Brauchbare Mathematikkentnisse

Sie wird benutzt um eine glatte Funktion in der Umgebung von a durch eine Potenzreihe darzustellen:

\(Tf(x;a) = \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0} \frac{f(a)^{(n)}}{n!} (x-a)^n\)

\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} f(x_R) = \frac{\partial}{\partial x} f(x) |_{x = x_R} = \)

\(\displaystyle J_f = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(x_R)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(x_R)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1(x_R)}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2(x_R)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(x_R)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2(x_R)}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n(x_R)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n(x_R)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n(x_R)}{\partial x_n} \end{bmatrix}\)

Eine singuläre Matrix besitzt keine Inverse.

• es gibt keine Matrix mit der multipliziert die Einheitsmatrix entsteht
• die Determinante der Matrix ist 0

Reguläre Matrixen sind invertierbar

• reguläre Matrixen sind quadratisch
• lineare Gleichungssysteme die von den Koeffizienten einer regulären Matrix gebildet werden sind eindeutig lösbar
• ihre Determinante ist ungleich 0
• die Multiplikation mit ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix

\(A \cdot B = B \cdot A = E\)

\(x_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

wenn a = 1
\(x_{1,2} = - \frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}\)

wenn die Gleichung auf  \(ax^2 + 2\beta x + c = 0\) umgestellt wird:
\(x_{1,2} = {\frac{\beta \pm \sqrt{\beta^2 - ac}}{a}}\)

durch Bildung des charakteristischen Polynoms können die Eigenwerte bestimmt werden
\(det(A-\lambda E) = 0\)

Zusätzlich können die Eigenwerte direkt aus der Hauptdiagonale abgelesen werden, falls unterhalb der Hauptdiagonalen nur 0er stehen.

\(A \cdot v = \lambda \cdot v\)
Eine Matrix kann mehrere Eigenwerte und Eigenvektoren haben, aber ein Eigenwert ist immer einem Eigenvektor zugeordnet.
\((A - \lambda E)\cdot x = 0\)