Stochastik - KE 1 (statistische Datenanalyse)

Eine Ordinal- oder Rangskala ordnet qualitativ unterscheidbare Merkmale der Größe nach. Eine Interpretation der Abstände ist nicht möglich.

Mit der metrischen Skala können qualitativ unterscheidbare Merkmale geordnet werden und Abstände sind interpretierbar. Wir unterscheiden weiterhin:

• Intervallskala: Differenzenbildung zwischen Merkmalsausprägungen ist möglich, zum Beispiel wie bei Temperaturen.
• Verhältnisskala: Differenzen- und Quotientenbildung ist möglich, zum Beispiel wie bei Geschwindigkeiten.
• Absolutskala: Differenzen- und Quotientenbildung ist möglich und es existiert eine natürliche Einheit, wie zum Beispiel die Anzahl der Schüler einer Klasse oder Wahlberechtigte in einem Wahlkreis.

Für n Merkmalsausprägungen x₁, …, x_n heißt x = (x₁, …, x_n) eine Strichprobe vom Umfang n.

Für eine n-elementige Stichprobe x = x₁, …, x_n heißt x_k* mit k aus N und k <= n ein Merkmalwert, wenn eine Merkmalausprägung x_k aus {x₁, …, x_n} den Wert x_k* annimmt.

Es ist die absolute Häufigkeit h_k definiert durch h_k(x_k*) := Anzahl der statistischen Einheiten einer n-elementigen Stichprobe x, deren Merkmalausprägung den Wert von x_k* annimmt und die relative Häufigkeit r_k ist definiert durch r_k := h_k/n.

Sei x_[1] die kleinste Merkmalsausprägung der Stichprobe x im Sinne der Ordnung und x_[k] die k-t-kleinste Merkmalsausprägung der Stichprobe x, dann bezeichnet := (x_[1], …, x_[n]) die geordnete Stichprobe der n-elementigen Stichprobe x. Es ist:

Rang i> := 1 + #{ j | x_j < x_i } + 1/2 * #{ j | (j < i oder j > i) und x_j = x_i },

wobei #{ } die Mächtigkeit einer Menge bezeichnet.

Bei Balkendiagrammen (/Säulendiagrammen) werden absolute oder relative Häufigkeiten als Länge horizontaler Balken (/Höhe vertikaler Säulen) interpretiert. Balken (/Säulen) sollten sich nicht berühren und die gleiche Höhe (/Breite) haben.

Die Reihenfolge der dargestellten Merkmale ist bei nominal skalierten Merkmalen irrelevant, ab ordinal skalierten Merkmalen sollte die Reihenfolge beachtet werden, bei metrisch skalierten Merkmalen sollte darüber hinaus bei 0 begonnen werden und es sollten die Abstände der Merkmale berücksichtigt werden.

Bei Kreisdiagrammen werden relative Häufigkeiten r_k in Mittelpunktswinkel a_k mittels a_k(x_k*) := r_k(x_k*) * 360 umgerechnet und anschließend in einem Kreis dargestellt. Hierbei entsprechen die Verhältnisse von Winkeln, Bogenlängen und Kreissektorengrößen einander. Diese Darstellungsform eignet sich nur für nominal skalierte Merkmale, wegen der aufgehobenen Ordnung der Merkmale zueinander.

Sei x eine n-elementige Stichprobe und komme x_k* mit absoluter Häufigkeit h_k := h_k(x_k*) und relativer Häufigkeit r_k :=  r_k(x_k*) vor, für alle k <= n. Dann sind:

H_k := h₁ + … + h_k die absolute Summenhäufigkeit von x_k*

und

R_k := r₁ + … + r_k die relative Summenhäufigkeit von x_k*.

F_n: IR → [0, 1] ist definiert wie angegeben und sollte nicht für nominal oder ordinal skalierte Merkmale verwendet werden, weil Abstände fälschlich interpretiert werden könnten.

Zur Darstellung zeitlicher Verläufe werden relative oder absolute Häufigkeiten wie beim Säulendiagramm, nun aber punktuell über der Säulenmitte aufeinander folgender Beobachtungen abgetragen und  anschließend die Merkmalsausprägungen jeweils zweier, benachbarter Beobachtungszeitpunkte mit einer Linie verbunden. Bei mehr als 4 Merkmalen pro Diagramm verliert die Darstellung ihre Anschaulichkeit.

Wenn die Anzahl der möglichen Merkmalsausprägungen zu groß für eine anschauliche Darstellung wird und die Daten mindestens ordinal, besser metrisch skaliert sind, teilen wir sie in Klassen oder Gruppen ein und erhalten klassierte Daten. Die Anzahl der Klassen sollte nach der Regel von Sturge Wurzel (n) für kleine n - etwa n < 100 - und log₂ n für große n sein.

Die Darstellung erfolgt entweder mittels Histogrammen, die ähnlich wie Balken- oder Säulendiagramme aufgebaut sind, allerdings keinen Abstand der einzelnen Merkmale aufweisen und bei denen die Flächeninhalte der abgetragenen Rechtecke den abgetragenen Häufigkeiten entsprechen sollen, oder mittels Stamm-Blatt-Diagrammen, bei denen die Darstellung der führenden gleichen Ziffern(-folgen) der jeweiligen Klassen in einer Spalte und daneben auf einer (bei Nichtunterscheidung der statistischen Einheiten) oder beiden Seiten (bei Unterteilung der statistischen Einheiten in zwei Vergleichsgruppen) der Stammspalte die Darstellung der Blätter durch die jeweils vorkommenden folgenden Ziffern in bliebiger Reihenfolge, aber wiederum in Spalten, um die Anzahl der Blätter je Stamm leicht visuell erfassen zu können.

Balken (/Säulen) für Vergleiche, Torten für Anteile, Kurven für Trends...

Sei x eine n-elementige Stichprobe. Der Wert x_i aus x mit:

h(x_i) >= h(x_j) für alle x_j aus x heißt Modalwert x_mod oder Modus von x.

Sei x eine n-elementige Stichprobe, dann ist der Median wie angegeben definiert.

Sei x eine n-elementige Stichprobe, dann ist der Median wie angegeben definiert.

Sei x eine n-elementige Stichprobe bzw. eine klassierte Stichprobe mit n Klassen, dann gelten wenn h_k die absolute Häufigkeit des Merkmalwertes x_k* für alle k aus {1, …, i} für ein i aus N mit i <= n bezeichnet:

Gegeben sei ein quantitatives Merkmal, eine n-elementige Stichprobe x und das arithmetische Mittel der Stichprobe.

Unter den angegebenen Voraussetzungen gilt:

1. Seien y₁, …, y_M Stichproben mit n₁, …, n_M Elementen und x die aus den y₁, …, y_M zusammengesetzte Stichprobe.

2. Seien x = (x₁, …, x_n) und y = ax + b = (ax₁+ b, …, ax_n + b) mit a, b aus R.

3. Seien x = (x₁, …, x_n), y = (y₁, …, y_n) und z := ax + by = (ax₁ + by₁, …, ax_n + by_n,) für a, b aus R.

Unter den angegebenen Voraussetzungen gelten:

Sei <x> eine geordnete, n-elementige Stichprobe eines ordinal skalierten Merkmals, dann heißt für p aus [0, 1] ein Wert x_[k], für den die  beiden angegebenen Ungleichungen gelten, p-Quantil der Stichprobe.

x_[i] ist bestimmt durch i = np oder i = np + 1, falls np aus N, bzw. i = die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich np ist + 1 sonst.

Gemeint ist jeweils,

• das 0,25-Quantil,
• der Median,
• das 0,75-Quantil,
• das Minimum,
• das Maximum,
• das 0,1-Quantil.

Sei A eine Teilmenge von IRⁿ. Ein Lagemaß ist eine Abbildung L: A → IR, für die folgendes gilt:

L(x₁+t, …, x_n+t) = L(x₁, …, x_n) + t

für alle t aus IR und alle (x₁, …, x_n) aus A.

Es ist für eine geordnete Stichprobe <x>:

x_t,a := (n - 2k)^-1 * (x_[k+1] + … + x_[n-k])

für 0 < a < 1/2 und k := die größte ganze Zahl kleiner oder gleich na.

Sei x = (x₁, …, x_n) eine Stichprobe eines quantitativen Merkmals auf einer Verhältnisskala mit x_i >= 0 für i = 1, …, n. Dann ist das geometrische Mittel wie angegeben definiert.

Sei x = (x₁, …, x_n) eine Stichprobe eines quantitativen Merkmals auf einer Verhältnisskala mit x_i > 0 für i = 1, …, n. Dann ist das harmonische Mittel wie angegeben definiert.

Die Begriffe sind wie angegeben definiert.

Sei x eine quantitativ skalierte Stichprobe auf einer Verhältnisskala mit ausschließlich positiven Merkmalsausprägungen, dann gilt:

Das ist Produkt ist genau dann am größten, wenn alle Faktoren gleich sind.

Ein Streumaß ist eine Abbildung s: IRⁿ → IR mit der folgenden Eigenschaft:

s(x₁ + t, …, x_n + t) = s(x₁, …, x_n) für alle t aus IR und alle (x₁, …, x_n) aus IRⁿ.

Die Spannweite ist die Differenz aus dem Maximum und dem Minimum der Merkmalsausprägungen der Stichprobe.

Sei x eine n-elementige Stichprobe eines quantitativen Merkmals auf einer Intervallskala, dann ist die mittlere absolute Abweichung bezüglich c wie angegeben definiert.