Mathedidaktik

Sachkompetenz:

• Inhalte verstehen, unterscheiden und mit fachlichen Begriffen beschreiben
• Zusammehänge herstellen
• Kritik

Personale Kompetenz:

• erkennen eigener Stärken und Schwächen
• Umgang mit Kritik und Erfolg
• Perspektivenwechsel
• Selbstständiges Arbeiten
• Argumentieren von Entscheidungen
• Verantwortung

Methodenkompetenz

• Zusammenhänge herstellen und herausfinden
• Anwendung von Lernstrategien
• Informationen sammeln und ordnen
• Zielorientierter Einsatz fachspezifischer Arbeitsweisen
• Begrüdung/ Überprüfung/ Formulierung von Annahmen und Argumenten
• Zeiteinteilung
• Nutzung von Lernstrategien

Soziale Kompetenz:

• Empathie
• Auf Argumente eingehen
• Konflikte lösen
• Regeln vereinbaren einhalten
• Verantwortung

(K1) Mathematisch Argumentieren:

• Fragen stellen
• Vermutungen begründet äußern
• mathematische Argumentationen entwickeln (Erläuterungen, Begründungen, Beweise)
• Lösungswege beschreiben und begründen

(K2) mathematisch Problemlösen:

• geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien anwenden
• Ergebnisse prüfen und Wege reflektieren

(K3) mathematisch Modellieren

• Situationen und Bereiche in mathematische Begriffe, Struktueren und Relationen übersetzen
• Ergebnisse interpretieren und überprüfen

(K4) mathematische Darstellungen verwenden

• verschiedene Darstellungsformen anwenden interpretieren und unterscheiden

(K5) mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

• mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen und Tabellen arbeiten und interpretieren
• mathematische Werkzeuge sinnvoll und verständig einsetzen

(K6) kommunizieren

• Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse dokumentieren und darstellen mit geeigneten Medien
• Geeignete Fachsprache verwenden

Um Verständnis von grundlegendem mathematischen Konzepten zu erreichen, Besonderheiten mathematischen Denkens zu verdeutlichen, sowie Bedeutung und Funktion der Mathematik für die Gestaltung und Erkenntnis der Welt zu erfahren.

Leitideen vereinigen Inhalte verschiedener mathematischer Sachgebiete und durchziehen das mathematische Curriculum spiralförmig

Spiralprinzip:

• Inhalte werden immer wieder aufgegriffen, ausdifferenziert und mit neuen Vorstellungen angereichert
• Beachten von Vorwissen und Vorverständnis
  • Prinzip der Fortsetzbarkeit des Vorwegnehmenden Lernens, der Vereinfachung
• Beispiel Zahlenbegriff Erweiterung

• arithmetische Inhalte; Rechnen mit Variablen; Beziehungen zwischen Zahlen und deren möglichen Operationen
• SuS lernen Leistung von Algorithmen kennen (nicht die perfekte Ausführung)
• SuS
  • nutzen sinntragende Vorstellungen des Zahlenbereichs
  • vorteilhaftes Rechnen mit Rechenregeln
    • Überschlags-/Zins-/Prozentrechnung
  • erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge
  • analysieren Lösungswege und Ergbnisse

SuS

• lernen durch vielfältige Handlungsmöglichkeiten systematisches Vergleichen, sinnvolles Runden, Abschätzen
  • verhilft zur Ausbildung geeigneten Größenvorstellungen
• nutzen Grundprinzip des Messens: Längen-/Fächen-/Volumenmessung, Winkel
• sinnvolle Einheiten
• führen Umweltmessungen durch

• Geometrische Inhalte werden thematisiert, deren Verbindungen zu arithmetischen/algebraischen Gesetzmäßigkeiten aufgezeigt
• SuS
  • schulen Raumvorstellungsvermögen
  • erkennen, beschreiben, operieren mit geometrischen Strukturen in der Umwelt, Strecken, Flächen und Körpern
  • beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit und Lagebeziehung)

• Funktionaler Zusammenhänge werden durch Datenvariation, Beobachtung und Dokumentation deutlich
• SuS
  • nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge
  • erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese in sprachlicher, tabellarischer und graphischer Form sowie als Term dar
  • analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedlicher Darstllungen funktionaler Zusammenhänge
  • lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen, antiproportionalen Zuordnungen
  • lösen Gleichungen und lineare Gleichungssysteme kalkülmäßig und algorithmisch

• zunehmende Relevanz von Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Beschreibung und Beurteilung wichtiger Lebenszusammenhänge
• SuS
  • werten graphische Darstellungen/Tabellen von statistischen Erhebungen aus
  • sammeln systematisch Daten und erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar
  • beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen
  • bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten

1. Reproduzieren: umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang

2. Zusammenhänge herstellen: umfasst das Bearbeiteb bekannter Sachverhalte, in dem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit der Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden

3. Verallgemeinern und Reflektieren: umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u.a. mit dem Ziel zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen  oder Wertungen zu gelangen

.

• orientieren sich an den Bildungsstandards des KMK für den mittleren Schulabschluss
• nehmen Bildungsstandards auf und zeigen durch Zwischenstufen wie diese erreicht werden können
• Umsetzung der Bildungsstandards
• sind schulformspezifisch

indem sie lernen

• gemeinsam mit anderen SuS mathematisches Wissen zu entwickeln und Problem zu lösen
  • Kooperationsfähigkeit als Voraussetzung für die gesellschaftliche Mitgestaltung
• Verantwortung für das eigene Lernen übernehmen und bewusst Lernstrategien einzusetzen
  • selbstgesteuertes Lernen als Voraussetzungen für lebenslanges Lernen

prozessebezogene Kompetenzen:

• argumentieren/kommunizieren: kommunizieren, präsentieren, argumentieren
• problemlösen: Probleme erfassen, erkunden und lösen
• modellieren: Modelle erstellen und nutzen
• Werkzeuge: Medien und Werkzeuge verwenden

inhaltsbezogene Kompetenzen

• Arithmetik/Algebra: mit Zahlen und Symbolen umgehen
• Funktionen: Beziehungen und Veränderungen beschreiben und erkunden
• Geometrie: ebene und räumliche Struktueren nach Maß und Form erfassen
• Stochastik: mit Daten und Zufall arbeiten

SuS teilen mathematische Sachverhalte zutreffend und verständlich mit und nutzen sie als Begründung für Behauptungen und Schlussfolgerungen

SuS

• entnehmen mathematische Infos aus Texten,Bildern und Tabellen strukturieren und bewerten sie
• erläutern mathematische Einsichten und Lösungswege mit eigenen Worten und Fachbegriffen
• vernetzen Begriffe, geben Beispiele an
• nutzen verschiedene Arten des Begründens und Überprüfens (Plausibilität, Beispiele, Argumentationsketten)
• vergleichen Lösungswege und Darstellungen

Argumentieren:

• Vorbringen sachlogischer Argumente für oder gegen etwas

Begründen:

• Formulieren einer Argumentationskette (sachlogisch, deduktiv)

Beweisen:

• Formulieren einer Argumentationskette in einer in der Mathematik üblichen Form

Das Argumentieren umfasst das Begründen und Beweisen vermuteter mathematischer Zusammenhänge durch Rückgriff auf Bekanntes und die Regeln des mathematischen Schlussfolgerns sowie das Beurteilen von Argumentationsketten

1. Überzeugen: Jemanden von der Richtigkeit einer Behauptung mit den Mitteln des logischen Schließens überzeugen

2. Zusammenhang stiften: Zeigen, wie die Wissenselemente zusammenhängen, die Gründe für die Gültigkeit einer Behauptung einsehen

• Berufung auf Autorität (Bücher, Internet, Quellen)
• Plausibilitätsargumente
  • Analogieschlüsse
  • induktives Schließen (Überprüfen von Einzelfällen)
• Wahrscheinlichkeitsargumente (Simulation, Software)
• präformale Beweise (ausgehend von repräsentativen Spezialfall, paradigmale Beispiele)
  • enaktiv (handlungsbezogen: Pizza schneiden)
  • ikonisch (Zeichnung/Modell: Kreisdiagramm)
  • symbolisch (1/3)
• formal-deduktives Schließen:
  • Beweissätze nennen, schriftlich anwenden
  • Fallunterscheidung
  • Beweise erstellen
  • vollst. Induktion

• Ist eine Menge von Aussagen (die als richtig angesehen werden) sowie Schlussweisen (die als zulässig anerkannt werden)
• Argumentationsbasis bestimmt Schrittweite und Ausführlichkeit eines Beweises
  • Problematik: Was ist als Argumentationsbasis zugelassen? Von welchem sicheren Wissen darf ausgegangen werden? Welche Begründungsform ist erforderlich?

• Präzisierung undefinierter Begriffe und benutzter Aussagen
• Hinzufügen von Definitionen und Sätzen
• Falsifizierung von fälschlicherweise als richtig angenommener Aussagen
• Bewusstmachen unzulänglicher Schlussweisen
• Erarbeitung typischer Schlussweisen

• Verifizieren: Zeigen dass eine Behauptung wahr ist
• Erklären: Verstehbar machen, warum Behauptung gilt
• Systematisieren und Vernetzen: Zusammenhänge herstellen zwischen verschiedenen Begriffen und Sätzen der Theorie
• Entdecken: Erzeugen neuer Ergebnisse
• Kommunizieren: mathematisches Wissen und Wege anderen vermitteln

Beweisen hilft, neue Probleme leichter zu lösen.

• Förderung:
  • des kritischen Denkens
  • von mathematischen Verständnis
  • axiomatischen Arbeitens
  • eines wissenschaftlich-theoretischen Verständnis
  • der Aneignung von Sätzen
• Beweisbedürfnis muss geweckt werden
• Beitrag zur Entwicklung geistiger Fähigkeiten
• Motiviert das Beweisen
• Entwicklung der sprachlich-logischen Fähigkeiten sowie des Selbstständigkeit beim Problemlösen

6 Phasen aufeinanderfolgend, können wiederholt werden.

1. Exploration einer Problemstellung und Entwicklung einer Hypothese: Mögliche Zusammenhänge müssen gesehen, beschrieben werden
2. Formulierung einer Hypothese
3. Untersuchung der Hypothese, möglicher Argumentationsverknüpfungen: konkrete Arbeit am Beweis, Voraussetzungen benennen/untersuchen, Infos sammeln, Beweisidee finden
4. Auswahl von Argumenten und ihre Verknüpfung in einer Kette von Deduktionsschlüssen
5. Formulierung des Beweises
6. Ausarbeitung zu einem formalen Beweis

Für die Schule auf 3 Schritte reduziert

1. Finden einer Vermutung
2. Generieren einer Beweisidee
3. Formulierung eines Beweises

These 1: Mathematische Beweise verlangen eigenständiges Arbeiten der SuS

These 2: Beweise müssen auf einer breiten Basis aus Inhalten und Argumentationsmustern erfolgen

These 3: Mathematische Beweise in der Schule müssen das Interesse von SuS wecken

These 4: Begründung/Beweisen von Aussagen muss Grundhaltung im Matheunterricht werden

SuS

• analysieren und beurteilen Aussagen
• überprüfen und bewerten Lösungswege und Ergebnisse
• vergleichen Lösungswege und Problemlösestrategien

Reflexion und Reflexionswissen - Prozess und Produkt

Reflexionswissen: Wissen über Zusammenhänge, Beziehungen, Einschätzungen und Bewertungen

Reflexion: Meint das Nachdenken über Zusammenhänge, die nicht unmittelbar gegeben sind.

Lernpsychologische Perspektive

• Nachdenken über innere und äußere Zusammenhänge der Sache
• Beispiel: Atomreaktover detoniert morgen, die berechnete Wahrscheinlichkeit nützt mir nichts. Was sagt uns überhaupt die Wahrscheinlichkeit?

Metakognitive Perspektive:

• Nachdenken über das eigene Denken
• Beispiel: 629 SuS, 12,33 Busse auf 12 abgerundet, Ist mein Vorgehen sinnvoll?

Epistemologische Perspektive:

• Nachdenken über die Grundauffassungen der Mathematik

Bildungstheoretische Perspektive:

• Kommunikationsfähigkeit mit Experten
• Bildungsziel: Mündigkeit

Für mündige Bürger ist es wichtig, mit Experten zu kommunizieren, die richtigen Fragen zu stellen und die Antworten der Experten verstehen und bewerten zu können.

Eine Kommunikationsfähigkeit sollte deswegen zum Orientierungsprinzip für die Auswahl von Inhalten eines allgemeinbildenden Unterricht werden.

Fischers 3 fachbezogenen Kompetenzen

1. Grundwissen: Begriffe, Konzepte, Vorstellungen und Darstellungsformen
2. Operatives Wissen und Können: Handlungswissen/-können zur Problemlösung und zur Generierung neues Wissens
3. Reflexion(swissen): Möglichkeiten, Grenzen und Bedeutung von Begriffen, Konzepten und Methoden

Experten sind in allen drei Bereichen kompetent. Mündige Laien müssen kompetent sein in Grundwissen (für die Verständigung mit Experten) und Reflexion(swissen)( für die Beurteilung der Expertisen)

Für einen auf mathematischen Allgemeinbildung abzielenden Unterricht ergeben sich daraus gegenüber dem traditionellen Mathematikunterricht zwei Forderungen

• Reduktion der Ansprüche in Bezug auf Operieren können als Bildungsziel
• Erhöhung der Ansprüche in Bezug auf Reflexion

Grundwissen:

• Begriff(Definition) des arithmetischen Mittel als Modellierung von Durchschnitt kennen
• wichtige Eigenschaften (metrische Daten etc.) und Anwendungsgebiete des arithmetischen Mittel kennen

Operatives Wissen und Können

• arithmetisches Mittel aus einer Liste von Daten (Häufigkeitstabellen) berechnen können

Reflexion(swissen)

• Nachdenken, warum man eine Datenliste durch das arithmetische Mittel repräsentieren will
• Nachdenken, ob arithemetisches Mittel geeignetes Durchschnittsmaß für bestimmte Bereiche ist oder nicht

Reflexionswissen ist

• Fähigkeit zu bewerten
• Erkennen von Zusammenhängen
• urteilen zu können
• Gewichtung von Ergebnissen
• Prüfen (des Vorgehens) auf Plausibilität
• Urteilen über Anwendbarkeit

mathematischorientierte Reflexion:

• Begutachtung, Veränderung der Rechnung nach der Kalkülebene
• Allgemeine Fragen
  • Korrekte Durchführung?
  • Wieso gilt der Satz?
  • Wo  Denkfehler?
  • Welche Vorstellungen von mathematischen Begriffen

modellorientierte Reflexion

• Lebenswichtige Fragen verstehen und beantworten
• Bedeutung, Qualität, Grenzen und Angemessenheit des Modells
• Allgemeine Fragen:
  • Modell angemessen für das Problem?
  • Vollständigkeit und Richtigkeit des Modells?

Kontextorientierte Reflexion:

• Lässt Rahmenbedingungen einer Expertise einschätzen
• wichtig für Kommunikationsfähigkeit
• Allgemeine Fragen
  • Warum Problem/Kontext mit Mathe lösen? Vorteile, Nachteile?
  • Was passiert mit dem Kontext durch die Mathematisierung?
  • Welche Rolle spielen mathematische Modelle für den Kontext?

Lebensweltorientierte Reflexion:

• Sinn-Diskussionen zur Anregung anderer Reflexionsarten
• Allgemeine Fragen
  • Wichtigkeit des mathematische Inhalts bei realitätsnahen Problembewältigung?
  • Welchen gesellschaftlichen Nutzen, Bedeutung hat dieser mathematischer Inhalt?
  •  

mathe. Reflexion: Hast du richtig gerechnet? Rechnung sinnvoll?

modell. Reflexion: Kannst du die Oberfläche deiner Haut einer mathematischen Figur zuordnen?

kontext. Reflexion: Welchen Nutzen hat es zu wissen wie groß die Oberfläche ist?

lebenswelt. Reflexion: Hilft die Info zur Herstellung von Feuchtigkeitscremes?