Modellbildung und Simulation fluidtechnischer Systeme und Komponeten

• Analyse des dynamischen Verhaltens geregelter Systeme mit Hilfe linearer DGLs 1., 2. oder 3. Ordnung ist mit hohem Rechenaufwand verbunden
• Darstellung im Bildbereich erschafft leichter handhabbare Verhältnisse

Simulation: Nutzung eines Modells (d.h. Durchführung von Experimenten mit Modell -> Erkenntnisse über das System

Simulationsmodell: konkret implementiertes Modelle eines Systems (z.B. Computerprogramm, Analogrechnerschaltung, skaliertes physikalisches Modell eines Flugzeugs)

Simulator: gesamtes System, mit dem Experimente an Simulationsmodellen ausgeführt werden

Simulationslauf: Durchführung eines konkreten Experiments an einem Simulationsmodell

• Darstellung des Verlaufs der Polstellen s in der komplexen Zahlenebene

Bestimmung:

1. \(s= \sigma+j \omega\)
2. \(Re_{(s)}=\sigma=-D{\omega}_0\)und \(Im_{(s)}=\omega={\omega}_0 \sqrt{1-D^2}\)
3. Normierung auf \(\omega_0\)ergibt: \({Re_{(s)}\over \omega_0}={\sigma \over \omega_0}=-D\)und \({Im{(s)} \over \omega_0} = {\omega \over \omega_0} =\sqrt{1-D^2}\)
4. Darstellung in der komplexen Zahlenebene

• numerische Lösung der strömungsmechanischen Erhaltungsgleichungen
• das "Innere" beliebiger Komponenten "sehen"
• Zusammenhang darstellen zwischen Innengeometrie, Strömungsfeld und Betriebsverhalten
• Anwendung: Entwicklung und Optimierung von Komponenten; Untersuchung von Ursachen für Geräusche, Verschleiß, Schwingungen, Fehlfunktion, etc. \(\rightarrow\) reduziert Aufwand für (gefähliche) Untersuchungen am Laborprüfstand

- beschreibt das Eingangs/Ausgangsverhalten des Systems vollständig mit einem Minimum an Parametern

• maßstabsgetreue Modelle (z.B. Windkanal) (physikalische Ähnlichkeit)
• Modelle auf Basis von System-Analogien (z.B. Analogrechnerschaltung) (physikalische Analogie)
• mathematische Modelle (z.B. DGL-System, Fuzzy-Logik) (mathematische Analogie)

• Zustandsvektor \(\vec{x_{(t)}}\) (Nx x 1)
• Eingangsgrößenvektor \(\vec{u_{(t)}}\) (Nu x 1)
• Ausgangsgrößenvektor \(\vec{y_{(t)}}\) (Ny x 1)
• Systemmatrix A (Nx x Nx)
• Eingangsmatrix B (Nx x Nu)
• Ausgangsmatrix C (Ny x Nx)
• Durchschaltmatrix (Ny x Nu)

Ziel: Bestimmung der Abhängigkeit der Ausgangsgrößen von den Eingangsgrößen sowie den Systemparametern

• Isotherm: T=const.
• Isochor: V=const.
• Isobar: p=const.
• Adiabat: S=const. (isentrop)

eine nicht zeitverzögerte Rückkopplung

laminar, isotherme Strömung: \(Re \leq 1404\); \(\lambda = {64 \over Re}\)

Übergangsbereich laminar - turbulent: \(1404 \leq Re \leq2320\); \(\lambda = 0.0456\)

Turbulente Strömung:) \(2320\leq Re\); \(\lambda = {0.3164 \over {\sqrt[4] Re}}\)

• Physikalischer Normzustand (Index n)
• Technischer Normzustand (Index 0)
  - in der Pneumatik gebräuchlich, da seine Bedingungen technische Messungen vereinfachen

numerisch: Residuen R; Wandparameter y+; Turbulenzparameter k; \(\epsilon\); \(\eta_t\); Lösungsdifferen \(\Delta \phi\) bei variabler Netzfeinheit und bei verschieden genauen Solvern

physikalisch: Erfüllung Bilanten (Masse, Energie, Impuls); Massestrom, Kräfte; Totalgrößen (Totaldruck, Totaltemperatur); statische Größen (Druck und Temperatur)

• Ersatzobjekt zur Gewinnung von Erkenntnis über Originalobjekt:

1. Abbild vom Original
2. bildet nur Eigenschaften des Originals ab, die dem Modellbenutzer wichtig erscheinen: bestimmte Eigenschaften werden als Eigenschaften des Originals interpretiert -> Es gibt immer Eigenschaften, die keinen Bezug zum Original besitzen
3. pragmatisch und zewckorientiert -> Minimalmodell

Kontinuitätsgleichung (Masseerhaltung):\(\sum_{i}^{n}\dot{m}+{d\over dt}(\rho V)=0\)bzw. \(\sum_{i=1}^{n}\rho_i Q_i+{d\over dt}(\rho V)=0\)

Impulsbilanz (Kräftegleichgewicht): \(\sum \bar{F}={d \over dt} \bar{I}={d \over dt}(m* \bar{v})\)

Energiebilanz: \(p_{ges}=p{stat}+\rho g h+{\rho v^2 \over 2}=konst.\)

Ein Differentialgleichungssystem ist im Allgemeinen nicht analytisch lösbar. Mit Hilfe von numerischen Integrationsverfahren kann jedoch eine schrittweise Berechnung der Lösung erfolgen.

- Lösungen von unterschiedlich feinen Netzen werden verglichen
- erst wenn Lösung sich nicht mehr ändert ist Netz ausreichend fein

• Lösungsgebiet unterteilt in finite Anzahl an nicht überlappender Kontrollvolumina (KVs)
• Erhaltungsgleichungen auf jedes KV angewendet
• Variablen werden im Rechenknoten (Schwerpunkt des KV) berechnet
• Bilanzierung der Erhaltungsgrößen (Masse, Impuls, Energie) erfolgt durch Integration über KV  \(\rightarrow\) Integralform der Erhaltungsgleichungen
• häufig bei kompressiblen Strömungen angewendet (robust und sehr genau bei Unstetigkeiten)

Die Ölkompressibilität wird mit Hilfe des Kompressionsmoduls \(K'_{Öl}\) beschrieben.

\(\rho = {\rho_0 \over {1-{p-p_o\over K'_{Öl}}}}\)

• Direkte numerische Simulation (DNS)
• Large Eddy Simulation (LES)
• Statistische Methode

• stationär: 
  - Lösung der instationären Erhaltungsgleichungen bei zeitlich konstanten Randbedingungen bis stationäerer Zustand des Strömungsfeldes erreicht
  - Zeitliche Entwicklung des Strömungsfeldes spielt keine Rolle
• instationär:
  - Berehcnung der zeitlichen Entwicklung des Strömungsfeldes
  - zu jedem Zeitschritt erfolgt eine komplette Berechnung des Strömungsfeldes ("innere Interationen")
  - Diskretisierung der Zeit als "vierte Koordinate" (x,y,z,t)
  - die Zeitdiskretisierung und die numerische Berechnung der zeitlichen Entwicklung ("äußere Iterationen") erfolgt mit ähnlichen Verfahren wie bei gewöhnlichen DGL (Euler, Runge Kutta, Prädiktor-Korrektur...)

siehe Bild

• explizit: Der gesuchte Wert x_i+1 wird nicht zur Berechnung des Näherungswertes x_i+1 benötigt
  Einschrittverfahren: Eulersche Methode, Heunsche Methode, Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung
• implizit: Der gesuchte Wert x_i+1 ist auf beiden Seiten der Gleichung enthalten (gute Stabilitätseigenschaften, erhöhter Rechenaufwand)
  Einschrittverfahren: Trapezmethode

• Lösungsgebiet unterteilt in finite Anzahl an nicht überlappender Kontrollvolumina (KVs)
• Erhaltungsgleichungen auf jedes KV angewendet
• Variablen werden im Rechenknoten (Schwerpunkt des KV) berechnet
• Bilanzierung der Erhaltungsgrößen (Masse, Impuls, Energie) erfolgt durch Integration über KV  \(\rightarrow\) Integralform der Erhaltungsgleichungen
• häufig bei kompressiblen Strömungen angewendet (robust und sehr genau bei Unstetigkeiten)

- durch Vektor-Matrix-Darstellung besonders für Simulationen am Digitalrecher geeignet

• Differentialgleichungen (gewöhnlich, partiell)
• algebraische Gleichungen

Drossel: laminare Strömung \(\Delta p \sim Q\)

Blende: turbulente Strömung \(\Delta p \sim Q^2\)

technische Widerstände: laminar-turbulente Strömung (gemischter Ansatz) \(\Delta p \sim Q+Q^2\)

Differentialform:

Fluid strömt durch ein infinitesimal kleines Volumenelement, Erhaltungsgleichung in Differentialform, Diskretisierung als Finite-Differenzen-Verfahren (FD)
Vorteile: mathematisch anschaulicher, da keine Integrale auftauchen
Nachteile: physikalisch unanschaulicher, da Volumen gegen Null geht
 

Integralform: Fluid strömt durch ein endliches Kontrollvolumen V, Erhaltungsgleichung in Integralform, Diskretisierung als Finite-Volumen-Verfahren (FV)
Vorteile: physikalisch anschaulicher: zeitliche Änderung der Strömungsgröße im Inneren des Kontrollvolumens V entspricht der Änderung der Flüsse durch die Kontrolloberfläche A; ist bei unstetigen Verläufen wie bei Verdichtungsstößen genauer
Nachteile: mathematisch komplexer, da Integrale auftauchen

• Masseeinfluss eines bewegten (strömenden) Ölvolumens
• Maß für erforderliche Druckdifferenz, die zur zeitlichen Änderung eines Volumenstroms erforderlich ist
• über hydraulische Induktivität \(L_h={\rho l \over A}\) erfolgt die Berechnung der Flussvariable Q aus der Differenzvariable \(\Delta p\)

\(\dot{Q}={1 \over L_h} \Delta p\) 

• \(c_{p,0}= {\kappa \over {\kappa-1}}*R_S\)ist spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck
• \(c_{V,0}=R_S*({\kappa \over {\kappa -1}}-1)\)ist spezifische Wärmekapzität bei konstantem Volumen
• verknüpft über Isentropenkoeffizient \(\kappa={c_p \over c_V}\)

Knoten: Verbindungsstelle, an der alle Pontenzialvariablen gleichgesetzt und die Summe aller Flussvariablen zu Null adidiert (bilanziert) werden. =Anwendung der Kirchhoff'schen Gesetze (z.B. Mechanik: SummeF=0=

Element: repräsentieren physikalische Gesetzmäßigkeiten; werden durch Gleichungen beschrieben, die die mathematischen Beziehungen zwischen den definierten Variablen der Ports und blockinterner Variablen (Zustands-, Hilfgrößen) abbilden. D.h. Elemente definieren Beziehungen zw. Fluss- und Differenzvariablen (z.B.: mechanische Feder:: F=k*deltax)

 - um das Verhalten der Strömung in Wandnähe besser zu erfassen, da dort die turbulenten Schwankungsbewegungen behindert werden und sich die viskosen Einflüsse nicht mehr vernachlässigen lassen

• zwischen Blöcken: gerichteter Signalfluss (kausale Modellierung)
• Block repräsentiert mathematische Funktion, die auf das Eingangssignal angewendet wird
• Blöcke sind rückwirkungsfrei (Rückwirkungen extra durch Verknüpfung der Signale)
• Signal werden ohne physikalische Interpreation verwendet → Verknüpfung von Signalen unterschiedlicher Herkunt möglich
• Häufige Anwendung für regelungstechnische Frgestellungen

siehe Bild