Numerische Mathematik
Klausurrelevanter Fragenkatalog der HAWK Göttingen 2012
Klausurrelevanter Fragenkatalog der HAWK Göttingen 2012
Kartei Details
| Karten | 61 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 12.01.2013 / 16.06.2020 |
| Weblink |
https://card2brain.ch/box/numerische_mathematik
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41. Auf welcher Idee basiert das Bisektionsverfahren / Newton-Verfahren?
Bisektionsverfahren: eine stetige Funktion hat zwischen a mit f(a) < 0 und b mit f(b) > 0 eine NST (Nullstelle) (wegen Zwischenwertsatz). Dann halbiere das Intervall [a,b] sukzessive, um gute gute Näherung für die NST zu erhalten.
Newton-Verfahren: xk sei ein Näherungswert für die NST einer stetigen differenzierbaren Funktion. Lege xk die Tangente an f(x) und dann betrachte deren NST als neues xk.
42. Unter welchen Voraussetzungen ist das Bisektionsverfahren / Newton-Verfahren durchführbar?
Bisektionsverfahren: muss NST mit Vorzeichenwechsel links und rechts davon haben.
Newton-Verfahren: die Funktion muss stetig differenzierbar sein und f'(xk) ungleich 0
43.a Welche Vor- / Nachteile hat das Bisektionsverfahren
Vorteile: Das Verfahren ist sicher, konvergiert global (d.h. Startwerte müssen nicht nahe an der NST liegen) und eine Differenzierbarkeit von f ist nicht erforderlich.
Nachteile: Das Verfahren ist langsam.
43.b Welche Vor- / Nachteile hat das Newton-Verfahren?
Vorteile: Wenn das Verfahren konvergiert, passiert es erheblich schneller als z.b. beim Bisektionsverfahren.
Nachteile: Differenzierbarkeit ist erforderlich. Das Verfahren hat sensibles Konvergenzverhalten. Nimmt die Funktion sehr kleine Werte an (z.B. e-x), besteht die Gefahr, dass für gewisse Startwerte ein x mit einem Funktionswert nahe 0 als scheinbare NST liefert, obwohl nahe x keine NST liegt. (Ausweg: Prüfen anhand Zwischenwertsatz, also Vorzeichenwechsel bei NST ± ε)
44. Welche Konvergenzeigenschaften hat das Bisektionsverfahren / Newton-Verfahren?
Bisektionsverfahren: das Verfahren konvergiert global sobald es durchführbar ist.
Newton-Verfahren: das Verfahren zeigt starke Konvergenzabhängigkeit vom Startwert. Das Verfahren hat Konvergenzordnung q (q=1 bedeutet linieare Konvergenz, q=2 quadratische Konvergenz)
45. Wie muss man beim Bisektionsverfahren / Newton-Verfahren vorgehen, um alle Nullstellen einer Funktion zu bestimmen?
Bisektionsverfahren: Kurvendiskussion. Danach findet man ein geeignetes Startintervall für jede NST und führ das Bisektionsverfahren durch.
Newton-Verfahren: Kurvendiskussion. Danach findet man einen geeigneten Startwert für jede NST und führt das Newton-Verfahren durch.
46.a. Skizzieren Sie für eine gegebene Funtion die ersten 3 Näherungen, die das Bisektionsverfahren für die Bestimmung der Nullstelle mit einem gegebenen Startintervall ergibt!
BILD
46.b. Skizzieren Sie für eine gegebene Funtion die ersten 3 Näherungen, die das Newton-Verfahren für die Bestimmung der Nullstelle mit einem gegebenen Startwert ergibt!
BILD
47. Für die Nullstelle einer Funktion soll mit dem Bisektionsverfahren und dem Startintervall [2,4] eine Näherung berechnet werden, die von der Nullstelle höchstens 10-3 abweicht.
Wie viele Schritte des Bisektionsverfahrens müssen durchgeführt werden, um das zu garantieren? (Lösungsweg angeben)
UE 12, obere Schranke für | c-NST |
Formel: | ck - x* | ≤ (b0 - a0) / 2^(k+1) für alle k, also
0,001 ≥ 4-2 / 2^(k+1) → log2(4-2/0,001) -1 = 9,96 = k ≈ 10
48.a Nennen Sie mögliche Abbruchkritierien für das Bisektionsverfahren!
Bisektionsverfahren: | ck - x* | ≤ ϵ → b0 - a0 / 2(k+1) ≤ ϵ, wobei ϵ ein fest vorgegebener Wert ist. Man sagt auch, dass ϵ eine Schranke für den absoluten Fehler ist.
48.b Nennen Sie mögliche Abbruchkriterien für das Newton-Verfahren!
Newton-Verfahren: | xk - x* | ≤ ϵ äquivalent zu xk - ϵ ≤ x* ≤ xk + ϵ, wobei ϵ ein fest vorgegebener Wert ist. Man sagt auch, dass ϵ eine Schranke für den absoluten Fehler ist.
49. Kann das Newton-Verfahren konvergieren, wenn die gesuchte Nullstelle eine Extremstelle oder ein Sattelpunkt der Funktion ist?
Welche Auswirkung auf das Newton-Verfahren ist in diesen Fällen zu erwarten?
Es kann lokal linear gegen x* (interessierende Lösung) konvergieren, wenn noch dazu folgendes gelte:
für alle x ≠ x* einer Umgebung von x*, f'(x) ≠ 0 und | f(x)f'(x) / (f'(x))2 | ≤ Q < 1 mit einer geeigneten reellen Zahl Q d.h. es gibt ein reelles c ϵ (0,1) mit | xk+1 - x* | ≤ C | xk - x* | für alle k.
5. Welche unvermeidbaren Fehler beim Rechnen mit Computern müssen bei der Entwicklung numerischer Algorithmen berücksichtigt werden?
- Einfluss von Fehlern in den Eingangsdaten
- Rundungsfehler während der Rechnung
- Verfahrensfehler (durch Diskretisierung, Abbruch)
50. Ein Iterationsverfahren besitzt die Konvergenzordnung 3. Was bedeutet das (Formel mit Erläuterrung der Symbole)?
Das Verfahren hat die Konvergenzordnung q≥1, wenn eine Konstante c>0 existiert. Für q=1 wird dabei ausserdem c<1 gefordert.
q=1: lineare Konvergenz
q=2: quadratische Konvergenz
51. Ein Iterationsverfahren xk+1 = F(xk), k=0,1..., mit stetiger Funktion F konvergiere gegen x0.
Welche Eigenschaft weist x0 auf?
x0 ist ein Fixpunkt
52. Konvergiert jedes Iterationsverfahren xk+1 = F(xk), k=0,1... ?
53. Was versteht man unter einem Fixpunkt einer Funktion F(x)?
Fixpunkt von F: ^x mit F(^x) = ^x
6. Nennen Sie Gründe dafür, dass zur Lösung des gleichen numerischen Problems häufig mehrere Algorithmen existieren!
- Hardwareabhängige Gründe (wenig Rechenoperationen)
- Parallelrechner
- Geringer Speicherplatz
7. Was ist eine Maschinenzahl?
Eine im Compiler exakt darstellbare Zahl nennt man Maschinenzahl
(abhängig vom Computer einschl. Compiler und vom Datentyp)
8. Ist eine Maschinenzahl vom Datentyp abhängig?
9. Wie wir eine reelle Zahl nach IEEE-Standard auf eine Maschinenzahl abgebildet (allgm. Regeln, ohne Bezug auf konkrete Datentypen)?
rd(x) bezeichnet die Maschinenzahl, in die eine reelle Zahl umgewandelt wird (abhängig vom Computer einschl. Compiler und Datentyp).
Jede reelle Zahl x wird auf die ihr nächstgelegene Maschinenzahl gerundet.
Liegt x in der Mitte zwischen 2 Maschinenzahlen, so wird auf die weiter von 0 entferte Maschinenzahl gerundet.
