Statistik 5

Charakterisierung einer Zufallsvariablen durch ihren Erwartungswert E(X) und ihre Varianz \(σ_x^2\)ohne dass Daten vorliegen 

Analog zum Mittelwert

siehe Formel auf Spick

Analog zur empirischen Varianz und Standardabweichung

X hat eine (diskrete) Gleichverteilung wenn gilt:

π₁ = π₂  = ... = π_k  = \(1 \over k\)

Beispiele: Augenzahl beim einmaligen Würfeln, Zahl beim Roulete, Kopf oder Zahl beim einmaligen Münzwurf

• Sei X eine diskrete Zufallsvariable, die zwei Werte x₁ und x₂ 
 mit Wahrscheinlichkeiten π₁ und π₂ = 1 - π₁ annehmen kann

1. E(X)= π₁ 

2. Var(X) =π₁⋅ (1-π₁)

0-1 skaliert

sinnvoll, den Erwartungswert und die Varianz zu bestimmen

Bsp. X Geschlecht des Kindes (X = 1 zeigt Geburt eines Mädchens)

Bernoulli-Kette von n-mal wiederholten Bernoulli-Experimenten

gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, 
 aus n Objekten x Objekte auszuwählen 

X∼B(n,π) undY = n−X 

Wenn Rote Kugeln binomialverteilt, dann sind es die blauen auch

nähert sich der Normalverteilung an

Erweiterung der Binomialverteilung für Zufallsexperimente mit mehreren möglichen Ausgängen (z.B. »blaue Kugel«, »rote Kugel«, »gelbe Kugel«, »schwarze Kugel«). 

Wie bei der Binomialverteilung ist die Zufallsvariable X die Häufigkeit, mit der in einem n-fach wiederholten Zufallsexperiment ein Ereignis eintritt. Diese Variable ist binomialverteilt, wenn es sich um ein Modell 
mit Zurücklegen handelt. Sofern es sich um ein Modell ohne Zurücklegen handelt, ist die Variable hypergeometrisch verteilt. 

• Zufallsvariable X: „Anzahl der bestimmten Ereignisse innerhalb eines definierten

  Zeitintervalls“

• Geeignet für Ereignisse, die in einem bestimmten Intervall nur sehr selten eintreten und daher eine geringe Wahrscheinlichkeit haben, z.B. die Abstürze von Flugzeugen in einem Jahr (z.B. im Schnitt 1,825 während 365 Tagen weltweit)

• Man könnte zwar in diesem Fall die Binomialverteilung verwenden kann, bei der im Mittel n · p „Erfolge“ erzielt werden (z.B. 365 x 0,005 = 1,825)

• Poisson (franz. Mathematiker) konnte jedoch zeigen, dass wenn n → ∞ und p → 0 die Binomialverteilung sehr gut durch eine (Poisson-)Verteilung approximiert wird, die nur durch den Parameter n · p = λ (mittlere Rate des Auftretens eines Ereignisses in einem Zeitraum, E(X) = Var(X) = λ) beschrieben wird: 

• Variable, bei der zwischen zwei beliebigen Werten xu unf xo überabzählbar unendlich viele Werte liegen können 

• Die Funktion f(x) heisst Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder Dichte.

• Die Wahrscheinlichkeit P(x_u ≤ X ≤ x_o) ist gleich der Fläche zwischen dem Intervall [x_u, x_o] 
und der darüberliegenden Funktion f(x). 

• P (x_u ≤ X ≤ x_o) = P (x_u < X ≤ x_o) = P (x_u ≤ X < x_o) = P (x_u < X < x_o) 

• Die Gesamtfläche zwischen x-Achse und der Dichte f (x) ist gleich 1.

• Achtung: Die Werte f(x) einer stetigen Dichte sind keine Wahrscheinlichkeiten. 

x-Wert, für den f(x) ein Maximum besitzt

x-Wert für den F(x) = p

50%-Quantil: x-Wert für den F(x) = 0,5

Eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable nennt man auch standardgleichverteilt 

Eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable nennt man auch standardgleichverteilt