Mathedidaktik

Definition:

• Beschreiben Beziehung zwischen Mathematik, Individuum und Realität
• Verständnis der Schüler von Mathematik
• Basis auf die aufgebaut wird

Verwendung

• Erfragen der Vorstellungen und des Vorwissens
• Notwendigkeit zur Kommunikation
• Begriffen einen Sinn geben

.

Zahl, Term, Gleichung, und Funktionen sind  inhaltsziel des Algebraunterrichtes.

• Grundlegende Vorstellungen/Einsichten erarbeiten
  • Zahlenbegriff entwickeln
    • Rechnen stößt an Grenzen, daher wird Zahlenbereich schrittweise erweitert
• Rechenregeln erkennen und sinnvoll anwenden
  • Erhalt der Rechenregeln (Permanenzprinzip)

• Als Ausdrucksmittel kennen lernen
• korrekte Anwendung, Kommunikation, Argumentation
• Zusammenhänge beschreiben und verstehen
• Vorteil: knapperere übersichtlichere kontextfreie Darstellung "Platzhalter"
• ermöglichen regelhaftes operieren

• Gegenstandsaspekt: Variable als nicht näher bestimmbare Zahl einsetzen
  • BSP: Ich denke mir eine Zahl, verdopple diese, vermehre das Ergebnis um eins und er halte Neun
• Einsetzungsaspekt: Variable als Platzhalter (z.B. für Zahlen)
  • BSP: FÜr welche x=1,..,6 ist 2x+3=11 wahr? Tabelle
• Kalkülaspekt (Rechenaspekt): Variable als Symbol, mit dem nach festgesetzen Regeln gerechnet werden kann
  • BSP: 3x+8=26 lösen

Jede Zahl und Variable ist ein Term

Ein Term kan aus einer Reihe von Variablen und oder Zahlen bestehen, daher gehört ein Term nicht unbedingt zu den Variablen, aber umgekehrt.

Verbal: Sätze, Aufgabestellungen

Symbolisch: Aus Symbolen wie Punkte zB ein Schema erkennen

Numerisch: Rechenpyramide

Visuell: Symbolisch und Numerisch

Verschiedene Darstellungen können unterschiedliche Aspekte hervorheben

Verständnis vertiefen

Individuelle Präferenzen

• Variable
  • Gegenstandsaspekt: Zahl
  • Einsetzungsaspekt: Platzhalter (Leerstelle)
  • Kalkülaspekt: Zeichen
• Term: (x+y)/2
  • Gegenstandsaspekt: nicht näherbestimmbare Zahl
  • Einsetzungsaspekt: Zahlform die in Zahl übergeht, wenn man für x,y Zahlen einsetzt
  • Kalkülaspekt: Zeichenreihe (Umformung)
• Gleichung x+y=6
  • Gegenstandsaspekt: Aussage über bekannte und unbekannte Zahlen
  • Einsetzungsaspekt: Aussageform die wahr oder falsch ist und für die x und y Zahlen eingesetzt werden
  • Kalkülaspekt: Zeichenreihe (Umformung)

Betonung des Gegenstandsaspekts

• Lösen durch inhaltliche Überlegungen: Gesuchte Zahle für die gilt: 2(x+1)=8
  • Da das doppelte von x+1, 8 ist: x+1=4
  • x um eins mehr als 4: x=3

Betonung des Einsetzungsaspekt:

• Gesuchte Zahl muss die folgende Aussagenform durch Einsetzung in den Platzhalter x in eine wahre Aussage überführen

Betonung des Kalkülaspekt

• Gesuchte Zahl x muss folgende Gleichung genügen 2(x+1)=8
• Gleichung durch Anwendung von Regeln umwandeln

Bereichsaspekt: Variable als beliebige Zahl aus dem Bereich. Jede Zahl des Bereichs wird repräsentiert

Simultanaspekt: Alle Zahlen aus dem bereich werden gleichzeitig repräsentiert

Veränderlichkeitsaspekt: Alle Zahlen aus dem Bereich werden in zeitlichen Aufeinanderfolgen repräsentiert (Änderungsverhalten)

• Eng verflochten mit Zahlen, Termen, Funktionen
• verwendet um
  • Rechengesetze zu formulieren
  • Zusammenhänge zwischen Größen beschreiben zu können
  • Terme umzuformen
  • Probleme formulieren und lsen
  • Funktionen und Kurven beschreiben, charakterisieren

Aspekte: Gleichung als...

• Beziehung zwischen Variablen
• Verpackung der Lösung
• Schnittstellen der Graphen der linken und rechten Seite

Lösungsmethoden:

• systematisches Probieren (Tabellen)
• Graphisches Lösen (Schnittpunkt ablesen)
• Erkennen von "Gegenaufgaben" (Umkehroperationen) 5+x=7 => x=7-5
• Äquivalenzumforung  (Lösungsmenge unverändert)
  • Waagenmodell

Funktionsbegriff schwer zugänglich, daher wird er stufenweise entwickelt

1. Stufe der Phänomene: Verwendung konkreter Funktionen
2. Stufe des inhaltlichen Verständnisses: Erkennen von Eigenschaften spezieller Funktionen und ihre Verwendung zur Problemlösung
3. Stufe der integrierten Begriffverständnisses: Erkennen von charakterisierenden Eigenschaften, etwa des exponentiellen Wachstums
4. Stufe des formalen Begriffverständnisses: Funktionen werden zu Objekten des Operierens, sie werden klassifiziert, addiert, abgeleitet etc.

Lin Gleichung:

• einfache Aussage über 2 Terme
• Berechnung von etwas (Umstellung nach x)
• Form y=ax

lin. Funktion

• Abbildung (Zuordnungsvorschau)
• Gewisse Bedingungen
• ordnet einem x-Wert genau einen y-Wert zu
• Form y=mx+b
• Produkt im Koordinatensystem

• Zuordnungsaspekt: Zusammenhänge
  • Eine Größe wird einer anderen zugeordnet, d.h. eine ist abhängig von der anderen.
  • BSP: Abhängigkeit des Umfangs vom Durchmesser eines Kreises
• Kovariationsaspekt: Änderungsverhalten
  • Wie sich Änderung einer Größe auf die abhängige Größe auswirken
  • BSP. Was ist wenn x steigt? Steigt dann auch y?, Ableitung
• Objektaspekt: Sicht auf Funktion als Ganzes
  • Gegebener Zusammenhang als Ganzes sehen. Nicht einzelne Wertpaare, sondern Menge aller Wertpaare von Interesse
  • BSP: Graph (Monotonie), Gemeinsamkeiten von Funktionen

.

Aspekte:

• Zusammenhänge geoemtrisch darstellen und veranschaulichen
• geometrische Zusammenhänge algebraisch analytisch untersuchen

Probleme

• Zusammenhang tritt in den Hintergrund eventuell
• analytische Beschreibung zu früh

^{1.binomische Formel: \((a+b)^2= a^2+2ab+b^2 \)}

^{2. binomische Formel:\((a-b)^2= a^2-2ab+b^2 \)}

^{3. binomische Formel\((a+b)(a-b)= a^2-b^2 \)}

\(1. Schritt: x^2+px = q\)

\(\frac{p}{4} = d\)

\(2. Schritt: q+4*(\frac{p}{4})^2 = c \)

\(4. Schritt: \sqrt{c}\)

\(5. Schritt: \sqrt{c}=d+x+d \)

Nun nach x auflösen.U

Um Quadratische Ergänzung zu x²+8x=65 zu finden folgende Schritte zur geometrischen Zeichnung

1. Quadrat mit den Seitenlängen x cm (x²)
2. An jede Seite Rechteecke der Seitenlänge x cm und der Seitenbreite 8/4 hinzufügen (8x)
3. Fläche dieser Figur soll nun  65 cm² betragen
4. Um Quadrat zu ergänzen an jeder Ecke neues Quadrat von 4cm² dranhängen (p/4)²
5. Flächeninhalt des kompletten Quadrates beträgt: 65cm²+4*4cm²=81cm²
6. Seitenlängen des kompletten Quadrates beträgt 9 cm = 2+x+2 => x=5

• Rechenregeln werden oft schematisch und dabei in vielen Fällen falsch angewendet
• Inhaltliches Verständnis wird nicht in ausreichendem Maßen herausgebildet
• Konsequenzen
  • Betonung der Verständnisgrundlagen => EIS Konzept
  • Konzentration auf das Wesentliche: einfache Brüche

Maßzahlaspekt: Bruchzahlen zur Bezeichnung von Größen

Relationsaspekt: Durch Bruchzahlen werden Beziehungen zwischen zwei Größen derselben Art beschrieben. Beispiel: Fleisch besteht zu 2/3 aus Wasser

Operatoraspekt: Mit Hilfe von bruchzahlen werden auf Größen anzuwendende multiplikative Rechenanweisungen angegeben: Nimm 2/3 von 3/8 l Sahne

Skalenwertaspekt: Bruchzahlen dienen zur Bezeichnung von Stellen auf einer Skala (Wasserstand)

Quotientenaspekt: Bruchzahlen dienen zur Angabe von Quotienten (Verhältnissen) aus naturlichen Zahlen bzw. aus Größen (Maßstab, Mischungsverhältnis)

• (1)Bruch als Teil eines Ganzen
  • Kreisdiagramm (Torte, Pizza, Uhr)
  • Rechteckdiagramm (Schokolade)
  • Strecken (Zahlenstrahl)
  • vielfältige Vorstellungen von Bruchzahlen werden Hervorgerufen (EIS)
  • Vorstellungen zu sprachlichen und symbolischen Beschreibungen entwickeln
• (2)Bruch als Teil mehrer Ganzer
  • mehrere Ganze in gleiche Teile teilen

Beispiel: 3/4 dm bedeutet:

• (1)Teile 1 dm in vier Teile und nimm 3 davon
• (2) Teile 3dm in vier Teile und nimm einen davon

• Größenkonzept
  • von konkreten Größen zu Brüchen
  • BSP: Der Bäcker verkauft 1 halbes Brot. Worauf muss er beim Teilen achten?
  • Positiv:
    • Nähe zur Anwendung
    • Addition und Subtraktion lassen sich sehr gut veranschaulichen
  • Negativ:
    • Probleme bei der Multiplikation und Division
• Äquivalenzkonzept:
  • Klassenbildung mithilfe von Äquivalenzrelationen (Quotientengleichheit)
  • Positiv:
    • wichtig für den fachwissenschaftlichen HIntergrund
      • Zusammenfassung von Brüchen zu gebrochenen Zahlen, für die Zuordnung zu Punkten des Zahlenstrahls sowie für das Erweitern und Kürzen
    • Einordnung des Verhältnisses des Bruches
  • Negativ
    • Definition der Bruchzahlen und Rechenoperationen ohne Schülermotivation und sehr formal
    • keine Anschaulische Vorstellung von Bruchzahlen und fehlende Verknüpfung
    • keine anknüpfung an das Vorwissen
• Operatorkonzept
  • Operatoren bzw. Funktionen auf etwas angewendet weisen der Zahl bzw. Größe, auf die sie angewendet werden, eine neue Zahl bzw. Größe zu
  • BSP: 2/3 von 6 kg sind 4 kg
    • 2/3 von ordnet der Größe 6 kg die Größe 4kg zu
  • Konkretisierung des Operators durch eine Maschen
    • Eingabe x [*2/3] Ausgabe (2/3)x
  • Probleme beim Operatorkonzept
    • Reihenfolge Multiplikation vor Addition
    • nicht an Vorwissen angeknüpft
    • Erweitern und Kürzen wenig anschaulisch
• Gleichungskonzept
  • Bruch a/b entspricht dem Wunsch nach Lösbarkeit der Gleihung b*x=a
  • algebraische Prinzip nach Freudenthal
    • Sollen 7/3 und 3/5 addiert werden:
      • a) 3x=7     und      b)5y=3 , a) beide Seiten *5, b) beide Seiten *3
      • a)15x=25 und 15y=9 => 15(x+y)=44
  • Nachteile
    • Einführung formal
    • Kenntnisse der Gleichungslehre kommen erst in der 7. Klasse vor
    • Belastung für die spätere Behandlung der Gleichungslehre

Tätigkeiten auf enaktiver Ebene

• Herstellen und Einstellen von Bruchteilen (Kreisscheibe und Uhren)
• Arbeit mit Nagelbrett: SuS umspannen mit Gummiringen Figuren, die wieder mit Gummieringen auf verschiedene Weise halbiert, gedrittelt oder geviertelt werden
• Falten von Blättern

Tätigkeiten auf ikonischer Ebene (an Kreisen, Rechtecken, am Zahlenstrahl usw.)

• Ablesen an vorgegebenen Figuren
• Markieren/Zeichnen von unvollständigen Figuren
• Gegeben mehrere Figuren, Fragen welche genau den Bruch a/b angibt

Einfache rechnerische Tätigkeiten: Bruchteile von Größen (Längen, Gewichte, Zeit etc) bestimmen

• Wieviel cm sind 1/4m?

• Kürzen ist das Herausnehmen insgesamt wirkungsloser Operatorpaare

• Erweitern ist das Einfügen insgesamt wirkungsloser Operatorpaare

• ikonisch gesehen können SuS erkennen, dass verschiedene Brüche denselben "Wert" haben (z.B. Papierfalten)

• Erweiterte/gekürzte Brüche haben selben Wert auf dem Zahlenstrahl

• zunächst einfache Vergleiche und dabei auf anschaulische Vorstelunngen zurückgreifen.
  • Spezialfälle: (Ikonische Darstellung)
    • gleiche Nenner
    • gleiche Zähler
  • Flächenvergleiche auch bei anderen einfach Brüchen (Ikonische Darstellung)
  • Differenzen zu ganzen Zahlen betrachten
    • \( {4 \over 5}< {6 \over 7}\) , denn bei 4/5 fehlt 1/5 zur 1, bei 6/7 fehlt nur 1/7 zur 1
  • Vergleichen mit besonders markanten Brüchen (Ikonische Darstellung)
    • \( {5 \over 8}> {2 \over 5}\), denn 5/8 ist größer als 1/2 und 2/5 ist kleiner als 1/2
• Verallgemeinerung: Brüche vergleichen durch Erweitern auf gemeinsamen Nenner

• SuS mit einfachen Brüchen rechnen und dabei anschaulich Vorgehen, wichtig dabei, dass SuS erkennen, dass viele Aufgaben ohne Kalküle sich lösen lassen
• Lösungskalküle nach inhaltlichem und anschaulichen Bearbeiten anwenden
• Addition und Subtraktion
  • gleicher Nenner
    • Quasikardinales Vorgehen: Der durch den Nenner gegebene Zeil des Ganzen wird als Einheit (Tortenstück), die Zähler werden als Anzahlen aufgefasst
  • gemischte Nenner
    • Uhrenmodell und Rechtecke        

Behandelt Art und Form wie eine Aufgabe formuliert wird.

Beinhaltet den Zusammenhang zwischen AUfgabenstellung und Antwortformat

Antwortformat kann

• offen sein: Beweise, schriftliche Begründungen, Zeichnungen
• halboffene: Mischung aus offen und gebunden. Probanden werden Ansätze gegeben, aus denen er wählen muss und diese erweitert
• gebunden: Multiple-Choice- Aufgaben

• Aufgabentyp charakterisiert die inhaltlichen Anforderungen und Kompetenzen, werden durch Aufgabenaspekte beschrieben
• Aufgabenaspekte werden durch eine Aufgabenanalyse ermittelt
  • rationale Aufgabenanalyse untersucht aufgrund normativer Erwartungen, die idealtypischen Lösungsverfahren und -muster
  • empirische Aufgabenanalyse: anhand von Antwortformaten von Probanden untersucht und empirisch erhebt
  • Ziel einer Aufgabenanalyse ist es, Erkenntnisse über die Fähigkeiten und das Vorwissen, welches die SuS benötigen, um eine Aufgabe zu lösen, zu erlangen

• gehört zum Themenbereich Geometrie: Streckenberechnung von Raumdiagonalen
• Vorwissen: Wurzel-/Variablenbegriff, geometrische Figuren

.