MMP1 - Orthogonale Funktionensysteme, Hilberträume und Eigenwertprobleme

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Jan Thurnheer

Kartei Details

Karten	8
Sprache	Deutsch
Kategorie	Mathematik
Stufe	Universität
Erstellt / Aktualisiert	09.11.2017 / 31.10.2020
Weblink	https://card2brain.ch/box/20171109_mmp1_orthogonale_funktionensysteme_hilbertraeume_und_eigenwertprobleme
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Kartenliste

Theorem: (Cauchy Schwartz)

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Für einen Vektorraum mit Skalarprodukt gilt:

\(| \langle f,g \rangle|^2 = \langle f,f \rangle \cdot \langle g,g \rangle\)

Def: (Konvergenz im Vektorraum)

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Eine Folge \((f_n)_{n = 1}^\infty\) in einem Vektorraum mit Skalarprodukt konvergiert gegen f falls gilt:

\(||f_n -f|| \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty\)

Def: (Vollständiges System)

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Eine endliche oder unendliche Familie \((\phi_i)_{i = 1}^\infty\) von nicht verschwindenden Vektoren heisst vollständig, falls für alle f in V gilt:

\((\langle f,\phi_i \rangle = 0\quad \forall i ) \Rightarrow f = 0\)

Def: (Hilbertraum)

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Ein komlexer oder reeler Vektorraum H mit Skalarprodukt heisst Hilbertraum, wenn er bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Norm ein Banachraum ist...

Def: (Banachraum)

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Ein vollständig normierter Vektorraum heisst Banachraum

Theorem: Normen und Skalarprodukte sind stetig

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Def: (Orthonormierte Basis)

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Ein vollständig orthonormiertes System eines Hilbertraums heisst orthonormierte Basis.

Def: (seperables Hilbertraum)

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Ein Hilbertraum heisst seperabel, falls er eine abzählbare orthonormierte Basis hat.

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