Methoden der Fertigungsautomatisierung

Die Flexibilität von Produktionsmitteln ist nicht durch eine einfache Kennzahl zu erfassen. Unter diesem Oberbegriff lassen sich verschiedene Flexibilitätsansätze aufführen, die unterschiedliche Fertigkeiten der entsprechenden Fertigungseinheiten beschreiben. Die Flexibilität von Fertigungseinrichtungen kann wie folgt aufgeschlüsselt werden:

• Variantenflexibilität
• Produktflexibilität
• Wiederverwendungsflexibilität
• An- und Auslaufflexibilität

Ein universelles Automatisierungsgerät

Sie führt eine qualifizierte Relativbewegung zwischen Werkzeug und Werkstück aus

Eine Relativbewegung zwischen Werkstück und Werkzeug mit der Bahn, Geschw. und Beschl. innerhalb einer gegebenen Toleranz

zeitkontinuierlich: zu jeder Zeit kann sich der Wert ändern

zeitdiskret: Abtastung des Signals zu gegebenen Zeitpunkten (bei gleichem Abtastinterval = äquidistante Abtastung)

• VPS: Steuerung ist aufgabenspezifisch. Das Programm ist durch seine Schaltung definiert. Das Programm kann nur durch Änderung der Schaltung verändert werden.
• SPS: Die Steuerung ist weitesgehend aufgabenneutral. Das Programm ist in einem Speicher abgelegt und kann durch Umprogrammierung ohne Eingriff in die Schaltung verändert werden.

• Analog:
  • + schnell
  • + zeitkontinuierlich
  • - störempfindlich
  • - Anpassung erfordert Neuentwurf
• Digital:
  • + Aufgabenneutral
  • + weniger störempfindlich
  • - zeitdiskret und wertquantisiert

• Zentr. Leitebene
• Zellen-/Linienleitebene
• Steuerungsebene

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Steuern ist das Beeinflussen eines Prozesses in der offenen Wirkungskette

Regeln ist die Beeinflussung eines Prozesses in der geschlossenen Wirkungskette

Mathematischer Begriff zur Berechnung von Zwischenwerten aufgrund von Stützstellen

Die Führungsgrößenerzeugung erhält von der NC-Datenaufbereitung folgende Informationen, die den zeitlichen Verlauf der Lageführungsgrößen vollständig bestimmen:

• die zu durchfahrenden Bahnstützstellen (Startpunkt \(P_a\), Endpunkt \(P_e\))
• die Interpolationsart (Linear-, Zirkular-, Splineinterpolation etc)
• die Bahngeschwindigkeit

Aus diesen Informationen werden durch Interpolation Zwischenwerte erzeugt. Die Zwischenwerte werden zeitdiskret interpoliert, da die Regelung auch zeitdiskret arbeitet.

• \(z = f(x,y) \rightarrow\)explizite Darstellung
• \(0 = f(x,y,z) \rightarrow\)implizite Darstellung
• \(\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_1(\lambda)\\f_2(\lambda)\\f_3(\lambda) \end{bmatrix} \rightarrow\)Parameter-Darstellung

Allgemein wird die Parameter-Darstellung benutzt. Ihre Vorteile sind:

• einfach Definition von Kurven
• beliebige Kurvenformen
• effiziente Berechnungsmöglichkeiten

Es wird die direkte Funktionsberechnung benutzt:

\(r = r(\lambda) = \begin{bmatrix} x(\lambda) \\ y(\lambda) \\ z(\lambda) \end{bmatrix}\) \(\lambda\) ist der zu steuernde Parameter, der von Anfang bis Ende monoton erhöht wird.

weitere Arten der Funktionsberechnung:

• Suchschrittverfahren
• DDA (Digital-Differential-Analyzer)

\(\vec{e_t}= \frac{dr}{ds}, \lvert \vec{e_t} \rvert = 1\)

\(\vec{e_t} = \frac{d\vec{r}}{ds} = \frac{d\vec{r}(\lambda)}{d \lambda}\frac{d \lambda}{ds} = \begin{bmatrix} \frac{dx}{d\lambda}\\\frac{dy}{d\lambda}\\\frac{dz}{d\lambda} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{(\frac{dx}{d\lambda})^2+(\frac{dy}{d\lambda})^2+(\frac{dz}{d\lambda})^2}}\)

Der erste Teil ist die einfache Ableitung, der zweite die "Normierung" auf s

Der Krümmungsvektor ist der Normalenvektor \(\vec{e_n}\) multipliziert mit der Stärke der Krümmung.

\(\vec{r''}=\frac{d^2\vec{r''(s)}}{ds^2}=\kappa \cdot \vec{e_n}\)

s ist das Integral des Betrages des Tangentenvektors:

\(s = \int\limits_{\lambda_A}^{\lambda} \lvert \frac{d\vec{r}(\lambda^*)}{d \lambda^*} \rvert d\lambda^* = \int\limits_{\lambda_A}^{\lambda} \sqrt{(\frac{dx}{d \lambda^*})^2+(\frac{dy}{d \lambda^*})^2+(\frac{dz}{d \lambda^*})^2} d\lambda^* = s(\lambda)\)

Invertierung zu \(\lambda = \lambda(s)\) ermöglicht einsetzen in Parameterdarstellung \(r(\lambda)\)

\(v_B=\frac{d s(t)}{dt}=\dot{s}(t)\)

\(a_B=\frac{d^2 s(t)}{dt^2}=\ddot{s}(t)\)

allgemeine Bahnbewegung:

• Bahn: \(\vec{r}(t)=\vec{r}(s(t))\)
• Geschw: \(\frac{d\vec{r}}{dt}= \vec{\dot{r}}= \frac{d\vec{r}(s(t))}{dt} = \frac{d\vec{r}}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = \vec{e_t} \cdot \dot{s} = \vec{e_t} \cdot v_B\)

Ausgangspunkt:

\(\vec{r}(\lambda)\) Parameterform der Bahnkurve

Ziel: 

\(\vec{r}(t)\) Darstellung der Raumkurve in Zeitabhängigkeit, bzw in der zeitdiskreten Form \(\vec{r}(kT)\) wegen der zeitdiskreten Arbeitsweise des Steuerungsrechners.

1. Bahnkurve \(s(\lambda)\) berechnen und nach \(\lambda(s)\) umstellen. Einsetzen von gewünschtem Geschwindigkeitsprofil \(s(t) = \int\limits_{0}^{t} v_B dt\) liefert \(\lambda(s(t))\)
2. Einsetzen von \(\lambda(s(t))\) in \(\vec{r}(\lambda)\) liefert \(\vec{r}(t)\). Dann muss noch diskretisiert werden

Bsp:

Bahn: \(\vec{r}(\lambda)= \begin{bmatrix} 4\lambda+3\\-4\lambda\\7\lambda-2 \end{bmatrix}\), Geschw: \(v = \alpha \cdot t\)

Tangente: \(\frac{d\vec{r}(\lambda)}{d \lambda}= \begin{bmatrix} 4\\-4\\7 \end{bmatrix}\) 

Die Bogenlänge s ergibt sich zu:

1. \(s = \int\limits_{\lambda_A}^{\lambda} \lvert \frac{d\vec{r}(\lambda)}{d \lambda} \rvert d\lambda = \int\limits_{0}^{\lambda} \sqrt{(4)^2+(-4)^2+(7)^2} d\lambda = 9\lambda \rightarrow \lambda(s) = \frac{1}{9}s\)
2. \(s(t) = \int\limits_{0}^{t} \alpha \ t \ dt = \frac{1}{2} \alpha \ t^2 \rightarrow\)Einsetzen in \(\lambda(s)\)
3. \(\lambda(t) = \frac{1}{9} \ s(t) = \frac{1}{18} \alpha \ t^2 \rightarrow\)Einsetzen in Parameterform \(\vec{r}(\lambda)\)
4. \(\vec{r}(\lambda(t))= \begin{bmatrix} 4\lambda(t)+3 \\ -4\lambda(t) \\ 7\lambda(t) -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{9}\alpha \ t^2 +3 \\ -\frac{2}{9}\alpha \ t^2 \\ \frac{7}{18}\alpha \ t^2 -2 \end{bmatrix}\)
5. Ersetzen von t durch kT

• Linearinterpolation:
  • Sekante durch 2 Stützpunkte
• Parabelinterpolation:
  • Quadratische Funktion durch 2 Stützpunkte
• Zirkularinterpolation:
  • Kreisbogensegment mit Mittelpunkt im Abstand R zu Anfangs- und Endpunkt
• Polynominterpolation:
  • n-gradiges Polynom für n+1 Stützstellen
• Splineinterpolation:
  • kubische Funktionen zwischen je 2 Stützstellen, welche an den Stützstellen bis zur zweiten Ableitung stetig zum Spline davor sind 

• + rekursive Form gut für Steuerrechner geeignet, da nur Additionen gelöst werden müssen
• - Interpolation muss in \(\Delta r\) aufteilbar sein. Dies ist zwar immer möglich, kann aber zu Rundungsfehlern führen

\(\frac{d \vec{r}}{d \lambda} = \vec{r}_E - \vec{r}_A = \vec{r}_{AE}\)

rekursive Form: \(r[k]=r[k-1]+\Delta s[kT] \ \vec{e}(t)\)

\(\vec{r}(\lambda)= \begin{bmatrix} x(\lambda)\\y(\lambda) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R \ cos(\lambda) + x_M\\R \ sin(\lambda) + y_M \end{bmatrix} = R \cdot\begin{bmatrix} cos(\lambda)\\ sin(\lambda) \end{bmatrix} + \vec{r}_M\)

mit \(R = \lvert \vec{r}_A - \vec{r}_M \rvert = \sqrt{(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2}\)

• Anfangs, End- und Scheitelpunkt

oder:

• Anfangs- und Endpunkt sowie Anfangssteigung

Splines sind kubische Funktionen zwischen je zwei Stützstellen, deren Funktion bis zur zweiten Ableitung stetig ist mit dem benachbarten Spline.

So wird gegenüber der Polynominterpolation Rechenzeit gespart (niedrigerwertige Polynome) und man kommt mit weniger Stützstellen (ca. -60% gegenüber Polynom-Interpolation) aus. Zudem können die Splines zur Laufzeit berechnet werden durch die dynamische Spline-Interpolation.

Die Stützstellen befinden sich üblicherweise an den Orten mit der größten Krümmung.

Parameterdarstellung: \(\vec{r}(\lambda)= \vec{a}_i + \vec{b}_i (\lambda - \lambda_i) + \vec{c}_i(\lambda - \lambda_i^2) + \vec{d}_i(\lambda - \lambda_i^3)\)

• Die einmalige "globale" Berechnung der Geometrie verlangt je nach Anzahl der Stützstellen viel Rechenzeit und es wir unnötig viel Speicher gebraucht. Die dynamische Berechnung zur Laufzeit spart Speicher und die Werkstückbearbeitung kann direkt begonnen werden
• Es werden für die Berechnung der Koeffizienten nur noch der aktuelle Stützpunkt sowie die drei folgenden Stützpunkte betrachtet (3 Segmente). Obwohl 3 Segmente betrachtet werden, wird die Berechnung nur für das aktuelle Segment verwandt
• Da für den linken Rand Stetigkeit bis zur 2. Ableitung verlangt wird muss der Spline des ersten Segments 4. Ordnung sein, um eine Überbestimmtheit des Systems zu vermeiden (4-3-3 Spline). Der letzte Spline ist aufgrund des rechten Rands dann ein 4-3-4 Spline.

Satzvorbereitung:

1. Betrachtung eines Abschnitts über 4 Stützstellen
2. Berechnung der Koeffizienten für das erste Segment
3. Verschiebung des Kurvenabschitts um ein Segment

Vereinfachte Annahmen:

• kontinuierlicher Regelkreis
• keine Strombegrenzung im Leistungsverstärker
• kein Spiel im Getriebe/Spindel
• keine Elastizitäten
• lineare Reibung
• ideales Messsystem

aus dem Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine ergibt sich das Motormodell:

\(u_A(t)= i_A(t) \ R_A + L_A \ \frac{d\ i_A(t)}{dt} + e_M\)

\(\rightarrow \frac{u_A(t)}{R_A}= i_A(t) + T_e \frac{d\ i_A(t)}{dt} + \frac{e_M}{R_A}\)(1)

mit \(T_e=\frac{L_A}{R_A}\)als elektrische Ersatzzeitkonstante und \(e_M= c_M \ \omega_M\)

die Momentenbilanz lautet: 

\(M_M-M_L = c_M \ i_A - M_L=J_c \frac{d \ \omega_M}{dt} \)

\(\rightarrow i_A = \frac{J_c}{c_M} \frac{d \ \omega_M}{dt} + \frac{M_L}{c_M}\)(2)

(2) in (1):

\(\frac{u_A}{c_M} = \omega_M + \frac{J_c \ R_A}{c_M^2} \frac{d \ \omega_M}{dt}+ T_e \frac{J_c \ R_A}{c_M^2} \frac{d^2 \ \omega_M}{dt^2} + \frac{R_A}{c_M^2} M_L + T_e \frac{R_A}{c_M^2} \frac{d M_L}{dt}\)

mit \(\omega_s = \frac{u_A}{c_M}\), \(T_m=\frac{J_c \ R_A}{c_M^2}\), \(\omega_L = \frac{R_A}{c_M^2} M_L\)

\(\omega_s = \omega_M + T_m \frac{d \ \omega_M}{dt}+ T_e T_m \frac{d^2 \ \omega_M}{dt^2} + \omega_L + T_e \frac{d \omega_L}{dt}\)

\(\rightarrow T_e T_m \frac{d^2 \ \omega_M}{dt^2} + T_m \frac{d \ \omega_M}{dt}+ \omega_M =\omega_s - (\omega_L + T_e \frac{d \omega_L}{dt})\)(3)

unter der Annahme \(T_e \ll T_m\) ergibt sich ein \(PT_1\):

\(T_m \frac{d \ \omega_M}{dt}+ \omega_M =\omega_s - \omega_L\)(4)

\(\omega_L=0 \rightarrow Führungsverhalten\)

\(\omega_M=0 \rightarrow Lastverhalten\)

Das Auffinden eines Regelgesetzes und die Bestimmung seiner Parameter für ein bestimmtes System nennt man Reglersynthese

Da die Strecke (Schlitten) bereits einen I-Anteil (Integrator) aufweist würde ein I-Anteil im Regler die Stabilität des Regelkreises verschlechtern.

Geschwindigkeits- und Stromregler sind dagegen im allgemeinen PI-Regler.

D-Anteile werden nicht eingesetzt, da sie Quantisierungsrauschen verstärken.

Anforderungen:

1. Stabilität
2. Schwingungsfreiheit
3. hohe Dynamik (\(G_L \approx 1\))

Auslegung anhand der Führungs-ÜF:

\(\frac{X_i(p)}{X_s(p)}=G_L(p)=\frac{G_o(p)}{1+G_o(p)}=\frac{1}{\frac{T_A}{K_V}p^2+\frac{1}{K_V}p+1}\), mit \(\frac{1}{\omega_0^2}=\frac{T_A}{K_v}\) und \(\frac{2\ D}{\omega_0}=\frac{1}{K_v}\)

wichtigste Prämisse ist die Schwingungsfreiheit. Für maximale Dynamik gilt dann:

\(D = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{K_v \ T_a}} \overset{!}{=} 1 \Rightarrow K_v = \frac{1}{4T_a}\), \(\omega_0 = \sqrt{\frac{K_v}{T_a}}\)

Antriebsverstärker:

• Proportionalglied
• lineare Übertragungsfunktion
• keine Strombegrenzungen

Messung:

• nur physikalische Transformation, daher Proportionalglied mit V=1
• kann komplett weggelassen werden im BSB

alle Proportionalglieder können zu einem Proportionalglied zusammengefasst werden

• Übertragungsglied ist stationär genau wenn die Regelabweichung bei konstant gehaltener Anregung für \(t \rightarrow \infty\) zu null wird.

Gleichgewichtsbildung \(\frac{x_i}{V_L}=G_z\)

für \(x_s=0\): \(x_i(t)= \frac{v_0}{K_v} \rightarrow\)stationäre Abweichung

Um die stationäre Genauigkeit zu verbessern kann man eine Vorsteuerung implementieren.