ \text{rechts zirkular }\sigma^+ \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{array}{c} 1 \\ j \end{array}\right]\\ \text{links zirkular }\sigma^- \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{array}{c} 1 \\-j \end{array}\right]\\ \text{allgemein} \qquad \left[\begin{array}{c} \cos \alpha \\ \sin( \alpha) e^{j \Delta \varphi} \end{array}\right] \\ \alpha = \arctan \left( \frac{E_{0,y}}{E_{0,x}} \right)\)
wobei phi der Winkel zur x-Achse ist.
Ebene Welle an Grenzfläche
Trifft eine ebene Welle auf ein medium, kann durch Aufspaltung der Wellengleichung ihr Verhalten beschrieben werden.
\(\displaystyle \nabla^2E - \varepsilon_0 \mu_0 \partial^2_tE = \mu _0 \partial^2_tP\)
Die rechte Seite kann als Quellterm im Medium betrachtet werden. Die Abstrahlung erfolgt in Vorwärtsrichtung (Transmission) und in Rückwärtsrichtung (Reflexion).
Die Transmittierte Welle hat die Phasengeschwindigkeit c_0/n.
Übergang von optisch dünner zu optisch dichter n_i < n_t
Brechung zum Lot.
Es gilt die Dispersionsrelation und das daraus folgende Reflexionsgesetz und das nach Snelliu benannte Brechungsgesetz.
\(|k^{i,r,t}| = n_{i,r,t}k_0 \\ n_i \sin \theta^i = n_i \sin \theta^r = n_t \sin\theta^t \\ \theta ^r= \theta^i\)
Übergang von optisch dichter zu optisch dünner n_i > n_t
Brechung vom Lot. Falls die Tangentialkomponente (TK) der transmittierten Welle größer als die TK der einfallenden/reflektierten werden würde, kommt es zur Totalreflexion.
\(|\vec k _{t}| = n_ik_0 \sin\theta^i \succ n_tk_0 \\ \theta^i \succ\theta_{crit} = \arcsin\frac{n_t}{n_i}\)
pi-polarisierte Felder
TM-polarisiert
sigma-polarisiertes Feld
TE-polarisiert
Reflexionskoeffizient und Transmissionskoeffizient
Verhältnis vom reflektierten/transmittierten Feld zum einfallenden.
\(\displaystyle r = \frac{H_r}{H_i} \qquad t = \frac{H_t}{H_i}\)
Es entstehen unterschiedliche Ausdrücke für den TE bzw TM Fall!
Reflektivität und Transmittivität
Die Reflektivität bzw Transmittivität gibt an, wieviel % der Leistung reflektiert bzw transmittiert wird. Zur Berechnung benötigt man die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten.
Sie müssen sich zu 1 ergänzen.
R + T = 1
Brewsterwinkel
Unterhalb des Brewsterwinkels gibt es im pi-polarisiertem Fall (TM) keine Reflexion.
\(\theta^i \leq \theta^{i,B} = \arctan \frac{n_t}{n_i}\)
-
- 1 / 115
-
Lernkarten
In der Photonik betrachteter Wellenlängen Bereich
einige µm bis 100nm, von Infrarot bis Ultraviolett
Dies ist der Bereich typischer atomarer Anregungsenergien und Austrittsarbeiten.
Die Suszeptibilität \(\chi\) [chi]
Sie ist die fundamentale Beziehung zwischen Feld und Materie
\(\vec{D} = \varepsilon_0(I+\tilde\chi) \vec{E} \qquad \vec{P} = \varepsilon_0 \tilde\chi \vec{E}\\ \tilde\varepsilon_r = I+\tilde\chi \\ \varepsilon_r = 1 + \chi\)
Die Polarisation P ist nicht instantan, daher ist chi frequenzabhängig.
Außerdem ist P und E nicht immer parallel -> chi im allgemeinen ein Tensor 2.Stufe
Vorallem bei hohen Feldern merkt man dann, dass chi auch Feldabhängig ist.
Außerdem hängt P nicht nur von der lokalen sondern auch vom umliegenden Feld ab.
im
Von Maxwell-Gleichungen zu Wellengleichung
Man beginnt mit dem Induktionsgesetz und dem Ampere-Maxwell-Satz im ladungs- und stromfreien Feldgebiet.
\(\nabla \times E = - \partial_t \mu_0H \\ \nabla \times H = \partial_t D\\ \nabla \times (\nabla \times E) = -\partial_t^2\mu_0D \\ \nabla(\nabla \cdot E) -\nabla^2E = -\displaystyle \frac{\varepsilon_r}{c_0^2}\partial^2_t E\)
Helmholz Darstellung der Wellengleichung
Wenn man die einfache Wellengleichung in den Frequenzbereich bringt.
\(\nabla^2 \tilde E(\vec x,\omega) + \displaystyle \frac{\omega^2 \varepsilon_r}{c_0^2} \tilde E( \vec x , \omega) = 0\)
Von Frequenzbereich in den Zeitbereich (von E)
\(E(\vec x, t) = Re[\tilde E(\vec x , t )] \\ \tilde E (\vec x , t) = \tilde E(\vec k , \omega) \; e^{-j(\vec k \cdot \vec x - \omega t)}\)
\vec{k} und \omega sind von einander abhängig
\(| \vec k | = k \qquad k^2 = \frac{\omega^2 \varepsilon_r }{c_0^2} \\ k_0 = \frac{\omega}{c_0}\)
Phasengeschwindigkeit von ebenen Wellen bestimmen
Die Ebenen konstanter Phase bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit in Richtung des Wellenvektors \vec{k}.
Nach der Ableitung kann die Phasengeschwindigkeit ermittelt werden.
\(\vec k \cdot \vec x - \omega t = const \\ \vec k \cdot \partial_t \vec x - \omega = 0 \\ v_{ph} = |\partial_t \vec x| = \frac{\omega}{k} = \frac{c_0}{n}\)
wobei n den Brechungsindex angibt.
Der Brechungsindex n
Über die Phasengeschwindigkeit oder die relative Permitivität berechenbar.
\(v_{ph} = \displaystyle \frac{c_0}{n} \qquad n = \sqrt{\varepsilon_r} \\ \displaystyle n = \frac{k c_0}{\omega}\)
Gruppengeschwindigkeit
Am einfachsten anschaulich gemacht durch Überlagerung zweier kolinerarer harmonischer Wellen.
\(E(z,t) = Re\left[E_0 (e^{-j[(k^0 + \Delta k)z-(\omega_0 + \Delta\omega)t]} + e^{-j[(k^0 - \Delta k)z-(\omega_0 - \Delta\omega)t]})\right] = \\ = 2 E_0 \cos\left( z \Delta k - t \Delta \omega \right) \cos\left( \omega_0 t - k^0 z \right)\)
hier wurde k^0 anstatt k_0 benutzt um die ursprüngliche Kreiswellenzahl anzugeben da k_0 oft die Kreiswellenzwhl im Vakuum angibt...
Im zweiten Cosinusterm sieht man, dass sich die Phasenfronten weiterhin mit der Phasengeschwindigkeit ausbreiten.
Der erste Term zeigt die Einhüllende. Durch Ableitung des Arguments des Cosinus gelangen wir zu deren Ausbreitungsgeschwindigkeit.
\(z\Delta k - t \Delta \omega = const \\ \partial_t z = \frac{\Delta \omega}{\Delta k} = v_{g} \\ \; \\ k = \frac{n \omega}{c_0} \\ \displaystyle \frac{1}{v_g} = \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \omega}\left( \frac{n \omega}{c_0} \right) = \frac{1}{c_0}\left( n + \omega \frac{\mathrm{d} n }{\mathrm{d} \omega} \right)\)
Gruppengeschwindigkeit nur Formel
\(v_g = \displaystyle \frac{c_0}{n + \omega(\mathrm{d}n/\mathrm{d} \omega)} = \frac{c_0}{n - \lambda_0(\mathrm{d}n/\mathrm{d} \lambda_0)} \\ \mathrm{d} \omega/ \omega = - \mathrm{d} \lambda_0 / \lambda_0\)
Wichtige Geschwindigkeit bei Interferenzphänomänen
Bei Lichtimpulsen bewegt sich die Phasenfront mit der Phasengeschwindigkeit der Trägerfrequenz fort.
Daher ist bei Interferenzphänomänen die Phasengeschwindigkeit maßgeblich!
Polarisationszustände des Lichts
Die Lage der Feldvektoren im Raum gibt den Polarisationszustand an.
Bei Planwellen liegt der Feldstärkevektor E in einer zu dem Wellenvektor k senkrechten Ebene.
Im allgemeinen Fall rotiert E mit der Periodendauer T = 2pi/ \omega und beschreibt dabei eine Ellipse.
bei Ausbreitung in z-Richtung:
\(E_x(z,t) = E_{0,x} \cos(\omega t -kz) \\ E_y(z,t) = E_{0,y} \cos(\omega t -kz + \Delta \phi)\)
Zwei Spezialfälle: lineare Polarisierung (DeltaPhi = 0), zirkulare Polarisierung (DeltaPhi = +- pi/2[+r,-l])
Räumlich gesehen entsteht eine Helix derern Ganghöhe lambda = 2pi/k beträgt.
(isotropische Medien Vorrausgesetzt)
JONES-Formalismus
Mithilfe des Jones-Vektors J lassen sich Polarisationszustände einfacher angeben. Dieser ist meist auf 1 normiert.
\(\text{linear} \qquad \left[\begin{array}{c} \cos\varphi \\ \sin \varphi \end{array}\right] \\ \text{rechts zirkular }\sigma^+ \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{array}{c} 1 \\ j \end{array}\right]\\ \text{links zirkular }\sigma^- \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{array}{c} 1 \\-j \end{array}\right]\\ \text{allgemein} \qquad \left[\begin{array}{c} \cos \alpha \\ \sin( \alpha) e^{j \Delta \varphi} \end{array}\right] \\ \alpha = \arctan \left( \frac{E_{0,y}}{E_{0,x}} \right)\)
wobei phi der Winkel zur x-Achse ist.
Ebene Welle an Grenzfläche
Trifft eine ebene Welle auf ein medium, kann durch Aufspaltung der Wellengleichung ihr Verhalten beschrieben werden.
\(\displaystyle \nabla^2E - \varepsilon_0 \mu_0 \partial^2_tE = \mu _0 \partial^2_tP\)
Die rechte Seite kann als Quellterm im Medium betrachtet werden. Die Abstrahlung erfolgt in Vorwärtsrichtung (Transmission) und in Rückwärtsrichtung (Reflexion).
Die Transmittierte Welle hat die Phasengeschwindigkeit c_0/n.
Übergang von optisch dünner zu optisch dichter n_i < n_t
Brechung zum Lot.
Es gilt die Dispersionsrelation und das daraus folgende Reflexionsgesetz und das nach Snelliu benannte Brechungsgesetz.
\(|k^{i,r,t}| = n_{i,r,t}k_0 \\ n_i \sin \theta^i = n_i \sin \theta^r = n_t \sin\theta^t \\ \theta ^r= \theta^i\)
Übergang von optisch dichter zu optisch dünner n_i > n_t
Brechung vom Lot. Falls die Tangentialkomponente (TK) der transmittierten Welle größer als die TK der einfallenden/reflektierten werden würde, kommt es zur Totalreflexion.
\(|\vec k _{t}| = n_ik_0 \sin\theta^i \succ n_tk_0 \\ \theta^i \succ\theta_{crit} = \arcsin\frac{n_t}{n_i}\)
pi-polarisierte Felder
TM-polarisiert
sigma-polarisiertes Feld
TE-polarisiert
Reflexionskoeffizient und Transmissionskoeffizient
Verhältnis vom reflektierten/transmittierten Feld zum einfallenden.
\(\displaystyle r = \frac{H_r}{H_i} \qquad t = \frac{H_t}{H_i}\)
Es entstehen unterschiedliche Ausdrücke für den TE bzw TM Fall!
Reflektivität und Transmittivität
Die Reflektivität bzw Transmittivität gibt an, wieviel % der Leistung reflektiert bzw transmittiert wird. Zur Berechnung benötigt man die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten.
Sie müssen sich zu 1 ergänzen.
R + T = 1
Brewsterwinkel
Unterhalb des Brewsterwinkels gibt es im pi-polarisiertem Fall (TM) keine Reflexion.
\(\theta^i \leq \theta^{i,B} = \arctan \frac{n_t}{n_i}\)
Totalreflexion
Totalreflexion nur bei n_i > n_t
Totalreflexionsbedingungen ergeben sich, wenn die Tangentialkomponente im optisch dünnerem Medium imaginär ist.
Im optisch dünneren Medium stellt sich dann ein exponentiell abfallendes evaneszentes Feld ein.
\(E^t = E_0^t \;e^{-\gamma^tz}e^{-j(k_x^ix-\omega t)} \\ k_z^t = -j\gamma^t\)
Der Reflexionskoeffizient ergibt sich zu einer Phasenverschiebung [e^(-j phi)-Term] welche für sigma- und pi-polarisierte Wellen unterschiedlich sind!
optischer Tunneleffekt bei Totalreflexion
Wird in das evaneszente Feld ein drittes Medium mit ausreichend hohem Ausbreitungsindex gebracht, kann das Feld wieder an ausbreitungsfähige Wellen koppeln.
Der Tunneltransmissionskoeffizient ergibt sich bei Abstand d näherungsweise zu
\(t_{tunnel}=tt' e^{-\gamma^t d}\)
Wobei t und t' die Transmissionskoeffizienten vom ersten Medium in die Lücke bzw von der Lücke ins dritte Medium sind.
Zeitabhängigkeit der Polarisation
In welchem Frequenzbereich ein Medium Polarisierbar ist, hängt davon ab welche Polarisationsmöglichkeiten zur Verfügung stehen und wie Träge die jeweiligen Mechanismen reagieren.
Schwere Strukturen können sich nicht schnell an schnelle Ladungsänderungen anpassen.
elektronisches Polarisationsmodell
Mit entsprechenden Parametern auch für ionische und molekulare geeignet
\(m_e \ddot x + b \dot x + ax = -e(E + v\times B)\)
a ist die Rückstellkraft und b ist die Dämpfung.
Wobei im optischen Bereichen der Beitrag des magn. Feldes im allgemeinen vernachlässigt werden kann.
-e ist die elektrische Ladung eines Elektrons.
Absorptionskoeffizient alpha
Mit komplexer Suszeptibilität und damit einhergehender Permitivität gelangt man auch zu einem komplexen Ausbreitungsindex (= Brechungsindex)
Der Imaginärteil dieses Indexes gibt die Dämpfung der Amplitude in Ausbreitungsrichtung an.
\(\tilde n = n - j\kappa \\ E(\omega)e^{-j\tilde kz} = E_0 e^{-\kappa k_0 z }e^{-jnk_0z}\)
Die Intensität ist proportional zum Betragsquadrat der Amplitude, daher gilt:
\(\displaystyle \frac{I(z)}{I(0)} = e^{-2\kappa k_0 z} = e^{-\alpha z} \\ \alpha = 2 \kappa k_0\)
1/alpha bezeichnet die Absorptionslänge, nach der die Intensität auf 1/e-tel abgesunken ist.
Die Phasengeschwindigkeit ist trotz allem c_0/n.
Ebene Welle
\(\vec E = \vec E_0 e^{-j(\vec k \cdot \vec x - \omega t)}\)
Wellenvektor k
\(\vec k = k_0 n \cdot \vec e\)
Gausscher Strahl definition
Intensitätsverteilung des Strahls normal zur Ausbreitungsrichtung ist gaußverteilt.
Ansonsten wäre die Intensität im Brennpunkt unendlich.
Rayleigh Länge
\(z_r = \displaystyle \frac{ \pi w_0^2}{\lambda}\)
mit w_0 Strahlquerschnitt am Fokuspunkt. (at the waist)
Geometrisch ersichtlich mit paralleler linie bei höhe w_0/2 (bzw -w_0/2) und der divergierenden.
Wenn näher als die Rayleigh length, dann kann der Strahl parallel angesehen werden. Wenn über z_r, dann sind wir im Fernfeld und damit eine sperical Phasenfront
Gaußscher Strahl Öffnungswinkel im Fernfeld
Im Fernfeld nimmt der strahl eine Konische Gestallt mit dem Öffnungswinkel 2* theta an
\(2\theta_0 = 2 \arctan \displaystyle \frac{\omega _0}{z_r} \approx 2 \frac{\omega _0}{z_r} = \frac{2 \lambda }{\pi \omega _0}\)
Krümmungsradius des gaussschen Strahls R
R ist bei z=0 unendlich, dass heißt, dass Dort der Strahl planar ist.
Bei z = z_r gilt, dass der Strahl dort seine minimale Krümmung hat R = R_min
Bei z>>z_r, also im Fernfeld gilt R~z
Linsen zur Krümmungsänderung von Gaussschen Strahlen
- normale Linse - normal Verlustbehaftet (konvex)
- dünne spärische plankonvex Linse - superdünn, phasenverschiebung
- GRIN-Linse - gradienten index linse - n in Platte verändert sich entsprechend
- Kerr-Linse - Strahl fokussiert sich selbst - kann bei zu dicken Linsen die Linse zerstören
- Sphärische Spiegel
Krümmungsradien von Linsen und Spiegeln
Ist der Bauch konkav war sie brav, ist er konvex hatte sie sex.
Krümmungsradien von Konkaven Spiegeln sind per konvention mit einem negativen Vorzeichen versehen.
Gaussscher Strahl beim Übergang in ein anderes Medium mit anderem Brechungsindex
von n zu n'
Unter Annahme von stetigem Amplituden- und Phasenverlauf transversal zur Grenzfläche:
Die neue Taille (Fokus) ergibt sich zu \(z' = z \frac{n'}{n}\)
KERR-Effekt
Intensitätsabhängigkeit des Ausbreitungsindixes n
Allgemeine Feldstärke-Funktion für Impulsausbreitungsuntersuchungen
\(\vec E (z,t)= a(z,t) \vec n \\ a(z,t) = A(z,t) e^{-j(k^0z-\omega _0 t)}\)
mit A als Einhüllende und \vec{n} als Polarisationsrichtung
Intensität eines Impulses
\(\displaystyle I = \frac{n |a|^2}{2Z_0}= \frac{n |A|^2}{2Z_0}\)
Proportionalität zwischen Impulsdauer und Breite dessen Frequenzspektrums
Stauchung in Zeitdomäne führt zu Streckung des Spektrums im Frequenzbereichs.
INDIREKTES VERHÄLTNIS
Dispersionsrelation
\(k = \frac{n \omega }{c_0}\)
Dispersionslänge
Die Dispersionslänge \(\zeta\) (zeta) gibt an, nach welcher Ausbreitung (in m) der Puls um den Faktor sqrt(2) verbreitert ist.
Je kürzer der Puls, desto geringer auch die Dispersionslänge.
