Numerische Mathematik
Klausurrelevanter Fragenkatalog der HAWK Göttingen 2012
Klausurrelevanter Fragenkatalog der HAWK Göttingen 2012
Set of flashcards Details
| Flashcards | 61 |
|---|---|
| Language | Deutsch |
| Category | Maths |
| Level | University |
| Created / Updated | 12.01.2013 / 16.06.2020 |
| Weblink |
https://card2brain.ch/box/numerische_mathematik
|
| Embed |
<iframe src="https://card2brain.ch/box/numerische_mathematik/embed" width="780" height="150" scrolling="no" frameborder="0"></iframe>
|
1. Welches Ziel verfolgt die numerische Mathematik?
10. Was bedeutet die Fehlermeldung Overflow?
Welche Konsequenz hat dieser Fehler für den Programmablauf?
Wenn bei rechnerischen Computeroperationen eine reelle Zahl x auftritt, deren Betrag größer ist als die größte Maschinenzahl, stürzt das Programm ab mit der Fehlermeldung "Overflow".
11. Was bedeutet Exponentenunterlauf?
Welche Konsequenz hat dieser Fehler für den Programmablauf?
Welche sonstigen Konsequenzen hat er?
Underflow: Das Programm läuft im Allgemeinen weiter.
x ungleich 0, trotzdem rd(x) = 0.
Information über x geht vollständig verloren.
12. Wie ist die Maschinengenauigkeit definiert?
Maschinengenauigkeit u: kleinste Zahl u mit rd(1 + u) > 1 (abhängig vom Computer einschl. Compiler und Datentyp)
13. Ist die Maschinengenauigkeit abhängig vom Variablentyp?
14. Welche praktische Bedeutung hat die Maschinengenauigkeit über ihre Definition hinaus?
Praktische Bedeutung beim Rechnen mit Maschinenzahlen und bei der Fehlerabschätzung.
15. Was versteht man unter Auslöschung?
Für zwei nahe beieinander liegende Zahlen kann die Subtraktion im Computer mit einem großen Fehler behaftet sein.
Ist dies der Fall, spricht man von Auslöschung (die führenden Mantissenziffern löschen sich bei der Subtraktion gegenseitig aus).
16. Wie sollte man numerisch testen, ob die reellwertige Variable z den Wert 3 / einen Wert kleiner als 3 / einen Wert größer als 3 hat?
(Falls Sie dazu weitere Variablen einführen, erläutern Sie, wie diese vereinbart werden!)
Mittels einer neuen Variable Epsilon ϵ, um die Genauigkeit zu definieren. Dann vergleicht man immer:
- Für z == 3, ob |z-3| < ϵ ist
- Für z < 3, ob z < 3 + ϵ ist
- Für z > 3, ob z > 3 - ϵ ist
17. Was sollte man bei der Wahl von Schrittweiten in Programmen beachten?
Schrittweiten möglichst als ganze Zahlen oder als Potenzen der im Computer verwendeteten Zahlenbasis wählen.
18. In welchem reellen Bereich sollte man nach Möglichkeit auf Computern rechnen?
Rechenoperationen mit Zahlen unterschiedlicher Dimension möglichst vermeiden, Werte zuvor normalisieren → Werte im Bereich [-1, 1] als Zehnerpotenzen darstellen (z.b. 0,123* 10-x)
19. In welcher Reihenfolge sollte man numerisch Summanden unterschiedlicher Größtenordnung addieren?
Bei der Addition mehrerer Summanden diese in eine Reihenfolge aufsteigender Beträge addieren.
2. Welche Gründe führen dazu, dass mathematische Probleme auf Computern im allgemeinen anders gelöst werden müssen als ohne Computer?
- Endlichkeit (der Daten, ihrer Stellenanzahl, der Rechenschritte), Maschinengenauigkeit
20. Wie viel reelle / komplexe Nullstellen hat ein Polynom n-ten Grades?
Maximal n reelle Lösungen, wobei nicht unbedingt alle unterschiedlich sein müssen.
Maximal n komplexe Lösungen, wobei nicht alle unterschiedlich sein müssen.
21. Was versteht man unter der Linearfaktorzerlegung eines Polynoms (Formel mit Erläuterung)?
In welcher Beziehung steht sie zu den Nullstellen des Polynoms?
p(x) = an (x - x1) * ... (x - xn) ; dabei sind xi (nicht notwendigerweise verschiedene) Nullstellen von p(x).
Beziehung 1:1 (n Zerlegung für n Nullstellen)
22. Warum löst man viele numerische Probleme mit Hilfe von Polynomen?
Weil die Polynome sich sehr bequem und leicht im Computer darstellen bzw. lösen lassen.
(Was kann eig. eine ALU gut machen? Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren)
23. Welches Verfahren verwendet man für die Berechnung von Polynomwerten?
Das Horner Schema
24. Was unterscheidet die diskrete Datenapproximation von der Approximation von Funktionen?
Was verbindet beide?
Es gibt jeweils zwei Möglichkeiten die beiden Probleme zu beheben:
Was beide verbindet, ist die Lösung mittels T-Approximation.
Unterschied liegt:
- Diskrete Datenapproximation lässt sich durch die Methode der kleinsten Quadrate lösen. Es geht um Punkte, die bestmöglich approximiert werden.
- Als Alternative hat die Approximation von Funktionen die steigende Quadratmittelapproximation. Es geht um Funktionen, die bestmöglich approximiert werden.
25. Nennen Sie 2 unterschiedliche Methoden der diskreten Datenapproximation!
- Diskrete T-Approximation (Tschebyscheff-Approximation)
- diskrete Quadratmittelapproximation (Methode der kleinsten Quadrate)
26. Was ist eine interpolierte Kurve
Zu gegebenen Punkten ist eine Funktion (Polynom-Funktion) zu bestimmen, die durch diese Punkte verläuft. Der Verlauf über die Punkte nennt man die interpolierte Kurve.
27. Wie viel Polynome 5. Grades kann man durch 4 Punkte legen?
Beliebig viele 5. Grades
(genau eins 3. Grades)
28. Ein Interpolationspolynom von welchem Höchstgrad kann man eindeutig durch 10 Punkte legen?
29. Welche Form des Interpolationspolynoms erweist sich als vorteilhaft, wenn mehrere Interpolationspolynome zu festen Stützstellen, aber unterschiedlichen Datensätzen berechnet werden soll?
Lagrangesche Form
3. Was ist ein numerischer Algorithmus?
Numerischer Algorithmus ist eine eindeutig festgelegte Vorschrift, nach der aus den endlich vielen Input-Daten durch endlich viele arithmetische und logische Operationen mit endlich vielen Funktionswerteberechnungen der Problemfunktion bzw. deren AbleitungenNäherungswerte für die endlich vielen Output-Daten bestimmt werden.
30. Welche Form des Interpolationspolynoms erweist sich als vorteilhaft, wenn das Interpolationspolynom nach Hinzufügen weiterer Stützstellen erneut berechnet werden soll?
Newtonsche Form
31. Eignen sich Polynome hohen Grades zur Approximation von Funktionen?
Im Allgemeinen nicht.
32. Wie muss man die Stützstellen wählen, um die bestmögliche Approximation einer Funktion durch ein Polynom zu erreichen?
Tschebyscheff-Approximation
Minimiere max | g(a1,a2, ... an,n) - f(x) |
33. Nennen Sie einen Typ von Funktionen, durch die eine gegebene Funktion beliebig gut approximiert werden kann!
Splines
34. (UNVOLLSTÄNDIG) Skizzieren Sie für eine gegebene Funktion einen linearen interpolierenden Spline mit 5 Knoten!
Skizze zeigt nur N=2,4,8,16
35. Es liegen 1001 Punkte aus einer Messung vor. Wie viele Polynome benötigt man für eine Spline-Interpolation der von diesen Punkten beschriebenen Kurve?
Polynomgrad k-1, also 1000
36. Nennen Sie Gründe für die Anwendung numerische Integrationsverfahren!
- Integral nicht geschlossen auswertbar, d.h. man findet kein F mit F' = f
- Integral mit zu hohem Aufwand auswertbar
- f nicht explizit bekannt, da nur an einigen Stellen gemessen oder berechnet
37.a (UNVOLLSTÄNDIG) Skizzieren Sie für eine über einem abgeschlossenen Intervall gegebene Funktion die Fläche, die die (1.) Rechteckregel mit 5 Teilintervallen berechnet!
UNVOLLSTÄNDIG
37.b (UNVOLLSTÄNDIG) Skizzieren Sie für eine über einem abgeschlossenen Intervall gegebene Funktion die Fläche, die die (2.) Trapezregel mit 5 Teilintervallen berechnet!
UNVOLLSTÄNDIG
37.c (UNVOLLSTÄNDIG) Skizzieren Sie für eine über einem abgeschlossenen Intervall gegebene Funktion die Fläche, die die (3.) Simpsonregel mit 5 Teilintervallen berechnet!
UNVOLLSTÄNDIG
37.d (UNVOLLSTÄNDIG) Skizzieren Sie für eine über einem abgeschlossenen Intervall gegebene Funktion die Fläche, die die (4.) zusammengesetzte Mittelpunktsformel mit 5 Teilintervallen berechnet!
UNVOLLSTÄNDIG
37.e (UNVOLLSTÄNDIG) Skizzieren Sie für eine über einem abgeschlossenen Intervall gegebene Funktion die Fläche, die die (5.) Trapezformel mit 5 Teilintervallen berechnet!
UNVOLLSTÄNDIG
37.f (UNVOLLSTÄNDIG) Skizzieren Sie für eine über einem abgeschlossenen Intervall gegebene Funktion die Fläche, die die (6.) Simpsonregel mit 5 Teilintervallen berechnet!
UNVOLLSTÄNDIG
38. Mit welchen numerischen Integrationsformeln kann man ein Integral beliebig gut annähern?
Zusammengesetzte Integrationsformeln
39. Welche Beziehung besteht für konvexe / konkave Funktionen zwischen dem Wert eines Integrals und dem Näherungswert, den die zusammengesetzte Trapezformel liefert? Veranschaulichen Sie den Zusammenhang in einer Skizze!
Für konvexe und konkave Funktionen liefert die zusammengesetzte Trapezformel eine obere bzw. untere Schranke des Integrals.
4. Nennen Sie 3 Zielvorstellungen, die man bei der Entwicklung numerischer Algorithmen für eine gegebene Problemklasse verfolgt!
- Robustheit
- Hohe Effektivität (wenig Rechenoperationen, geringer Speicherplatz)
- Eignung für Aufgaben hoher Dimension (ggf. Heuristik)
40. Nennen Sie ein Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme!
