Limites de suite
Soit (u(n)) une suite de nombres réel, étudier la limite de (u(n)), c'est étudier le comportement des termes u(n) lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes
Soit (u(n)) une suite de nombres réel, étudier la limite de (u(n)), c'est étudier le comportement des termes u(n) lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes
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Flashcards
Limite finie (ou réelle)
On dit que \((u_n)\) admet pour limite le réel L si tout interval ouvert contenant L contient tous les termes de \((u_n)\) à partir d'un certain rang.
On peut prendre un interval ouvert centré sur L, on note alors \(\lim_{x \to \infty } u_n = L\)
Propriété d'unicité :
Si une suite converge vers une limite L alors cette limite est unique.
Limite infinie
Dire qu'une suite \((u_n)\) tend vers \(+ \infty\) signifie que tout intervalle de la forme \(]A;+\infty[\) contient tous les termes de la suite \((u_n)\) à partir d'un certain rang.
On note alors, \(\lim_{x \to +\infty} u_n = +\infty\)
(L'inverse quand \((u_n)\) tend vers \(+ \infty\))
Opération sur les limites : Somme
\(L+L'\)
\(L+L'=L+L'\)
Opération sur les limites : Somme
\(L+(+\infty)\)
\(L+(+\infty)=+\infty\)
Opération sur les limites : Somme
\(+\infty + (+\infty)\)
\(+\infty + (+\infty)= +\infty\)
Opération sur les limites : Somme
\(L + (-\infty)\)
\(L + (-\infty) = -\infty\)
Opération sur les limites : Somme
\(-\infty + (-\infty)\)
\(-\infty + (-\infty)= -\infty\)
Opération sur les limites : Somme
\(+\infty + (-\infty)\)
\(+\infty + (-\infty) = F.I.\)
Opération sur les limites : Produit
\(L \times L'\)
\(L \times L' = L \times L'\)
Opération sur les limites : Produit
\(L (L\neq 0) \times (+\infty)\)
\(L (L\neq 0) \times (+\infty) = +\infty \)
ou
\(L (L\neq 0) \times (+\infty) = - \infty\)
Opération sur les limites : P¨roduit
\(0 \times +\infty\)
\(0 \times +\infty = F.I.\)
Opération sur les limites : Produit
\(+\infty \times +\infty\)
et
\(-\infty \times (-\infty)\)
\(+\infty \times (+\infty)= +\infty\)
et
\(-\infty \times (-\infty) = - \infty\)
Opération sur les limites : Produit
\(+\infty \times (-\infty)\)
\(+\infty \times (-\infty) = -\infty \)
Opération sur les limites : Inverse
\(\frac{1}{L \neq 0}\)
\(\frac{1}{L \neq 0}=\frac{1}{L}\)
Opération sur les limites : Inverse
\(\frac{1}{0}\)
\(\frac{1}{0} = +\infty\)
ou
\(\frac{1}{0} = -\infty\)
Opération sur les limites : Inverse
\(\frac{1}{+\infty}\)
ou
\(\frac{1}{-\infty}\)
\(\frac{1}{+\infty}=\frac{1}{-\infty}=0\)
Opération sur les limites : Quotient
\(\frac{L}{L' \neq 0}\)
\(\frac{L}{L' \neq 0}=\frac{L}{L' }\)
Opération sur les limites : Quotient
\(\frac{L\neq 0}{0}\)
\(\frac{L\neq 0}{0}= +\infty\)
ou
\(\frac{L\neq 0}{0} = -\infty\)
Opération sur les limites : Quotient
\(\frac{0}{0}\)
\(\frac{0}{0}=F.I.\)
Opération sur les limites : Quotient
\(\frac{+\infty}{0}\)
ou
\(\frac{-\infty}{0}\)
\(+\infty\)
ou
\(-\infty\)
Opération sur les limites : Quotient
\(\frac{0}{+\infty \;ou\; -\infty}\)
\(\frac{0}{+\infty \;ou\; -\infty}=0\)
Opération sur les limites : Quotient
\(\frac{L}{+\infty \;ou\; -\infty}\)
\(\frac{L}{+\infty \;ou\; -\infty}=0\)
Opération sur les limites : Quotient
\(\frac{+\infty \; ou \; -\infty}{+\infty \; ou \; -\infty}\)
\(\frac{+\infty \; ou \; -\infty}{+\infty \; ou \; -\infty}= F.I.\)
Méthodes pour les formes indéterminées
Méthode 1: Factoriser par le terme de plus haut degré
Méthode 2: Factroriser numérateur et dénominateur par les termes de plus haut degré, puis simplifier
Méthode 3: Utiliser l'expression conjuguée
Suite convergente
\(\lim_{n \to +\infty}u_n = L\)
Suite divergente
\(\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty\)
Suite convergente :
Propriété :
Si, à partir d'un certain rang, \(u_n \leq v_n\) et si \(lim \; u_n = L\) et \(lim \; v_n = L'\) alors \(L \le L'\)
Suite convergente :
Théorème d'encadrement (des gendarmes)
Si, à partir d'un certain rang, \(u_n< v_n < w_n\) et si \(lim \; u_n = lim \; w_n=L\) alors \((v_n)\) est convergent et \(lim \; v_n=L\)
Suite divergente :
Théorème de comparaison :
• Si, à partir d'un certain rang, \(u_n \leq v_n\) et si \(lim \; u_n =+\infty\) alors \(lim \; v_n = +\infty\)
•\(u_n \le v_n\) et si \(lim \; v_n = -\infty\) alors \(lim \; u_n = -\infty\)
Etude des suites de la forme \((q^n)\) avec \(q \in \mathbb{R}\)
1. \(q>1\)
2. \(-1 < q < 1\)
3.\(q=1\)
4.\(q=1 \; et \; q\le-1\)
1. \(lim \; q^n=+\infty\)
2.\(lim \; q^n=0\)
3.\((q^n)\) est constamment égale à 1
4. Pas de limite
Convergence des suites monotones :
Théorème :
•Soit \((u_n)\) une suite croissante.Si \((u_n)\) converge vers un réel L, alors pout tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leq L\)
•Soit \((u_n)\) une suite décroissante. Si \((u_n)\) converge vers un réel L, alors pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \ge L\)
Théorème de convergence des suites monotones :
• Toutes suites croissantes et majorées Converges
•Toutes suites décroissantes et minorées Converges
