Mathedidaktik

^{1.binomische Formel: \((a+b)^2= a^2+2ab+b^2 \)}

^{2. binomische Formel:\((a-b)^2= a^2-2ab+b^2 \)}

^{3. binomische Formel\((a+b)(a-b)= a^2-b^2 \)}

\(1. Schritt: x^2+px = q\)

\(\frac{p}{4} = d\)

\(2. Schritt: q+4*(\frac{p}{4})^2 = c \)

\(4. Schritt: \sqrt{c}\)

\(5. Schritt: \sqrt{c}=d+x+d \)

Nun nach x auflösen.U

Um Quadratische Ergänzung zu x²+8x=65 zu finden folgende Schritte zur geometrischen Zeichnung

1. Quadrat mit den Seitenlängen x cm (x²)
2. An jede Seite Rechteecke der Seitenlänge x cm und der Seitenbreite 8/4 hinzufügen (8x)
3. Fläche dieser Figur soll nun  65 cm² betragen
4. Um Quadrat zu ergänzen an jeder Ecke neues Quadrat von 4cm² dranhängen (p/4)²
5. Flächeninhalt des kompletten Quadrates beträgt: 65cm²+4*4cm²=81cm²
6. Seitenlängen des kompletten Quadrates beträgt 9 cm = 2+x+2 => x=5

• Rechenregeln werden oft schematisch und dabei in vielen Fällen falsch angewendet
• Inhaltliches Verständnis wird nicht in ausreichendem Maßen herausgebildet
• Konsequenzen
  • Betonung der Verständnisgrundlagen => EIS Konzept
  • Konzentration auf das Wesentliche: einfache Brüche

Maßzahlaspekt: Bruchzahlen zur Bezeichnung von Größen

Relationsaspekt: Durch Bruchzahlen werden Beziehungen zwischen zwei Größen derselben Art beschrieben. Beispiel: Fleisch besteht zu 2/3 aus Wasser

Operatoraspekt: Mit Hilfe von bruchzahlen werden auf Größen anzuwendende multiplikative Rechenanweisungen angegeben: Nimm 2/3 von 3/8 l Sahne

Skalenwertaspekt: Bruchzahlen dienen zur Bezeichnung von Stellen auf einer Skala (Wasserstand)

Quotientenaspekt: Bruchzahlen dienen zur Angabe von Quotienten (Verhältnissen) aus naturlichen Zahlen bzw. aus Größen (Maßstab, Mischungsverhältnis)

• (1)Bruch als Teil eines Ganzen
  • Kreisdiagramm (Torte, Pizza, Uhr)
  • Rechteckdiagramm (Schokolade)
  • Strecken (Zahlenstrahl)
  • vielfältige Vorstellungen von Bruchzahlen werden Hervorgerufen (EIS)
  • Vorstellungen zu sprachlichen und symbolischen Beschreibungen entwickeln
• (2)Bruch als Teil mehrer Ganzer
  • mehrere Ganze in gleiche Teile teilen

Beispiel: 3/4 dm bedeutet:

• (1)Teile 1 dm in vier Teile und nimm 3 davon
• (2) Teile 3dm in vier Teile und nimm einen davon

• Größenkonzept
  • von konkreten Größen zu Brüchen
  • BSP: Der Bäcker verkauft 1 halbes Brot. Worauf muss er beim Teilen achten?
  • Positiv:
    • Nähe zur Anwendung
    • Addition und Subtraktion lassen sich sehr gut veranschaulichen
  • Negativ:
    • Probleme bei der Multiplikation und Division
• Äquivalenzkonzept:
  • Klassenbildung mithilfe von Äquivalenzrelationen (Quotientengleichheit)
  • Positiv:
    • wichtig für den fachwissenschaftlichen HIntergrund
      • Zusammenfassung von Brüchen zu gebrochenen Zahlen, für die Zuordnung zu Punkten des Zahlenstrahls sowie für das Erweitern und Kürzen
    • Einordnung des Verhältnisses des Bruches
  • Negativ
    • Definition der Bruchzahlen und Rechenoperationen ohne Schülermotivation und sehr formal
    • keine Anschaulische Vorstellung von Bruchzahlen und fehlende Verknüpfung
    • keine anknüpfung an das Vorwissen
• Operatorkonzept
  • Operatoren bzw. Funktionen auf etwas angewendet weisen der Zahl bzw. Größe, auf die sie angewendet werden, eine neue Zahl bzw. Größe zu
  • BSP: 2/3 von 6 kg sind 4 kg
    • 2/3 von ordnet der Größe 6 kg die Größe 4kg zu
  • Konkretisierung des Operators durch eine Maschen
    • Eingabe x [*2/3] Ausgabe (2/3)x
  • Probleme beim Operatorkonzept
    • Reihenfolge Multiplikation vor Addition
    • nicht an Vorwissen angeknüpft
    • Erweitern und Kürzen wenig anschaulisch
• Gleichungskonzept
  • Bruch a/b entspricht dem Wunsch nach Lösbarkeit der Gleihung b*x=a
  • algebraische Prinzip nach Freudenthal
    • Sollen 7/3 und 3/5 addiert werden:
      • a) 3x=7     und      b)5y=3 , a) beide Seiten *5, b) beide Seiten *3
      • a)15x=25 und 15y=9 => 15(x+y)=44
  • Nachteile
    • Einführung formal
    • Kenntnisse der Gleichungslehre kommen erst in der 7. Klasse vor
    • Belastung für die spätere Behandlung der Gleichungslehre

Tätigkeiten auf enaktiver Ebene

• Herstellen und Einstellen von Bruchteilen (Kreisscheibe und Uhren)
• Arbeit mit Nagelbrett: SuS umspannen mit Gummiringen Figuren, die wieder mit Gummieringen auf verschiedene Weise halbiert, gedrittelt oder geviertelt werden
• Falten von Blättern

Tätigkeiten auf ikonischer Ebene (an Kreisen, Rechtecken, am Zahlenstrahl usw.)

• Ablesen an vorgegebenen Figuren
• Markieren/Zeichnen von unvollständigen Figuren
• Gegeben mehrere Figuren, Fragen welche genau den Bruch a/b angibt

Einfache rechnerische Tätigkeiten: Bruchteile von Größen (Längen, Gewichte, Zeit etc) bestimmen

• Wieviel cm sind 1/4m?

• Kürzen ist das Herausnehmen insgesamt wirkungsloser Operatorpaare

• Erweitern ist das Einfügen insgesamt wirkungsloser Operatorpaare

• ikonisch gesehen können SuS erkennen, dass verschiedene Brüche denselben "Wert" haben (z.B. Papierfalten)

• Erweiterte/gekürzte Brüche haben selben Wert auf dem Zahlenstrahl

• zunächst einfache Vergleiche und dabei auf anschaulische Vorstelunngen zurückgreifen.
  • Spezialfälle: (Ikonische Darstellung)
    • gleiche Nenner
    • gleiche Zähler
  • Flächenvergleiche auch bei anderen einfach Brüchen (Ikonische Darstellung)
  • Differenzen zu ganzen Zahlen betrachten
    • \( {4 \over 5}< {6 \over 7}\) , denn bei 4/5 fehlt 1/5 zur 1, bei 6/7 fehlt nur 1/7 zur 1
  • Vergleichen mit besonders markanten Brüchen (Ikonische Darstellung)
    • \( {5 \over 8}> {2 \over 5}\), denn 5/8 ist größer als 1/2 und 2/5 ist kleiner als 1/2
• Verallgemeinerung: Brüche vergleichen durch Erweitern auf gemeinsamen Nenner

• SuS mit einfachen Brüchen rechnen und dabei anschaulich Vorgehen, wichtig dabei, dass SuS erkennen, dass viele Aufgaben ohne Kalküle sich lösen lassen
• Lösungskalküle nach inhaltlichem und anschaulichen Bearbeiten anwenden
• Addition und Subtraktion
  • gleicher Nenner
    • Quasikardinales Vorgehen: Der durch den Nenner gegebene Zeil des Ganzen wird als Einheit (Tortenstück), die Zähler werden als Anzahlen aufgefasst
  • gemischte Nenner
    • Uhrenmodell und Rechtecke        

Behandelt Art und Form wie eine Aufgabe formuliert wird.

Beinhaltet den Zusammenhang zwischen AUfgabenstellung und Antwortformat

Antwortformat kann

• offen sein: Beweise, schriftliche Begründungen, Zeichnungen
• halboffene: Mischung aus offen und gebunden. Probanden werden Ansätze gegeben, aus denen er wählen muss und diese erweitert
• gebunden: Multiple-Choice- Aufgaben

• Aufgabentyp charakterisiert die inhaltlichen Anforderungen und Kompetenzen, werden durch Aufgabenaspekte beschrieben
• Aufgabenaspekte werden durch eine Aufgabenanalyse ermittelt
  • rationale Aufgabenanalyse untersucht aufgrund normativer Erwartungen, die idealtypischen Lösungsverfahren und -muster
  • empirische Aufgabenanalyse: anhand von Antwortformaten von Probanden untersucht und empirisch erhebt
  • Ziel einer Aufgabenanalyse ist es, Erkenntnisse über die Fähigkeiten und das Vorwissen, welches die SuS benötigen, um eine Aufgabe zu lösen, zu erlangen

• gehört zum Themenbereich Geometrie: Streckenberechnung von Raumdiagonalen
• Vorwissen: Wurzel-/Variablenbegriff, geometrische Figuren

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Problemlöseaspekt: Mathe als Strategie und Problemlösefähigkeit

Formaler Aspekt: Mathe als Überkulturelle Sprache, gezeichnet durch Logik, formale Strenge und präzise Mathematische Fachsprache (Beweisen, Herstellen von Mustern und Strukturen)

Anwendungsaspekt: Mathe als Werkzeug für den Alltagsbezug und das Modellieren

Operationsaspekt: Mathe zum Rechnen (Eindeutigkeit), Zahlen, Formeln und Figuren

Kognitiveraspekt: Mathe als Logik und Abstraktionswissenschaft

Matheunterricht wird durch 3 Grunderfahrungen geprägt, die den SuS vermittelt werden müssen (wechselseite Beziehung zwischen 3 GE)

Alltagsbezug: Mathematik als Anwendung

• Mathematik als Werkzeug um Erscheinungen der Welt aus Natur, Gesellschaft, Kultur, Beruf und Arbeit in einer spezifischen Weise wahrzunehmen und zu verstehen
• Mathematik als nützliche Disziplin erfahren: Um Alltagsbezügliche Modelle entwerfen zu können bedarf es mathematischer Kenntnisse
• Beispiel:
  • Bürgerliches Rechnen (Zinsrechnung etc.) denn Aufklärung ist Bürgerrecht/-pflicht
  • Beschreiben der physikalischen Welt/Bedeutung (Fallgesetze etc.)
  • Geometrie (Raumanschauung)

Innermathematisches: Mathematik als Struktur

• Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbole, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen und als dedukt geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen
• Beispiel:
  • Irrationalität: Beweis
  • Primzahlen: Beweis, dass es unendlich viele gibt
  • Geometrie: Pythagoras

Problemlösen: Mathematik als kreatives/interlektuelles Handlungsfeld

• Mathematik als Mittel zum Erwerb von auch über die Mathematik hinausgehenden, insbesondere heuristischen Fähigkeiten (überfachliche Kompetenzen)
• Mathematik als Schule des Denkens kennenlernen
• Bewusste Nutzung heuristischer Strategien
• Reflexion, Bewerten und Argumentieren nötig
• Produktiver Umgang mit Fehlern, Prozess des Problemlösens und kreativ sein
• Beispiele:
  • Skizze eines Raumes
  • Verschiedene Anwendungen, verschiede Anforderungen

Kreativ sein/schöpferisches Tätigsein:

• Beobachten, Zusammenhänge erstellen, Herstellen von Figuren/Situationen, Schematisieren komplexer Situationen, Klassifizieren, Anordnen, Umstrukturieren, Analyse und Synthese, Formulieren, Entwerfen, Alternativen

Argumentieren (Beweisen):

• Begriffe abgrenzen/definieren vergleichen, Lösungswege/Beweise analysieren, Kontext beachten, Behauptungen anzweifeln, Fallunterscheidung

Mathematisieren (Modellieren):

• Schematisieren, Idealisieren, Interpretieren, beschreiben/sammeln/ordnen und Zusammenhang von Daten, Lösen, Fragen

Formalisieren:

• Übertragen/Unterscheiden von Sachverhalten des Gegenstands- und Zeichenbereichs, Algorithmen, Handhaben von Variablen/Termen und Gleichungen

Umfasst die Fähigkeit

• die Rolle der Mathematik in der Welt zu erkennen
• mit anderen über mathematische Fragestellungen zu kommunzieren (eigene/andere Ideen präsentieren, begründen und aufzunehmen)
• komplexe Probleme zu strukturieren sowie Modelle zu bilden und nutzen

Bildungsstandards sind abschlussbezogene Regelstandards, sie greifen allgemeine Bildungsziele auf un legen fest, welche Kompetenzen SuS bis zu einem bestimmten Zeitpunkt ihres Bildungsweges erworben haben sollen

Bildungsstandards schaffen Qualität durch Formulierung verbindlicher Kompetenzen, inhaltlicher Leitideen und Anforderungsbereiche

Sachkompetenz:

• Inhalte verstehen, unterscheiden und mit fachlichen Begriffen beschreiben
• Zusammehänge herstellen
• Kritik

Personale Kompetenz:

• erkennen eigener Stärken und Schwächen
• Umgang mit Kritik und Erfolg
• Perspektivenwechsel
• Selbstständiges Arbeiten
• Argumentieren von Entscheidungen
• Verantwortung

Methodenkompetenz

• Zusammenhänge herstellen und herausfinden
• Anwendung von Lernstrategien
• Informationen sammeln und ordnen
• Zielorientierter Einsatz fachspezifischer Arbeitsweisen
• Begrüdung/ Überprüfung/ Formulierung von Annahmen und Argumenten
• Zeiteinteilung
• Nutzung von Lernstrategien

Soziale Kompetenz:

• Empathie
• Auf Argumente eingehen
• Konflikte lösen
• Regeln vereinbaren einhalten
• Verantwortung

(K1) Mathematisch Argumentieren:

• Fragen stellen
• Vermutungen begründet äußern
• mathematische Argumentationen entwickeln (Erläuterungen, Begründungen, Beweise)
• Lösungswege beschreiben und begründen

(K2) mathematisch Problemlösen:

• geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien anwenden
• Ergebnisse prüfen und Wege reflektieren

(K3) mathematisch Modellieren

• Situationen und Bereiche in mathematische Begriffe, Struktueren und Relationen übersetzen
• Ergebnisse interpretieren und überprüfen

(K4) mathematische Darstellungen verwenden

• verschiedene Darstellungsformen anwenden interpretieren und unterscheiden

(K5) mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

• mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen und Tabellen arbeiten und interpretieren
• mathematische Werkzeuge sinnvoll und verständig einsetzen

(K6) kommunizieren

• Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse dokumentieren und darstellen mit geeigneten Medien
• Geeignete Fachsprache verwenden

Um Verständnis von grundlegendem mathematischen Konzepten zu erreichen, Besonderheiten mathematischen Denkens zu verdeutlichen, sowie Bedeutung und Funktion der Mathematik für die Gestaltung und Erkenntnis der Welt zu erfahren.

Leitideen vereinigen Inhalte verschiedener mathematischer Sachgebiete und durchziehen das mathematische Curriculum spiralförmig

Spiralprinzip:

• Inhalte werden immer wieder aufgegriffen, ausdifferenziert und mit neuen Vorstellungen angereichert
• Beachten von Vorwissen und Vorverständnis
  • Prinzip der Fortsetzbarkeit des Vorwegnehmenden Lernens, der Vereinfachung
• Beispiel Zahlenbegriff Erweiterung

• arithmetische Inhalte; Rechnen mit Variablen; Beziehungen zwischen Zahlen und deren möglichen Operationen
• SuS lernen Leistung von Algorithmen kennen (nicht die perfekte Ausführung)
• SuS
  • nutzen sinntragende Vorstellungen des Zahlenbereichs
  • vorteilhaftes Rechnen mit Rechenregeln
    • Überschlags-/Zins-/Prozentrechnung
  • erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge
  • analysieren Lösungswege und Ergbnisse

SuS

• lernen durch vielfältige Handlungsmöglichkeiten systematisches Vergleichen, sinnvolles Runden, Abschätzen
  • verhilft zur Ausbildung geeigneten Größenvorstellungen
• nutzen Grundprinzip des Messens: Längen-/Fächen-/Volumenmessung, Winkel
• sinnvolle Einheiten
• führen Umweltmessungen durch

• Geometrische Inhalte werden thematisiert, deren Verbindungen zu arithmetischen/algebraischen Gesetzmäßigkeiten aufgezeigt
• SuS
  • schulen Raumvorstellungsvermögen
  • erkennen, beschreiben, operieren mit geometrischen Strukturen in der Umwelt, Strecken, Flächen und Körpern
  • beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit und Lagebeziehung)

• Funktionaler Zusammenhänge werden durch Datenvariation, Beobachtung und Dokumentation deutlich
• SuS
  • nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge
  • erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese in sprachlicher, tabellarischer und graphischer Form sowie als Term dar
  • analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedlicher Darstllungen funktionaler Zusammenhänge
  • lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen, antiproportionalen Zuordnungen
  • lösen Gleichungen und lineare Gleichungssysteme kalkülmäßig und algorithmisch

• zunehmende Relevanz von Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Beschreibung und Beurteilung wichtiger Lebenszusammenhänge
• SuS
  • werten graphische Darstellungen/Tabellen von statistischen Erhebungen aus
  • sammeln systematisch Daten und erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar
  • beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen
  • bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten