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Flashcards
Theorem: (Cauchy Schwartz)
Für einen Vektorraum mit Skalarprodukt gilt:
\(| \langle f,g \rangle|^2 = \langle f,f \rangle \cdot \langle g,g \rangle\)
Def: (Konvergenz im Vektorraum)
Eine Folge \((f_n)_{n = 1}^\infty\) in einem Vektorraum mit Skalarprodukt konvergiert gegen f falls gilt:
\(||f_n -f|| \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty\)
Def: (Vollständiges System)
Eine endliche oder unendliche Familie \((\phi_i)_{i = 1}^\infty\) von nicht verschwindenden Vektoren heisst vollständig, falls für alle f in V gilt:
\((\langle f,\phi_i \rangle = 0\quad \forall i ) \Rightarrow f = 0\)
Def: (Hilbertraum)
Ein komlexer oder reeler Vektorraum H mit Skalarprodukt heisst Hilbertraum, wenn er bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Norm ein Banachraum ist...
Def: (Banachraum)
Ein vollständig normierter Vektorraum heisst Banachraum
Theorem: Normen und Skalarprodukte sind stetig
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Def: (Orthonormierte Basis)
Ein vollständig orthonormiertes System eines Hilbertraums heisst orthonormierte Basis.
Def: (seperables Hilbertraum)
Ein Hilbertraum heisst seperabel, falls er eine abzählbare orthonormierte Basis hat.
