Methoden der Fertigungsautomatisierung

Die Relativbewegung wird durch Überlagerung der Bewegung mehrerer Achsen erzeugt.

Das Übertragungsverhalten aller Achsen ist nie ganz gleich (Anisotropie), was zu Bahnabweichungen führt.

stat. Bewegungen:

Bei gleichem \(K_v\) aller Achsen im eingeschwungenen Zustand gibt es keine Bahnfehler

instat. Bewegungen (Beschleunigung):

ungleiche Dynamik bewirkt Konturabweichungen

Bahnabweichungen bei "Ecke ohne Halt":

• je langsamer die Bahngeschwindigkeit, desto weniger verschleift die Ecke.
• je höher die Reglerverstärkung desto genauer wird die Kontur (irgendwann nimmt die Reglerverstärkung dann zuviel von der Kontur ab) 

• je größer die Hysterese in Relation zur Kontur, desto stärker die Konturabweichung
• je größer die Reglerverstärkung desto genauer die Kontur bei Hysteresefehlern

links: Innenecke, rechts: Außenecke

Instationäre Bahnabweichungen bei ungleichem dynamischen Verhalten

A/D-Wandlung:

1. Abtasten
2. Quantisieren
3. Verschlüsseln (Bit-Code)

D/A-Wandlung:

1. Entschlüsseln
2. Haltevorgang

Vereinfachungen:

• Wandlungszeit ist null
• unendlich feine Auflösung
• Rechenzeit ist null

allgemeine Form der Differenzengleichung:

\(a_0 \cdot y(kT)+a_1 \cdot y(kT-T)+ \dots + a_n \cdot y(kT-nT)=b_0 \cdot u(kT)+b_1 \cdot u(kT-T)+ \dots +b_m \cdot u(kT-mT)\)

Form der DGL:

\(q_n \frac{d^n y(t)}{dt^n}+ \dots+q_0y(t)=r_0 \ u(t)+ \dots+r_m \frac{d^n u(t)}{dt^m}\)

durch Approximation wird aus der DGL eine Differenzengleichung:

\(\frac{dy(t)}{dt} \approx \frac{\Delta y}{\Delta t}= \frac{y(kT+T)-y(kT)}{T}\)

Bsp: PT1-Glied:

DGL: \(T_1 \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=u(t)\)

Diff: \(T_1(\frac{y(k+1)-y(k)}{T})+y(k)=u(k) \Rightarrow y(k+1)-(1-\frac{T}{T_1})\ y(k) = \frac{T}{T_1} u(k) \)

Rekursive Lösung der Differenzengleichung:

\(y(k)=-a_1 \cdot y(k-1)+b_1 \cdot u(k-1)\)

Vorwärtsdifferenz:

\(\Delta y(kT) = y(kT+T)-y(kT)\)

Rückwärtsdifferenz:

\(\Delta y(kT) = y(kT)-y(kT-T)\)

Die Vorwärtsdifferenz ist nicht verwendbar, da sie einen Blick in die Zukunft voraussetzt.

H(p) ist die Übertragungsfunktion des Haltegliedes

Anfangswert einer Folge:

\(f(0)=f_0=\lim\limits_{z\rightarrow\infty}F(z)\)

Endwert einer Folge:

Wenn \(\lim\limits_{k\rightarrow\infty}f\) existiert, dann ist: \(\lim\limits_{k\rightarrow\infty}f_k=\lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)F(z)\)

zeitdiskrete Funktion:

\(f^*(t)= \sum\limits_{k=0}^{\infty}f(kT)\delta(t-kT)\)

Die Laplace davon lautet:

\(F^*(p)= \sum\limits_{k=0}^{\infty}f(kT)e^{-kTp}\)

mit \(z=e^{Tp}\):

\(F(z)= \sum\limits_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}\)

Die z-Transformierte von f(kT) ist: \(\frac{z}{z-1}\)

Rekursion 1. Ordnung:

\(r[k]=R \begin{bmatrix} cos(\lambda[k-1]+\Delta \lambda[k]) \\ sin(\lambda[k-1]+\Delta \lambda[k]) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_M\\ y_M \end{bmatrix}\)

Rekursion 2. Ordnung:

\(r[k]=R \begin{bmatrix} -x[k-2]+2x[k-1]cos(\Delta \lambda) \\ -y[k-2]+2y[k-1]cos(\Delta \lambda) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_M\\ y_M \end{bmatrix}\)

Die Rekursionsformel 2. Ordnung kann nur angewendet werden wenn die Bahngeschwindigkeit konstant ist. Dann verringert sich mit der 2. Rekursion der Rechenaufwand.

• + Durch die Rückführung aller Zustände gewinnt man Einblicke über die inneren Energiespeicher des Systems, wodurch es besser regelbar wird
• - Es sind nicht alle Zustände messbar, daher ist der Einsatz eines Beobachters in der Regel notwendig

Durch die bilineare Transformation mit der Ersetzung

\(z = \frac{1+p}{1-p}\)

wird das innere des Einheitskreises der z-Ebene auf der linken w-Halbebene abgebildet. Dadurch kann mit Verfahren der kontinuierlichen Theorie die Stabilität überprüft werden. Das innere des Einheitskreises in der z-Ebene ist stabil.

Auslegungsziele sind:

• Pole möglichst auf reelle Achse (nicht schwingungsfähig)
  • \(\lvert Im\{z\}\rvert \rightarrow 0\ ,\ \lvert z^{i} \rvert \le 1 \Rightarrow\) wegen Stabilität
• Je mehr die Pole zum Nullpunkt liegen, desto dynamischer das System
  • \(\lvert Re\{z\}\rvert >0 \Rightarrow\) wegen Stellgrößenbeschränkung

• Zustandsregler setzen voraus, dass alle Zustandsgrößen vorliegen. Es gibt jedoch Probleme bei der Messung von diskreten Zustandsgrößen:
  • z.B. Beschleunigungssensor: Wegen Offset können Geschwindigkeit und Weg nicht gut integriert werden
  • zudem gibt es dann eine Verstärkung des Quantisierungsrauschens

Idee daher:

Rekonstruktion (Schätzung) des Zustandes mit einem Modell des realen Systems und bekannter Eingangsgrößen sowie mindestens einer Messgröße des realen Systems.

Damit die Pole des Reglers im wesentlichen das Zeitverhalten des Systems bestimmen, werden die Beobachterpole nicht so dynamisch eingestellt wie die Reglerpole.

• Anzahl der Aufgaben die der Rechner zu bewältigen hat bzw auch der Rechenaufwand
• Stabilität des Regelkreises
• Führungsverhalten/Regelgüte des Regelkreises
• Dynamik der Regelstrecke
• Störverhalten des Regelkreises
• Shannonsches Abtasttheorem