Brauchbare Mathematikkentnisse
TU Wien
TU Wien
Wie können die Seiten des Dreiecks durch Winkel und andere Seiten dargestellt werden?
Taylor-Entwicklung
um die Stelle a einer Funktion f
Sie wird benutzt um eine glatte Funktion in der Umgebung von a durch eine Potenzreihe darzustellen:
\(Tf(x;a) = \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0} \frac{f(a)^{(n)}}{n!} (x-a)^n\)
Jakobi-Matrix \(J_f\) an einer Stelle \(x_R\) von Funktion(en) \(f(x)\)
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} f(x_R) = \frac{\partial}{\partial x} f(x) |_{x = x_R} = \)
\(\displaystyle J_f = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(x_R)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(x_R)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1(x_R)}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2(x_R)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(x_R)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2(x_R)}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n(x_R)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n(x_R)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n(x_R)}{\partial x_n} \end{bmatrix}\)
Was ist eine singuläre Matrix
Eine singuläre Matrix besitzt keine Inverse.
- es gibt keine Matrix mit der multipliziert die Einheitsmatrix entsteht
- die Determinante der Matrix ist 0
Was ist eine reguläre Matrix
Reguläre Matrixen sind invertierbar
- reguläre Matrixen sind quadratisch
- lineare Gleichungssysteme die von den Koeffizienten einer regulären Matrix gebildet werden sind eindeutig lösbar
- ihre Determinante ist ungleich 0
- die Multiplikation mit ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix
\(A \cdot B = B \cdot A = E\)
Quadratische Lösungsformel für
\(ax^2 + bx + c = 0\)
\(x_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
wenn a = 1
\(x_{1,2} = - \frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}\)
wenn die Gleichung auf \(ax^2 + 2\beta x + c = 0\) umgestellt wird:
\(x_{1,2} = {\frac{\beta \pm \sqrt{\beta^2 - ac}}{a}}\)
Eigenwerte einer Matrix berechnen
durch Bildung des charakteristischen Polynoms können die Eigenwerte bestimmt werden
\(det(A-\lambda E) = 0\)
Zusätzlich können die Eigenwerte direkt aus der Hauptdiagonale abgelesen werden, falls unterhalb der Hauptdiagonalen nur 0er stehen.
Zusammenhang zwischen Eigenwert und Eigenvektor
\(A \cdot v = \lambda \cdot v\)
Eine Matrix kann mehrere Eigenwerte und Eigenvektoren haben, aber ein Eigenwert ist immer einem Eigenvektor zugeordnet.
\((A - \lambda E)\cdot x = 0\)
Algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten
Eine Matrix ist diagonalisierbar wenn gilt: \(e_{\lambda 1} = d_{\lambda 1}\)
Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes ist die Anzahl wie oft der jeweilige Eigenwert in der Matrix vorkommt. (Oft abgekürzt mit \(e_{\lambda 1}\))
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Anzahl der unabhängigen Eigenvektoren, welche aus dem jeweiligen Wert gebildet werden können. (Oft abgekürzt mit \(d_{\lambda 1}\); kann maximal genauso groß wie \(e_{\lambda 1}\) sein)
Eigenvektor berechnen von
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ 0 & 4 & 2\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)mit \(\lambda_1 = 5\)
Eigenraum( \(\lambda_1 = 5\) ) = Kern( \(A-\lambda_1 E\) ) =
Kern\(\begin{pmatrix} -4 & 2 & 4\\ 0 & -1 & 2\\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}\)umformen/vertauschbar bis \(\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) jetzt kann ein Vektor v gefunden werden für den gilt, dass gilt \(Kern(...) \cdot v =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\) also zum Beispiel \(v = \mathbb{C} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1/2 \end{pmatrix}\)oder \(v = \mathbb{C} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\)
Partielle Integration
\(\displaystyle \int f'(x)\cdot g(x)\text{ d}x\)
\(\displaystyle \int f'(x)\cdot g(x)\text{ d}x = f(x)\cdot g(x) - \int f(x) \cdot g'(x) \text{ d}x\)
Inverse Matrix berechnen mithilfe der Adjunkten
\(A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A)\)
Adjunkte Matrix berechnen von
\(A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\)
\(Adj(A) = Cof(A)^{T}\)
\(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij}\) also zb.: \(A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{4} &\bcancel{3} \\\bcancel{5} &{\color{red}7} \end{vmatrix} ={\color{blue}7}\)
\(Cof(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{blue}7} &{\color{blue}-5} \\{\color{blue}-3} &{\color{blue}4} \end{pmatrix}\)
\(Adj(A) = Cof(A)^{T} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{blue}7} &-3 \\-5 &{\color{blue}4} \end{pmatrix}\)
Eigenvektoren ausrechnen von Matrix \(A\)
- Charakteristisches Polynom aufstellen und lösen: \((A-\lambda E) = 0\)
- Für jeden Eigenwert \(\lambda_i\) mit zugehörigen Eigenvektor :
\((A-\lambda_i E){\color{red}v_i} = 0\) muss gelten wenn es sich bei \(\color{red}v_i\) um einen Eigenvektor handeln soll
--> Matrix möglichst vereinfachen und gültige(n) Vektor(en) suchen.
Inverse Matrix von A der Form \(A = \begin{pmatrix}1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) berechnen
\(A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -a & a\cdot b-c \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\( \frac{d(arctan(x))}{dx}=\)
\(\frac{1}{1+x^2}\)
-
- 1 / 16
-
Flashcards
Wie können die Seiten des Dreiecks durch Winkel und andere Seiten dargestellt werden?
Taylor-Entwicklung
um die Stelle a einer Funktion f
Sie wird benutzt um eine glatte Funktion in der Umgebung von a durch eine Potenzreihe darzustellen:
\(Tf(x;a) = \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0} \frac{f(a)^{(n)}}{n!} (x-a)^n\)
Jakobi-Matrix \(J_f\) an einer Stelle \(x_R\) von Funktion(en) \(f(x)\)
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} f(x_R) = \frac{\partial}{\partial x} f(x) |_{x = x_R} = \)
\(\displaystyle J_f = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(x_R)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(x_R)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1(x_R)}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2(x_R)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(x_R)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2(x_R)}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n(x_R)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n(x_R)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n(x_R)}{\partial x_n} \end{bmatrix}\)
Was ist eine singuläre Matrix
Eine singuläre Matrix besitzt keine Inverse.
- es gibt keine Matrix mit der multipliziert die Einheitsmatrix entsteht
- die Determinante der Matrix ist 0
Was ist eine reguläre Matrix
Reguläre Matrixen sind invertierbar
- reguläre Matrixen sind quadratisch
- lineare Gleichungssysteme die von den Koeffizienten einer regulären Matrix gebildet werden sind eindeutig lösbar
- ihre Determinante ist ungleich 0
- die Multiplikation mit ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix
\(A \cdot B = B \cdot A = E\)
Quadratische Lösungsformel für
\(ax^2 + bx + c = 0\)
\(x_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
wenn a = 1
\(x_{1,2} = - \frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}\)
wenn die Gleichung auf \(ax^2 + 2\beta x + c = 0\) umgestellt wird:
\(x_{1,2} = {\frac{\beta \pm \sqrt{\beta^2 - ac}}{a}}\)
Eigenwerte einer Matrix berechnen
durch Bildung des charakteristischen Polynoms können die Eigenwerte bestimmt werden
\(det(A-\lambda E) = 0\)
Zusätzlich können die Eigenwerte direkt aus der Hauptdiagonale abgelesen werden, falls unterhalb der Hauptdiagonalen nur 0er stehen.
Zusammenhang zwischen Eigenwert und Eigenvektor
\(A \cdot v = \lambda \cdot v\)
Eine Matrix kann mehrere Eigenwerte und Eigenvektoren haben, aber ein Eigenwert ist immer einem Eigenvektor zugeordnet.
\((A - \lambda E)\cdot x = 0\)
Algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten
Eine Matrix ist diagonalisierbar wenn gilt: \(e_{\lambda 1} = d_{\lambda 1}\)
Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes ist die Anzahl wie oft der jeweilige Eigenwert in der Matrix vorkommt. (Oft abgekürzt mit \(e_{\lambda 1}\))
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Anzahl der unabhängigen Eigenvektoren, welche aus dem jeweiligen Wert gebildet werden können. (Oft abgekürzt mit \(d_{\lambda 1}\); kann maximal genauso groß wie \(e_{\lambda 1}\) sein)
Eigenvektor berechnen von
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ 0 & 4 & 2\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)mit \(\lambda_1 = 5\)
Eigenraum( \(\lambda_1 = 5\) ) = Kern( \(A-\lambda_1 E\) ) =
Kern\(\begin{pmatrix} -4 & 2 & 4\\ 0 & -1 & 2\\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}\)umformen/vertauschbar bis \(\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) jetzt kann ein Vektor v gefunden werden für den gilt, dass gilt \(Kern(...) \cdot v =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\) also zum Beispiel \(v = \mathbb{C} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1/2 \end{pmatrix}\)oder \(v = \mathbb{C} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\)
Partielle Integration
\(\displaystyle \int f'(x)\cdot g(x)\text{ d}x\)
\(\displaystyle \int f'(x)\cdot g(x)\text{ d}x = f(x)\cdot g(x) - \int f(x) \cdot g'(x) \text{ d}x\)
Inverse Matrix berechnen mithilfe der Adjunkten
\(A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A)\)
Adjunkte Matrix berechnen von
\(A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\)
\(Adj(A) = Cof(A)^{T}\)
\(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij}\) also zb.: \(A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{4} &\bcancel{3} \\\bcancel{5} &{\color{red}7} \end{vmatrix} ={\color{blue}7}\)
\(Cof(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{blue}7} &{\color{blue}-5} \\{\color{blue}-3} &{\color{blue}4} \end{pmatrix}\)
\(Adj(A) = Cof(A)^{T} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{blue}7} &-3 \\-5 &{\color{blue}4} \end{pmatrix}\)
Eigenvektoren ausrechnen von Matrix \(A\)
- Charakteristisches Polynom aufstellen und lösen: \((A-\lambda E) = 0\)
- Für jeden Eigenwert \(\lambda_i\) mit zugehörigen Eigenvektor :
\((A-\lambda_i E){\color{red}v_i} = 0\) muss gelten wenn es sich bei \(\color{red}v_i\) um einen Eigenvektor handeln soll
--> Matrix möglichst vereinfachen und gültige(n) Vektor(en) suchen.
Inverse Matrix von A der Form \(A = \begin{pmatrix}1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) berechnen
\(A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -a & a\cdot b-c \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\( \frac{d(arctan(x))}{dx}=\)
\(\frac{1}{1+x^2}\)
