Thermodynamik

Stoffdaten, wie der Volumenausdehnungskoeffizient o.ä., sind unmittelbar mit der thermischen Zustandsgleichung verbunden und daher

1. abhängig vom Zustand (Druck, Temperatur, spez. Volumen) und
2. untereinander abhängig

Isothermer Kompressibilitätskoeffizient:       \(\chi=-{1\over \nu}({\partial \nu \over \partial p})_T\)        \(\chi ... Chi\)

Spannungskoeffizient:                                  \(\gamma= {1\over p}({\partial p \over \partial T})_\nu\)

Volumenausdehnungskoefficient                  \(\beta= {1\over \nu}({\partial \nu \over \partial T})_p\)

 Einsetzen in Zustandsglg.:            \(({\partial \nu \over \partial p})_T({\partial p \over \partial T})_\nu=-({\partial \nu \over \partial T})_p\)

ergibt  \(-{1\over \nu}({\partial \nu \over \partial p})_T*{1\over p}({\partial p \over \partial T})_\nu*p\nu={1\over \nu}({\partial \nu \over \partial T})_p\nu\)  -->   \(\chi \gamma \ p=\beta\)

Thermischer Längenausdehnungskoeffizient:        \(\alpha={1 \over l}{dl \over dT} \Big|_{p=const}\)

--> Längendehnung     \(\epsilon = {\Delta l \over l_1} = \alpha_m\Delta T \) 

Volumenausdehnungskoeffizient:       \(\beta= {1\over \nu}{d\nu\over dT}\Big|_{p=const}\)

--> Volumenausdehnung   \(\epsilon_{Vol}= {\Delta V \over V_1} = \beta_m\Delta T \)

Zusammenhang therm. Längenausdehnung- und Volumenausdehnungkoeffizient

\(\epsilon_{Vol}= {\Delta V \over V_1} \approx {3\Delta l \ {l_1}^2 \over {l_1}^3}=3\epsilon\)     -->    \(\beta_m \approx 3\alpha_m\)

thermodynamische Prozesse bewirken Zustandsänderungen

• reversibler Prozess: Der ursprüngliche Zustand des Systems kann wieder erreicht werden, ohne dass Änderungen in der Umgebung zurückbleiben. Der Prozess ist also umkehrbar.
• irreversibler Prozeß: Der Anfangszustand des Systems kann zwar erreicht werden, aber es bleiben Veränderungen in der Umgebung zurück. Der Prozeß ist nicht umkehrbar (irreversibel), wenn er nicht volständig wieder rückgängig gemacht werden kann.

Prozesse werden durch Prozessgrößen beschrieben

Während Zustandsgrößen das Innere des Systems beschreiben, treten Prozessgrößen an der Systemgrenze auf.

Mechanisches Gleichgewicht: Gleichgewicht von Kräften / Drücken im Inneren des Systems und an den Systemgrenzen

Thermisches Gleichgewicht: Keine Temperaturdifferenzen im Inneren des Systems oder an den Systemgrenzen

Chemisches Gleichgewicht: Keine chemischen Prozesse im Inneren des Systems, oder an den Systemgrenzen

Thermodynamisches GLeichgewicht: mechanisches + thermisches + chemisches Gleichgewicht in allen Teilsystemen gegeben

Lokales thermodynamisches Gleichgewicht: Einzelne Teilsysteme stehen für sich im thermodynamischen GGW. Das gesamte System muss dabei nicht im GGW stehen. (BsP. strömende Bewegung von Fluiden in Verdichtern, Turbinen, Rohren etc. --> stationäre Fließprozesse)

Quasistatische Prozesse sind Prozesse, bei denen sich das System zu jedem Zeitpunkt (näherungsweise) im Gleichgewicht befindet.

Nur dann sind die Zustandsgrößen des Systems eindeutig definiert und nur dann sind System und Prozess einfach beschreibbar.

Volumenänderungsarbeit (\(W_{v12}=-\int\limits_{1}^2pdV\)):

zu reversiblen Verdichtung des Fluids zugeführte Arbeit

Aufteilung:  Volumsänderungsarbeit (\(W_{v12}\)) = Verschiebearbeit (\(W_{u12}\)) + Nutzarbeit (\(W_{n12}\))

\(W_{u12}=-\int\limits_{-1}^2 p_bdV\): vom konstanten Umgebungsdruck p_b zur Verschiebung des Kolbens aufgebrachte (dem System zugeführte) Arbeit.

\(W_{n12}=-\int\limits_{1}^2 (p-p_b)dV\): von der Kraft an der Kolbenstange dem System zugeführte Arbeit

Wärme \(Q_{12}\):

Die Energie, die (bei nichtadiabater Grenze) allein aufgrund des Temperaturunterschiedes zur Umgebung über die Systemgrenze tritt.

Dissipationsenergie \(W_{diss12}\):

Entwertung der dem System zugeführten Energie durch Reibung, Drosselung, Mischung etc.

Innere Energie U:

Die im System gespeicherte Energie in Form von kinetischer Energie (Eigenbewegung) der Moleküle und potentieller Energie (chemische / physikalische Bindungsenergie, Lageenergie)

Die innere Energie wird durch die Einbringung von Wärme, Volumenänderungsarbeit und Dissipationsenergie geändert.

\(\Delta U=U_2-U_1=Q_{12}+W_{\nu12}+W_{diss12}\)

in spezifischen Größen:   \(\Delta u=u_2-u_1=q_{12}+w_{\nu12}+w_{diss12}\)

in differentiellen Größen:   \(du = dq + dw_\nu + dw_{diss}\)  bzw.   \(du = dq -pdv+ dw_{diss}\)

Verschiebearbeit (Durchschiebearbeit): \(p_1*V_1-p_2*V_2\)

(reversible) technische Arbeit: \(W_{t12}=U_2+p_2V_2-(U_1+p_1V_1)\)

Dissipationsenergie: \(W_{diss12}\)  .. Energieverlust durch Reibung, Drosselung, Mischung,  etc.

Änderung von kinetischer und potentieller Energie: \(\Delta E_{kin} = {1\over2}*m({c_2}^2-{c_1}^2)\)

\(U_1+p_1V_1+{1\over2}m{c_1}^2+mgz_1+{T_{t12}}^*+W_{diss12}+Q_{12}=U_2+p_2V_2+{1\over2}m{c_2}^2+mgz_2\)

mit \(H=U+pV\)

\(H_1+{1\over2}m{c_1}^2+mgz_1+{T_{t12}}^*+W_{diss12}+Q_{12}=H_2+{1\over2}m{c_2}^2+mgz_2\)

mit \(H^*=H+{1\over2}mc^2\)  und   \({W_{i12}}^*={W_{t12}}^*+W_{diss12}\)

\({H_1}^*+mgz_1+{W_{i12}}^*+Q_{12}={H_2}^*+mgz_2\)

differentielle Form bei konstantem Volumen: \(du=c_\nu dT\)

kalorische Zustandsgleichung: \(u_2-u_1=c_v(T_2-T_1)\)

differentielle Form bei konstantem Druck: \(dh=c_p dT\)

kalorische Zustandsgleichung: \(h_2-h_1=c_P (T_2-T_1)\)

\(c_p-c_V=R_i\)

\(c_p...\)spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck

\(c_V...\)spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen

\(R_i...\) spezielle Gaskonstante (unterschiedlioch für jedes Gas)

\({c_p \over c_V}=\kappa\)

Wärmekonstante   |   einatomig  |  zweiatomig

\(C_{mV}\)                      |  \({3 \over 2}R_m\)         |  \({5 \over 2}R_m\)

\(C_{mp}\)                       |  \({5 \over 2}R_m\)         |  \({7 \over 2}R_m\)

Freiheitsgrade:       |   3               |   5

Gültigkeit:               | allgemien    |  mittlere Temperaturen

Prozess-Randbedingungen: \(v=v_1=v_2=const.\)  -->  \(dv=0\)

Thermische Zustandsgleichung: \({p_1 \nu\over T_1}={p_2 \nu\over T_2} \Rightarrow {T_2\over T_1}={p_2\over p_1}\)

Volumenänderungsarbeit:   \(w_{\nu 12}=-\int\limits_{\nu_1}^{\nu_2} pd\nu=0\)

Technische Arbeit:        \(w_{t12}=-\int\limits_{p_1}^{p_2} \nu dp= \nu(p_2-p_1)\)  ... nur im offenem System

Energiebilanz:        geschlossenes System:  \(q_{12}+w_{\nu 12} = u_2-u_1\) 

                               offenes System:               \(q_{12}+w_{t 12} = h_2-h_1\)

kalorische Zustandsgelichung:

geschlossenes System:    \(u_2-u_1=c_\nu(T2-T1)={1\over \kappa-1}\nu(p_2-p_1)\)

offenes System:                \(h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)\)

Wärmezufuhr:     \(q_{12}=u_2-u_1-w_{\nu 12}=h_2-h_1-w_{t12}={1\over \kappa-1}(p_2-p_1)\)

mit  \(w_{\nu 12}=0\)

Prozess-Randbedingungen: \(p=p_1=p_2=const.\)  -->  \(dp=0\)

Thermische Zustandsgleichung: \({p_1 \nu_1\over T_1}={p_2 \nu_2\over T_2} \Rightarrow {T_2\over T_1}={ \nu_2\over \nu_1}\)

Volumenänderungsarbeit:   \(w_{\nu 12}=-\int\limits_{\nu_1}^{\nu_2} pd\nu=-p( \nu_2- \nu_1)\)

Technische Arbeit:        \(w_{t12}=-\int\limits_{p_1}^{p_2} \nu dp=0\)  ... nur im offenem System

Energiebilanz:        geschlossenes System:  \(q_{12}+w_{\nu 12} = u_2-u_1\) 

                               offenes System:               \(q_{12}+w_{t 12} = h_2-h_1\)

kalorische Zustandsgelichung:

geschlossenes System:    \(u_2-u_1=c_\nu(T_2-T_1)\)

offenes System:                \(h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)={\kappa\over \kappa-1}p( \nu_2- \nu_2)\)

Wärmezufuhr:     \(q_{12}=u_2-u_1-w_{\nu 12}=h_2-h_1-w_{t12}={\kappa\over \kappa-1}p( \nu_2- \nu_2)\)

Prozess-Randbedingungen: \(T=T_1=T_2=const.\)  -->  \(dT=0\)

Thermische Zustandsgleichung: \({p_1 \nu_1\over T_1}={p_2 \nu_2\over T_2} \Rightarrow p\nu=p_1\nu_1=const.\)

-->   \(pd\nu+\nu dp=0\)  -->  \(d\nu=-{\nu \over p}dp\),  \(dp=-{p\over\nu }d\nu \)

Volumenänderungsarbeit:   \(w_{\nu 12}=-\int\limits_{\nu_1}^{\nu_2} pd\nu=p_1\nu _1\ln{\nu_1 \over \nu_2}=R_iT\ln{p_1 \over p_2}\)

Technische Arbeit:        \(w_{t12}=-\int\limits_{p_1}^{p_2} \nu dp=p_1\nu _1\ln{p_2 \over p_1}=w_{\nu 12}\)

Energiebilanz:        geschlossenes System:  \(q_{12}+w_{\nu 12} = u_2-u_1\) 

                               offenes System:               \(q_{12}+w_{t 12} = h_2-h_1\)

kalorische Zustandsgelichung:

geschlossenes System:    \(u_2-u_1=c_\nu(T_2-T_1) = 0\)

offenes System:                \(h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)=0\)

Wärmezufuhr:     \(q_{12}=u_2-u_1-w_{\nu 12}=h_2-h_1-w_{t12}=-w_{\nu 12}=-w_{t12}\)

mit  \(u_2-u_1=0\)  und  \(h_2-h_1=0\)

Prozess-Randbedingungen: \(q_{12}=0 \Rightarrow dq=0 \Rightarrow p_1{\nu_1}^\kappa=p_2{\nu_2}^\kappa=const.\) 

Thermische Zustandsgleichung: \({p_1 \nu_1\over T_1}={p_2 \nu_2\over T_2} \Rightarrow {p_1 \over p_2}={T_1\over T_2}{\nu_2\over \nu_1}\)

-->   \({T_1\over T_2}=({\nu_1\over \nu_2})^{1-\kappa}=({p_1\over p_2})^{\kappa-1\over\kappa}\) 

Volumenänderungsarbeit:   \(w_{\nu 12}=-\int\limits_{\nu_1}^{\nu_2} pd\nu=c_\nu(T_2-T_1)={1\over \kappa-1}p_1\nu_1[({p_2\over p_1})^{\kappa-1\over \kappa}-1]\)

Technische Arbeit:        \(w_{t12}=-\int\limits_{p_1}^{p_2} \nu dp=c_\nu(T_2-T_1)=\kappa \ w_{\nu 12}\)

Energiebilanz:        geschlossenes System:  \(q_{12}+w_{\nu 12} = u_2-u_1\)  mit  \(q_{12}=0\)

                               offenes System:               \(q_{12}+w_{t 12} = h_2-h_1\)  mit  \(q_{12}=0\)

kalorische Zustandsgelichung:

geschlossenes System:    \(u_2-u_1=c_\nu(T_2-T_1) \)

offenes System:                \(h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)\)

Wärmezufuhr:     \(q_{12}=0\)

Reversible Vorgänge verlaufen im Allgemeinen zwischen der Isothermen und der Isentropen

Polytropengleichung: \(p_1{\nu_1}^n=p_2{\nu_2}^n=const.\)   \(1< n< k\)      \(n...\)Polytropenexponent

Thermische Zustandsgleichung: \({p_1 \nu_1\over T_1}={p_2 \nu_2\over T_2} \Rightarrow {p_1 \over p_2}={T_1\over T_2}{\nu_2\over \nu_1}\)

-->   \({T_1\over T_2}=({\nu_1\over \nu_2})^{1-n}=({p_1\over p_2})^{n-1\over n}\) 

Volumenänderungsarbeit:   \(w_{\nu 12}=-\int\limits_{\nu_1}^{\nu_2} pd\nu={1\over n-1}p_1\nu_1[({p_2\over p_1})^{n-1\over n}-1]= {R_i\over n-1}(T_2-T_1)\)

Technische Arbeit:        \(w_{t12}=-\int\limits_{p_1}^{p_2} \nu dp=n \ w_{\nu 12}\)

Energiebilanz:     \(q_{12}+w_{\nu 12} = u_2-u_1\)

kalorische Zustandsgelichung:    \(u_2-u_1=c_\nu(T_2-T_1) \)

Wärmezufuhr:     \(q_{12}=c_v*(T_2-T_1)-w_{\nu 12}={n-\kappa \over n-1}c_v (T_2-T_1)\)

Wirkungsgrad Leistungsfaktor = Nutzen / Aufwand

Thermischer Wirkungsgrad  ... \(\eta_{th}={|w_k|\over q_{zu}}={q_{zu}-|q_{ab}|\over q_{zu}}\)   (Wärmekraftmaschine)

Leistungszahl ... \(\epsilon_{w}={|q_{ab}|\over w_{k}}={w_k+q_{zu}\over w_k}\)  (Wärmepumpe)

Leistungszahl ... \(\epsilon_{K}={q_{zu}\over w_{k}}={|q_{ab}|-w_k\over w_k}\)  (Kältemaschine)

\(\epsilon_W=\epsilon_K+1\)

geschlossenes System (Kolbenverdichter):

\(w_K=w_{v12}+w_{v21}=-(q_{12}+q_{21})\)

offenes System (Kompressor):

\(w_K=w_{t12}+w_{t21}=-(q_{12}+q_{21})\)

Allgemein:

\(W_K=\sum W_t=\sum W_V=-\sum Q\)

Kennzahl des Carnot-Prozesses, in welchem der größtmögliche Anteil der Wärme in Nutzarbeit umgewandelt wird.

thermischer Wirkungsgrad ... \(\eta_C=1-{T_u\over T_o}\)   (Wärmekraftmaschine)

Leistungszahl ... \(\epsilon_{W,C}={ |q_{ab}| \over w_{k}}={ |q_{ab}| \over q_{ab} -|q_{zu}| }= { T_o\over T_o-T_u }= {1\over \eta_C}\) (Wärmepumpe)

Leistungszahl ... \(\epsilon_{K,C}={ q_{zu} \over w_{k}}={ q_{zu} \over |q_{ab}| -q_{zu} }= { T_u\over T_o-T_u }= \epsilon_{W,C}-1\) (Wärmepumpe)

es gilt außerdem    \( {q_{ab}\over q_{zu}}=-{T_u\over T_o}\)