Grenzwerte von Funktionen
Lemmas und Sätze aus Vorlesung
Lemmas und Sätze aus Vorlesung
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Cartes-fiches
Häufungspunkt einer Menge
xo ist Hp <=> D geschnitten mit (xo-eps, xo + eps)\ {x0} nicht null
für alle eps >0
xo ist ein HP <=> es gibt eine Folge in D\{xo}, die gegen xo strebt
Grenzwert einer Funktion f: D -> R für x -> xo
A = lim x -> xo f(x) falls
Für alle eps >0 E delta >0, A x e D geschnitten (Deltaumgebung ohne xo): |f(x)-A| < eps
Informell ausgedrückt bedeutet dies, dass die Funktionswerte von f beliebig nahe bei A liegen
wenn x 2 Dn fx0g nahe an x0 heranrückt. Der Grenzwert von f(x) für x ! x0 muss natürlich
nicht existieren; wenn er existiert, ist er aber eindeutig bestimmt
Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion
-linear (das heisst, falls lim f(x) und lim g(x) existieren, so existiert auch der
Grenzwert limx!x0 f(x) + g(x) = limx!x0 f(x) + limx!x0 g(x) und analog für skalare
Multiplikation),
- multiplikativ (das heisst, falls limx!x0 f(x) und limx!x0 g(x) existieren, so existiert auch
limx!x0 f(x)g(x) = (limx!x0 f(x))(limx!x0 g(x))),
- monoton (f < g impliziert limx!x0 f(x) < limx!x0 g(x), falls die Grenzwerte existieren)
- und erfüllt ein Sandwich-Lemma.
Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
Sei D R eine Teilmenge, x0 2 D ein Häufungspunkt
von D und f eine reellwertige Funktion auf D.
f stetig bei x0 <=> lim x -> x=0 f(x) = f(x0).
Grenzwerte mittels Folgen
Sei D R eine Teilmenge, f : D ! R eine
Funktion und x0 2 D ein Häufungspunkt von D.
A = limx!x0 f(x) <=> für jede Folge (an)n in D\{x=} mit lim n -< infinity an = x0 auch lim f(an) = A.
rechtsseitigen Häufungspunkt
D R ist eine Teilmenge und x0 el R hat die Eigenschaft D\(x0; x0+ eps) ungleich = leere menge
für alle > 0. Intuitiv hat der Punkt x0 also die Eigenschaft, dass ihm D von rechts beliebig
nahe kommt
links und rechtseiteige hp und grenzwert
Falls x0 ein links- und rechtsseitiger Häufungspunkt ist, dann existiert der Grenzwert
limx!x0 f(x) genau dann, wenn die links- und rechtseitigen Grenzwerte von f(x) bei x0 existiert
und limx von oben nach x0 f(x) = lim x von unten nach x0 f(x) erfüllt ist.
Funktion rechtsseitig stetig bei x0
limx von oben nach x0 f(x) existiert und gleich f(x0) ist
Filter
1) Die leere Menge ist kein Element von F.
2) Für U1;U2 2 F gilt auch U1 geschnitten mit U2 element F.
3)Falls U 2 F und V X eine Teilmenge, die U enthält, dann ist auch V 2 F.
Intuitiv ausgedrückt enthält jede Filtermenge alle wesentlichen Punkte für die durch den
Filter beschriebene Bewegung
Filterkonvergenz).
Seien nun D R eine beliebige Teilmenge, f : D -> R eine Funktion, F ein Filter auf D und A element R gegeben.
a V element Umgebung von A, AF element F A x lement F : f(x) 2 V =>f konvergiert entlang F gegen A , d.h. limF f(x) = A
