Qualitätssicherung

- Zufällig ausgewählte Teilmenge (empirische Häufigkeitsverteilung) aus einer Grundgesamtheit (theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung

- Eine konkrete Stichprobe vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit ist ein Vektor dessen Komponenten die Realisierung von Zufallsvariablen sind

- alle xi unabhängig von einander, besitzen gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung F(x) sind über den selben Wahrscheinlichkeitsraum definiert

- eine Stichprobenfunktion ornet einer Stichprobe x einen Wert T zu t = T(x1, ... , xn)

- arithmetische Mittelwertbildung T_M = Summer aller xi/n

- Spannweite  T_sw= xmax - xmin

- Streuung Ts = Summer (xi- Mittelwert)²/ (n-1)

- chi² = (n-1)*S²/sigma² = 1/sigma²*summe (xi- Mittelwert)²

- Hauptsatz der mathematischen Statistik : Bei Hinreichend großem Stichprobenumfang n ist die empirische Verteilung praktisch gleich der theoretischen Verteilung der Grundgesamtheit

- liefern anhand von Stichproben Schätzwerte oder Schätzintervalle für die unbekannten Parameter des Verteilungsgesetztes für die Grundgesamtheit

- sie unterscheiden sich in

• Punktschätzung mit Schätzwert Teta für einen Parameter
• Konfidenzschätzung für Vertrauensintervalle, in denen ein Verteilungsparameter mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit vorliegt
• stat. Toleranzschätzungen, die ein Intervall liefern in dem mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit ein Mindestanteil der Grundgesamtheit liegen soll

- Prüfverfahren machen Aussagen über die Gültigkeit von Annahmen für das unbekannte Verteilungsgesetz oder seinen Parametern

- Anhand von Stichproben werden Hypothesen entweder angenommen oder verworfen

- Punkschätzungen T = teta dach liefert Schätzwerte teta für die Parameter der Verteilungsfunktion der Grundgesamtheit

- Kriterien zur Auswahl einer Punktschätzung

• Schätzung erwartungstreu und unverzerrt, d.h Erwartungswert der Schätzung soll gleich dem zu schätzenden Parameter sein E tetadach = teta
• Eine Schätzung soll konsistent sein, d.h. der Schätzwert soll mit wachsendem Stichprobenumfang dem Wert für die Grundgesamthei beliebig nahe kommen
• von zwei Schätzungen, die obige Kriterien erfüllen, ist die wirksamere zu bevorzugen, wenn Var tetadach1 < Var tetadach2
• Eine schätzung soll suffizient sein, d.h. alle in der Stichprobe enthaltene Information über Tetadach ausnutzen

eine konsistente und ertwartungstreue Schätzung ür die unbekannte Streuung Var X = teta = sigma² der Zufallsgröße x ist empirische Streuung S²

Beispiele für Schätzfunktionen des Mittelwertes:

- arithmetischer Mittelwertbildung

- geometrische Mittelwertbildung

- Bestimmung des emphirischen Medians

- arith. Mittel: konsistente, erwartungstreue wirksame und suffiziente Schätzung von den unbekannten Erwartungswert EX = tete=µ der Zufallsgröße X in der Grundgesamtheit, wird deshalb allen Schätzungen für µ vorgezogen

- emp. Median einer Stichprobe ist konsistent uns asymptotisch erwartungstreu für µ größere Streuung als arith. Mittelwert daher weniger wirksam

- Maximum- Likelihood- Methode

• Realisierung von Stichproben unabhängiges Zufallsexperiment
• Schätzwert festgelegt durch Forderung dass zugrundeliegende Stichprobe mit der größten Wahrscheinlichkeit beobachtet wird, wird maximal
• Methode setzt Kenntnis oder Annahme über Verteilungsfunktion der Grundgesamtheit vorraus

- Methode der kleinsten Quadrate

• konkrete Stichprobe
• Forderung: summe (xi - µ_MKQ)² = min summe (xi-µ)²
• Extremalforderung ergibt arithmetisches Mittel als Schätzwert

beide Methoden Liefern erwartungstreue, konsistente und effektive Schätzungen, liefern beide dieselbe Schätzung

weitere Methoden:

- Minimum chi²- Methode

- Momentenmethode

- Liefern Intervalle, in denen wahre Verteilungsparameter mit einem vorgegebenen Konfidenzniveau epsilon liegt

- obere (Go) und untere Grenze (Gu) des Intervalls bestimmen sich aus der Forderung p(Gu

alpha...Irrtumswahrscheinlichkeit

- Gu und Go sind Stichprobenfunktionen und damit Zufallsgrößen

- meist Verteilungsfunktion für Schätzwert Normalverteilt, Grenzen werden Tabellen entnommen oder numerisch berechnet

- liefern Intervalle innerhalb derer ein vorgegebener Anteil gamma der Grundgesamtheit mit einer bestimmeten Wahrscheinlichkeit betha (sicherheitsniveau) liegt

q(pTu<X<To) größergleich gamma) = betha

Tu und To stichprobenfunktionen

- alle gemessenen Größen fehlerbehaftet

- Ermittlung des Fehlers wesentlicher Bestandteil der Versuchsauswertung

- Ziel: Güte der Ergebnisse unter gegebenen Umständen

- zwei Arten von Fehlern:

• systematische Fehler: falsch geeichte Messgeräte, unreine Substanzen, usw. verfälschen das Messergebnis bei gleicher experimenteller Anordnung stets in gleicher Richtung und sind prinzipiell vermeidbar, werden bei zahlenmässiger Fehlerangabe im Ergebniss nicht berücksichtigt
• statistische Fehler: kann resultat in beide Richtungen verändern, Ursache im Beobachter selbst (Einstell- Ablesefehler) oder in äußeren Einflüssen wie Temperatur-, Netzspannungsschwankung, sind unvermeidbar, kann durch wiederholte Messung und geeignete Auswertemethoden bestimmt werden

- Messung in ausreichendem Umfang -> Gaussfunktion

- Aufgabe stat. Fehlertheorie: Aus n Werten Näherungswert für Erwartungswert sowie Grad seiner Zuverlässigkeit zu ermitteln

Standardabweichung:  sigma(x) = Wurzel ( summe(xi-µ)²/(n-1))

- Beurteilung der Genauigkeit einer Messung durch Fehler des Mittelwertes:

bei großer Anzahl Messreihen mit Umfang n hat jeder Reihe ihren eigenen Mittelwert diese bilden eine Normalverteilung die wiederum durch sigma charakterisiert ist aber folgender Zusammenhang

sigma(xquer) = sigma(x)/wurzeln   bzw. Summe(xi-µ)²/(wurzel (n(n-1)))

-> Größe gibt Grenzen, innerhalb der ein Mittelwert mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 0,7 zu erwarten ist

Schätzwert fur Erwartungswert von µ = x quer plus/minus sigma (xquer)

• Konfidenzintervalle:
  • Grundgesamtheit sei Normalverteilt,
  • Zufallsvariablen unabhängig und normalverteilt mit Parametern µ und sigma²
• Toleranzintervalle:
  • Parameter µ und sigma unbekannt, werden mittels Stichprobe x quer und s² geschätzt
  • gibt Intervall an, innerhalb derer ein vorgegebener Anteil y der Grundgesamtheit mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit beta (Sicherheitsniveau) liegt

- Varianz sigma² der Grundgesamtheit bekannt

- Schätzwert für Erwartungswert µ ist der Mittelwert (durch Stichprobe bestimmt)

- Es kann ein Intervall bestimmt werden in  der µ mit einer bestimmten Konfidenz 1-alpha (Irrtumswahrscheinlichkeit) liegt

- in der Praxis sigma meist unbekannt

- Abschätzung S², S² = 1/(n-1) summe ( xi- xquer)²

- Da einfaches Ersetzen von sigma² durch S² nicht ganz korrekt ergibt sich eine nicht standardnaormalverteilte Größe -> Stärkere Streuung -> spezielle t- Verteilung vorallem bei kleinen Stichproben

- dienen dazu anhand von Stichproben Annahmen über das Verteilungsgestz in der Grundgesamtheit zu überprüfen

- prüfen einer statistischen Parametherhypothese H0

- anhand von Stichprobe mit Irrtumswahrscheinlichkeit alpha Entscheidung ob H0 verworfen oder angenommen wird (fehlerhafte Aussagen sind nicht ausgeschlossen)

- H0 ist abzulehnen, wenn die Wahrscheinlichkeit P (|xquer-µ0| größergleich einem festgelegten Wert ist) < alpha

- in der praktischen Durchführung wird der kritische Bereich k, für den die Hypothese H0 mit der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit alpha abzulehnen ist, bestimmt

1. Aufstellen der Hypothese z.B. H0 µ = µ0

2. Auswahl einer Stichprobenfunktion, deren Verteilungsfkt bei Gültigkeit von H0 bekannt sein muss z.B. Z = (Xquer - µ0)/sigma*wurzel (n)

3. Bestimmen des kritischen Bereiches k, für den die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobenfunktion Werte aus k annimmt, höchstens gleich alpha ist, falls H0 zutrifft

4. Berechnen der Realisierung der Stichprobenfunktion aus der konkreten Stichprobe vom Umfang n

5. Stat. Test: Liegt die Testgröße in k, so wird H0 abgelehnt, sonst angenommen

- Irrtumswahrscheinlichkeit (Risiko 1.Art, Signifikanzniveau) ist die Wahrscheinlichkeit alpha, bei einem Test den Fehler 1.Art zu begehen, d.h. eine Hypothese abzulehnen, obwohl sie wahr ist

- Risiko 2.Art ist die Wahrscheinlichkeit betha, bei einem Test den Fehler 2.Art zu begehen, d.h. eine Hypothese anzunehmen, obwohl sie falsch ist

- Gaußtest

- t- Test

- chi² Test

- Gütefunktion g(µ) eines Tests ist die Wahrscheinlichkeit, die Hypothese H0 (µ = µ0abzulehnen, wenn µ der wahre Parameter in der Grundgesamtheit ist

- Gütefkt hängt neben Testparametern alpha und n noch von der normierten Abweichung delta ab

delta = (µ-µ0)/sigma

- da xquer normalverteilt kann g(µ) über den kritischen Bereich einer Testgröße berechnet werden

- Für die Annahme des wahren Parameters des Grundgesamtheit ergibt die Gütefunktion die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1.Art

- Von verschiedenen Tests für die gleiche Hypothese ist die steilere Fkt. vorzuziehen

- die Wahrscheinlichkeit beta (µ) für den Fehler 2.Art d.h. obwohl H0 falschi ist H0 anzunehmen, ist mit Gütefunktion durch die Beziehung betha(µ) = 1- g(µ) verbunden und heißt Operationscharakteristik

- Qs ist der unternehmensintere, allgemeine Prozess, der sicherstellen soll, dass ein hergestelltes Produkt ein festgelegtes Qualitätsniveau erreicht

- werden zur Qssicherung Stichproben benutzt und mit Methoden der math. Statistik Schlußfolgerungen auf den gesamten Fertigungsprozess gezogen, spricht man von der stat. Qskontrolle

- Man unterscheidet zwei grundlegende Aufgaben

• stat. Prozesskontrolle: dient der laufenden Überwachung des Fertigungsprozesses und ermöglicht eine Steuerung durch unmittelbares Eingreifen
• Annahmekontrolle: hat keinen direkten Einfluss auf die laufende Produktion und dient der Kontrolle bereits gefertigter Erzeugnisse in der Eingangs- oder einer Zwischenphase und beim Endprodukt

- dient der laufenden Überwachung von Fertigungsprozessen, ermöglicht Steuerung durch unmittelbares Eingreifen

- technisches Hilfsmittel: Qualitätsregelkarte

- Entscheidung über einen Eingriff in den Prozess erfolgt nur anhand des Befundes der einen aktuellen Stichprobe Shewhart- oder Kontrollkarte)

- Kontrollkarten mit Gedächtnis berücksichtigen auch die Ergebnisse früherer Stichproben

- es gibt Kontrollkraten für messende und zählende Prüfung, je nachdem, ob für das Merkmal quantitative Messungen zur Verfügung stehen oder nur einequalitative Bewertung erfolgt

- Verlauf der Messpunkte wesentlich:

• Trend (7 Pkt nahezu linear)
• Pattern (nicht zufälliger Kurvenverlauf)
• Run (7 Pkt die unter und oberhalb einer Mittelline liegen und einen neuen Mittelwert ergeben)

-

Allgemeines Prinzip:

- In einer Voruntersuchung wird Lage und Streuung einer relevanten Prozessgröße bestimmt

- mit stat. Methden wird bestimmt in welchen Grenzen die Messwerte üblicherweise liegen

- Ziel: frühzeitiges Erkennen von Prozessstörungen

- wenn Stichprobe obere oder untere Eingriffgrenze erreicht kann der Prozess neu eingestellt werden

- Eingriffgrenzen (Ku, Ko)  liegen innerhalb der tech. Toleranzgrenzen (Tu, To)und ermöglichen so die frühzeitige Erkennung einer Prozessstörung

- ein Prozess ist fähig und gilt als beherrscht, wenn Prozesslage mit dem Sollwert übereinstimmt und die Streuung klar innerhalb des Toleranzbands liegt.

- Prozessfähigkeit wird durch die beiden Indices cp (critical process) und cpk (critical process capability) beschrieben

- Anzahl der Stichproben bis Lageverschiebung eintritt bestimmbar über P(V=nü)  = (1-p)^(nü-1)*p

 nicht beherrschter Prozess:

a) Stichproben liefern zwar eine geringe Streuung, aber der Mittelwert ist nicht reproduzierbar

nicht fähige Prozesse:

b) verschobene Prozesslage

c) Verhältnis von Toleranzband zu Streuung ist zu klein

c_p = T/6sigma T... Breite Toleranzband, sigma...Standardabweichung

Prozess erfüllt Fähigkeitskriterium wenn cp > 1,33  allerdinge keine Aussage über Prozesslage

deswegen

c_pk = cp *((1-k)  mit k = |M-xquer|/(T/2)  M...Sollwert für fähigen Prozess auch cpk > 1,33

1. Eingriff wird erforderlich, obwohl der Prozess ungestört verläuft (Blinder Alarm) z.B durch Ausreißer)

2. Es erfolgt kein Eingriff, obwohl der Prozess gestört ist ("unterlassener Alarm)" z.B durch zunahme der Streuung, Drift der Prozesslage in eine bestimmte Richtung

Fehler 1 Art. Entscheidung für Prozess nicht unter Kontrolle, wenn er unter Kontrolle ist

Fehler 2.Art Entscheidung für Prozess unter Kontrolle obwohl er es nicht ist

Failur Mode and Effects Analsis Fehlermöglichkeits- und Einflussanalse dient der vorbeugenden Fehlerverhütung

- besonders in der Entwicklungsphase eingesetzt, je später Fehler entdeckt werden desto teurer sind sie

- für Automobilzulieferer verbindlich

- früher drei Arten: System, Konstruktions- und Prozess FMEA

- heute: System FMEA- Produkt und System FMEA- Prozess

- team welches "Produkt" aus allen Blickwinkelnbeleuchtet aus verschiedenen Bereichen

- Moderator oder Teamleiter regelt, fasst zusammen  und dokumentriert

- Formblatt für strukturierten Einsatz

- Wo könnten Fehler auftreten

- Wie äußert sich ein Fehler

- was für eine Fehlerfolge könnte sich einstellen

- Warum kann Fehler oder Fehlerfolge auftreten

- Welche Abstellmaßnahmen werden empfohlen

1. Gliederung in Teilprozesse oder Komponenten

2. Beschreibung der Schnittstellen

3. Fehleranalyse

4. Risokobeurteilung

5. Maßnahmenvorschläge

6. Ergebnisbeurteilung

Wichtig vollständiges erfassen aller möglichen Fehler

- wird zur Risikobeurteilung benutzt

- Produkt aus Wahrscheinlichkeit A des Auftretens eines Fehlers, Die Bedeutung der Fehler und der Wahrscheinlichkeit für die Entdeckung des Fehlers

- Wobei die Wahrscheinlichkeiten in zahlen von 1-10 unterteilt sind

es gilt für:

• Auftreten des Fehlers: 1unwahrscheinlich, 10hoch
• Bedeutung des Fehlers: 1 kaum wahrnehmbare Auswirkung,  10 Schwerwiegender Fehler
• Entdeckung des Fehlers 1 hoch, 10 unwahrscheinlich

- übersteigt die RPZ einen Grenzwert (meist 125) sollte reagiert werden

- die RPZ kann für die Rangfolge zum Einleiten von Gegenmaßnahmen im Entwicklungsprozess genutzt werden

- ist nicht für die Beurteilung von Risikopotentialen geeignet da auf verschiedene Weisen gleiche Zahlen entstehen

- klassische Definition nach Laplace:

jeder (diskrete) Versuchsausgang ist gleich wahrscheinlich 

P = g/m Anzahl günstige Fälle/ Anzahl mögliche Fälle

- stat. Definition: Wahrscheinlichkeit p(E) ist die für n gegen unendlich vorrausgesagte relative Häufigkeit h(E) des Eintretens von E

-Axiomatische Definition: i reele Zahl 0 kleiner gleich p(E) kleiner gleich 1

ii p(E) =1 sicheres Ereignis, iii für disjunkte Ereignisse Aund B: p(A oder B) = P(A) + P(B)

- symmetrischer Zusammenhang zw. bedingten Wahrscheinlichkeiten p (A|B) und p(B|A

- p(A und B) = p(A)* p(B|A) = p(B) * p(A|B)

- beschäftigt sich mit der Anordnung oder Auswahl von unterscheidbaren oder nicht- uterscheidbaren Objekten mir oder ohne Beachtung der Reihenfolge

unterschieden werden:

-Permutation (Reihenfolge)

- Variation (Auswahl mir Reihenfolge)

- Kombinationen (Auswahl ohne Reihenfolge)

jede Mögliche Anordnung von n Elementen:

- bei n unterschiedlichen Elementen n!

- bei n gleichen Elementen n! / (r!*s!....k!)

- Auswahl unter Beachtung der Reihenfolge

- mit und ohne zurücklegen

mit: n^k

ohne n über k*k! oder n! / (n-k)!

ohne Beachtung der Reihenfolge

kein Zurücklegen n über k

mit zurücklegen (n-1-k) über k