Numerische Mathematik
Klausurrelevanter Fragenkatalog der HAWK Göttingen 2012
Klausurrelevanter Fragenkatalog der HAWK Göttingen 2012
Kartei Details
| Karten | 61 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 12.01.2013 / 16.06.2020 |
| Weblink |
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46.a. Skizzieren Sie für eine gegebene Funtion die ersten 3 Näherungen, die das Bisektionsverfahren für die Bestimmung der Nullstelle mit einem gegebenen Startintervall ergibt!
BILD
46.b. Skizzieren Sie für eine gegebene Funtion die ersten 3 Näherungen, die das Newton-Verfahren für die Bestimmung der Nullstelle mit einem gegebenen Startwert ergibt!
BILD
47. Für die Nullstelle einer Funktion soll mit dem Bisektionsverfahren und dem Startintervall [2,4] eine Näherung berechnet werden, die von der Nullstelle höchstens 10-3 abweicht.
Wie viele Schritte des Bisektionsverfahrens müssen durchgeführt werden, um das zu garantieren? (Lösungsweg angeben)
UE 12, obere Schranke für | c-NST |
Formel: | ck - x* | ≤ (b0 - a0) / 2^(k+1) für alle k, also
0,001 ≥ 4-2 / 2^(k+1) → log2(4-2/0,001) -1 = 9,96 = k ≈ 10
48.a Nennen Sie mögliche Abbruchkritierien für das Bisektionsverfahren!
Bisektionsverfahren: | ck - x* | ≤ ϵ → b0 - a0 / 2(k+1) ≤ ϵ, wobei ϵ ein fest vorgegebener Wert ist. Man sagt auch, dass ϵ eine Schranke für den absoluten Fehler ist.
48.b Nennen Sie mögliche Abbruchkriterien für das Newton-Verfahren!
Newton-Verfahren: | xk - x* | ≤ ϵ äquivalent zu xk - ϵ ≤ x* ≤ xk + ϵ, wobei ϵ ein fest vorgegebener Wert ist. Man sagt auch, dass ϵ eine Schranke für den absoluten Fehler ist.
49. Kann das Newton-Verfahren konvergieren, wenn die gesuchte Nullstelle eine Extremstelle oder ein Sattelpunkt der Funktion ist?
Welche Auswirkung auf das Newton-Verfahren ist in diesen Fällen zu erwarten?
Es kann lokal linear gegen x* (interessierende Lösung) konvergieren, wenn noch dazu folgendes gelte:
für alle x ≠ x* einer Umgebung von x*, f'(x) ≠ 0 und | f(x)f'(x) / (f'(x))2 | ≤ Q < 1 mit einer geeigneten reellen Zahl Q d.h. es gibt ein reelles c ϵ (0,1) mit | xk+1 - x* | ≤ C | xk - x* | für alle k.
5. Welche unvermeidbaren Fehler beim Rechnen mit Computern müssen bei der Entwicklung numerischer Algorithmen berücksichtigt werden?
- Einfluss von Fehlern in den Eingangsdaten
- Rundungsfehler während der Rechnung
- Verfahrensfehler (durch Diskretisierung, Abbruch)
50. Ein Iterationsverfahren besitzt die Konvergenzordnung 3. Was bedeutet das (Formel mit Erläuterrung der Symbole)?
Das Verfahren hat die Konvergenzordnung q≥1, wenn eine Konstante c>0 existiert. Für q=1 wird dabei ausserdem c<1 gefordert.
q=1: lineare Konvergenz
q=2: quadratische Konvergenz
51. Ein Iterationsverfahren xk+1 = F(xk), k=0,1..., mit stetiger Funktion F konvergiere gegen x0.
Welche Eigenschaft weist x0 auf?
x0 ist ein Fixpunkt
52. Konvergiert jedes Iterationsverfahren xk+1 = F(xk), k=0,1... ?
53. Was versteht man unter einem Fixpunkt einer Funktion F(x)?
Fixpunkt von F: ^x mit F(^x) = ^x
6. Nennen Sie Gründe dafür, dass zur Lösung des gleichen numerischen Problems häufig mehrere Algorithmen existieren!
- Hardwareabhängige Gründe (wenig Rechenoperationen)
- Parallelrechner
- Geringer Speicherplatz
7. Was ist eine Maschinenzahl?
Eine im Compiler exakt darstellbare Zahl nennt man Maschinenzahl
(abhängig vom Computer einschl. Compiler und vom Datentyp)
8. Ist eine Maschinenzahl vom Datentyp abhängig?
9. Wie wir eine reelle Zahl nach IEEE-Standard auf eine Maschinenzahl abgebildet (allgm. Regeln, ohne Bezug auf konkrete Datentypen)?
rd(x) bezeichnet die Maschinenzahl, in die eine reelle Zahl umgewandelt wird (abhängig vom Computer einschl. Compiler und Datentyp).
Jede reelle Zahl x wird auf die ihr nächstgelegene Maschinenzahl gerundet.
Liegt x in der Mitte zwischen 2 Maschinenzahlen, so wird auf die weiter von 0 entferte Maschinenzahl gerundet.
1. Welches Ziel verfolgt die numerische Mathematik?
10. Was bedeutet die Fehlermeldung Overflow?
Welche Konsequenz hat dieser Fehler für den Programmablauf?
Wenn bei rechnerischen Computeroperationen eine reelle Zahl x auftritt, deren Betrag größer ist als die größte Maschinenzahl, stürzt das Programm ab mit der Fehlermeldung "Overflow".
11. Was bedeutet Exponentenunterlauf?
Welche Konsequenz hat dieser Fehler für den Programmablauf?
Welche sonstigen Konsequenzen hat er?
Underflow: Das Programm läuft im Allgemeinen weiter.
x ungleich 0, trotzdem rd(x) = 0.
Information über x geht vollständig verloren.
12. Wie ist die Maschinengenauigkeit definiert?
Maschinengenauigkeit u: kleinste Zahl u mit rd(1 + u) > 1 (abhängig vom Computer einschl. Compiler und Datentyp)
13. Ist die Maschinengenauigkeit abhängig vom Variablentyp?
14. Welche praktische Bedeutung hat die Maschinengenauigkeit über ihre Definition hinaus?
Praktische Bedeutung beim Rechnen mit Maschinenzahlen und bei der Fehlerabschätzung.
15. Was versteht man unter Auslöschung?
Für zwei nahe beieinander liegende Zahlen kann die Subtraktion im Computer mit einem großen Fehler behaftet sein.
Ist dies der Fall, spricht man von Auslöschung (die führenden Mantissenziffern löschen sich bei der Subtraktion gegenseitig aus).
16. Wie sollte man numerisch testen, ob die reellwertige Variable z den Wert 3 / einen Wert kleiner als 3 / einen Wert größer als 3 hat?
(Falls Sie dazu weitere Variablen einführen, erläutern Sie, wie diese vereinbart werden!)
Mittels einer neuen Variable Epsilon ϵ, um die Genauigkeit zu definieren. Dann vergleicht man immer:
- Für z == 3, ob |z-3| < ϵ ist
- Für z < 3, ob z < 3 + ϵ ist
- Für z > 3, ob z > 3 - ϵ ist
17. Was sollte man bei der Wahl von Schrittweiten in Programmen beachten?
Schrittweiten möglichst als ganze Zahlen oder als Potenzen der im Computer verwendeteten Zahlenbasis wählen.
18. In welchem reellen Bereich sollte man nach Möglichkeit auf Computern rechnen?
Rechenoperationen mit Zahlen unterschiedlicher Dimension möglichst vermeiden, Werte zuvor normalisieren → Werte im Bereich [-1, 1] als Zehnerpotenzen darstellen (z.b. 0,123* 10-x)
19. In welcher Reihenfolge sollte man numerisch Summanden unterschiedlicher Größtenordnung addieren?
Bei der Addition mehrerer Summanden diese in eine Reihenfolge aufsteigender Beträge addieren.
2. Welche Gründe führen dazu, dass mathematische Probleme auf Computern im allgemeinen anders gelöst werden müssen als ohne Computer?
- Endlichkeit (der Daten, ihrer Stellenanzahl, der Rechenschritte), Maschinengenauigkeit
20. Wie viel reelle / komplexe Nullstellen hat ein Polynom n-ten Grades?
Maximal n reelle Lösungen, wobei nicht unbedingt alle unterschiedlich sein müssen.
Maximal n komplexe Lösungen, wobei nicht alle unterschiedlich sein müssen.
21. Was versteht man unter der Linearfaktorzerlegung eines Polynoms (Formel mit Erläuterung)?
In welcher Beziehung steht sie zu den Nullstellen des Polynoms?
p(x) = an (x - x1) * ... (x - xn) ; dabei sind xi (nicht notwendigerweise verschiedene) Nullstellen von p(x).
Beziehung 1:1 (n Zerlegung für n Nullstellen)
22. Warum löst man viele numerische Probleme mit Hilfe von Polynomen?
Weil die Polynome sich sehr bequem und leicht im Computer darstellen bzw. lösen lassen.
(Was kann eig. eine ALU gut machen? Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren)
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