Mathe Thema 1: Sachrechnen; Fermi Aufgaben

Viele SuS lassen sich an Oberflächenmerkmalen leiten, folgen dann eigenen und nicht allgemeingültigen Regeln. Sie erkennen kein adäquates Situationsmodell
Orientierung:

1)An Zahlen: SuS nehmen Zahlen z.B. der Reihe nach aus dem Text und versuchen sie in Verbindung zu bringen (wie sonst auch)

2)An Signalwörtern: Z.B. ziehen SuS bei folgender Aufgabe ab, also subtrahieren wegen Signalwort „weniger“: „Im Winterschlussverkauf hat Firma Hackenspiel 340 Strumpfpaare verkauft. Das sind 65 Paare weniger als vor einem Jahr.“

3)Am unterrichtlichen Kontext: SuS übernehmen z.B. von Aufgabe zu Aufgabe gleiches Vorgehen

1)Fehler beim Aufbau eines Situationsmodells

2)Fehler beim Überführen von Situationsmodell ins mathematische Modell

3)Fehler beim Umsetzen des mathematischen Modells

4)Fehler bei der Deutung und Validierung der mathematischen Ergebnisse

Fehler nicht nur von Aufgabenmerkmalen und individuellen Vorgehen abhängig, sondern auch vom situativen Kontext

Lösungsverhalten wird ganz entscheidend durch Unterricht geprägt, SuS übernehmen z.B. Strategien und wenden sie einfach an, wenn sie keine andere Möglichkeit sehen Kinder sind sich meist Problematik bewusst, dass es keine Lösung gibt

Lösungsverhalten wird von Einstellungen bestimmt zum Mathematikunterricht, die durch Erfahrungen geprägt sind, z.B.:

1)Jede Mathematikaufgabe/ Sachaufgabe ist lösbar

2)Jede Aufgabe hat genau eine Lösung

3)Zu jeder Sachaufgabe muss eine Rechenaufgabe aufgeschrieben und gerechnet werden

1)Identifikationsfehler (falsche Operation, irrelevante Angaben)

2)Fehler beim Strukturieren und Übertragen des Situationsmodells in ein mathematische Modell

3)Fehlerhafte Verkürzung bei mehrschrittigen Aufgaben

4)Fehler bei der verbalen Antwort
Fehler sind nicht als Makel zu sehen, sondern als Chance zum Lernen

Bei Suche nach Fehlern lernen SuS, dass sie selbst Fehler erkennen und überwinden können

Für die Lehrperson ist die Analyse von Fehlern ein Weg, das Denken der SuS kennenzulernen

Um Aufgabenstruktur zu verstehen, SuS beginnen anfangs mit irrelevanten Details, erst nach und nach zunehmend schematischer

1)Aufgabe verstehen, mehrmals lesen, Nacherzählen, Fragen zum Text?

2)Textstellen markieren

3)Auf eigene Erfahrungen zurückgreifen

4)Überlegungen übersichtlich notieren (Liste, Tabelle, Skizze)

5)Informationen beschaffen

6)Denk- und Rechenwege darstellen

7)Wege und Ergebnisse vergleichen, prüfen, bewerten

1)Situationen wahrnehmen und befragen (Informationsentnahme)

2)Modellbildung (Durchdringung der Problemstruktur, ordnen, darstellen)

3)Problemlösung im Modell (mathematische Lösung, Verarbeiten der Daten)

4)Rückführung auf Situation („Rückübersetzung“, Transferleistung)

5)Reflexion des Lösungswegs (Visualisieren, Verbalisieren, Vergleichen)

1)Orientierendes Lesen, um Überblick zu verschaffen

2)Genaues Lesen, mehrmals

3)Selektives Lesen, um wesentliche Informationen herauszufiltern

4)Worterschließendes Lesen, um Bedeutung der Wörter/Fachbegriffe zu verstehen

5)Kritisches Lesen, um Widersprüche aufzudecken

6)Rückversicherndes Lesen

Vom Situationsmodell zum mathematischen Modell kann es notwendig sein, weitere Informationen einholen zu müssen
Kinder müssen vielleicht umstrukturieren, in Stichworten rausschreiben

Konkrete Bearbeitungshilfen: Um die grundlegenden strukturellen Zusammenhänge zu erfassen. Beispiel: Rollenspiel, Darstellen mit verschiedenen Materialien

Grafische Bearbeitungshilfen: Insbesondere bei Kindern mit unzureichender Leseleistung Beispiel: Schaubilder, Rechenbaum (Kombinatorik), Tabellen (relationale Beziehungen), Situationsskizzen (Geometrie), Pfeilbilder (Zeitabschnitte), Streckendiagramm

SuS müssen nach Möglichkeiten suchen, die Struktur der Aufgabe aufzudecken. Bearbeitungshilfen können Hilfe/ Unterstützung sein, aber sollen keine neue Normierung darstellen. Müssen meist erst gelernt und eingeübt werden. 

1)Es sollte Inhalt ganzer Unterrichtsstunden bzw. Einheiten sein

2)Bezug zu außerschulischem Lernen haben

3)Verbindung zu inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen herstellen

4)Fächerverbindend unterrichtet werden (Deutsch, Sport, Ethik, Sachunterricht etc.)

Prinzipien haben „Konsequenzen für die Stoffauswahl und -Anordnung, für die Planung und Durchführung des Unterrichts und für die Reflexion über Unterricht, seine Qualität und Wirkung auf die Lernergebnisse der SuS“

1)Sachrechnen ist in allen Schuljahren ein eigenständiger Lernbereich:
SuS sollen von 1. Klasse an lernen, dass Sachrechnen Sicht auf Mathematik und Sache erfordert
Bietet Chancen für fächerverbindenden Unterricht (z.B. Projektarbeit)

2)Die Auswahl der Aufgaben hat mit Blick auf die SuS zu erfolgen:
Vielfalt möglicher Präsentationen ausschöpfen, aber auch Schwierigkeit anpassen
Vertraute Themen wählen (Heimatort, Schule etc.)
Angemessenheit der zu bearbeitenden Themen: Mathematisches Wissen, Sachwissen und Erfahrungswissen sind Voraussetzung
Möglichst oft „sinnstiftende“ Lernanlässe aufgreifen (authentische Alltagssituation)
Längere Zeit beim gleichen Kontext verweilen, auch für Speicherung im Gedächtnis

3)Die methodische Gestaltung des Unterrichts erfordert ein individuelles Eingehen auf die SuS:
SuS genügend Zeit lassen, müssen sich mit Sachrechen-Situationen intensiver auseinandersetzen, kommunizieren etc.
Gute Möglichkeit ist offene Unterrichtsarbeit (Freiarbeit, Projektarbeit, Stationsunterricht etc.)
Denken der SuS muss zentraler Stellenwert zukommen
Sachrechnen erfolgt in sozialer Interaktion, sozialer Austausch, kommunizieren, argumentieren etc.

4)Fehler und Irrwege sind ebenso Lernanlässe wie Lösungsideen:
Reflektion der Lösungswege ist Grundbedingung für Transfer auf andere Situationen
Falsche und unvollständige Lösungswege aufgreifen: Wichtig, ohne SuS zu blamieren, Fehler zeigen, daraus lernen 

Nicht verzichten in 1. Klasse, weil Sachaufgaben nicht mit Text und Lesen zusammenhängen müssen. Es kann auch durch Bilder und Materialien zu Lernprozessen kommen („Dazukommen und Wegnehmen“ besondere Sprache für Addition und Subtraktion)

Darstellungen bieten Zählanlässe, Bilder können Grundmodelle der Rechenoperationen widerspiegeln

Von Anfang an können mündlich präsentierte Sachaufgaben die Kinder anregen, sich ihr eigenes Bild zu machen

Problemhaltige Aufgaben sollten früh eingeführt werden, um SuS zu zeigen, dass es nicht nur immer einen möglichen Lösungsweg gibt

Heterogenität: Differenzierung und Individualisierung wichtig, Kinder sehen Welt selten durch mathematische Brille

SuS sollen möglichst oft Gefühl haben, dass Bearbeiten von Sachaufgabe auch sinnvoll ist
Ideal: Authentische Situationen, aktuelle Anlässe, Erfahrungen aufgreifen, selbst Aufbereiten (Lehrer entwickelt selbst zur Klasse passende Sachaufgaben), auf Aktualität prüfen, neue Einsichten vermitteln (z.B. Sachtext über Mond), Fernwelt, Sachaufgaben zu Märchen- und Phantasiegeschichten, traditionelle Knobelaufgaben

1)Sachaufgaben mit direktem Alltagsbezug aus der Erfahrungswelt der Kinder

2)Sachaufgaben mit Bezug zu wenig bekannten, aber realistischen Situationen (Fernwelt)

3)Kapitänsaufgaben, die mit und ohne Alltagsbezug sein können, deren Angaben aber nicht ausreichen, um die entsprechende Frage zu beantworten

4)Knobelaufgaben, die mit und ohne Alltagsbezug sein können, deren Sachbezug allerdings in der Regel austauschbar ist

Sachrechnen sollte möglichst offen gestaltet werden auf verschiedenen Ebenen:

1)Offenheit in der Aufgabenstellung – inhaltliche Offenheit

2)Offenheit bei den Lösungswegen und deren Fixierung – prozessbezogene Offenheit

3)Offenheit in der Organisationsform – organisatorische Offenheit

Sinnstiftende Lernanlässe bieten Chance, dass sich SuS intensiver mit Aufgabe auseinandersetzen, über Situationen zu reden, Erfahrungen auszutauschen
Auch Vorgehen ist relativ offen: Darstellungsweisen werden selbst überlegt etc., Schätzen, Überschlagen usw.
SuS können auch selbst Aufgaben bilden

SuS sollte Lösungsweg überlassen werden

SuS sollte auch besonders am Anfang erlaubt sein, nicht mit mathematischen Symbolen zu arbeiten, sondern eigene Verschriftlichungen zu wählen

Frage-Rechnung-Antwort Schema suggeriert eindeutiges Vorgehen, Übersetzen, Ergebnisse. Steht Offenheit entgegen.

Es geht nicht immer um richtig oder falsch, Prozess der Lösung von Sachaufgaben spielt wichtige Rolle. Problem ist nicht Schema selbst, sondern der formale Umgang damit. Heute vertritt man die Meinung, dass Lösungswege nicht durch Anleitung von außen gelernt werden, sondern durch Reflexion über eigene Lösungsversuche, den Austausch mit anderen über das Vorgehen und gemeinsame Strukturierung der Prozesse.

Sitzkreis, Einzel- oder Partnerarbeit, Kleingruppen etc.

Freiarbeit, Tages- oder Wochenplan, Werkstatt, Stationslernen

Reflexionsprozesse beim Sachrechnen sind auf mindestens zwei Ebenen notwendig:

1)Kinder reflektieren Aufgabe/Lösung selbst

2)Es wird gemeinsam ausgewertet: Lösungen verglichen, Vorgehen verglichen
Insgesamt soll Probieren als legitimes Vorgehen betrachtet werden von den SuS und sie sollten erkennen, dass es vielfältige Lösungswege gibt

Wen Sachrechnen selbst zum Unterrichtsthema wird, dann gibt es verschiedene Durchführung- bzw- Übungsmöglichkeiten:

1)Bilden von Sachaufgaben

2)Darstellen von Sachaufgaben

3)Verändern von Sachaufgaben

4)Finden von Fragen zu Sachaufgaben

5)Hinterfragen von Lösungen

Ziel ist nicht die eine Lösung der Aufgabe, sondern die Verbesserung der Sachrechenkompetenz der SuS

Bewirkt hohe Motivation der SuS, beflügelt Phantasie, Interesse
Textverständnis wird gefördert

1)Ein Thema wird vorgegeben: Z.B. Schreibe Rechengeschichten zur Klassenfahrt

2)Term oder Gleichung wird vorgegeben: Z.B. Erzähle Rechengeschichten zu 3+4

3)Bildliche oder grafische Darstellung wird vorgegeben: Z.B. Tabelle, authentische Mathematisierung der Alltagswelt

4)Es werden keine Vorgaben gemacht

Anlass dazu können z.B. Bilder sein
Bilderfolge insbesondere im Anfangsunterricht: Vögel fliegen weg, Autos komme dazu etc.

Ab dem 2. Schuljahr möglich, z.B. mit Hilfe von Skizzen oder Sprechblasen oder nur mithilfe eines Textes
Meist fällt es leichter themengebunden zu arbeiten als ohne Vorgaben
Terme oder Gleichungen können vorgegeben werden, um Fokus mehr auf Operationen zu lenken

Sachaufgaben können als Satz- oder Geschichtenanfänge oder Lückentext gegeben werden

1)Beziehungen von Alltagssituationen im Rollenspiel simulieren

2)Beziehungen der Situation mit Material darstellen 

3)Beziehungen der Situation als Zeichnung/Skizze darstellen

4)Beziehungen der Situation in einer Tabelle darstellen

Sachaufgaben mit Material darstellen
In jedem Fall benötigen Kinder Anregungen, wie Material lösungsunterstützend genutzt werden kann

Skizzen zu Sachaufgaben anfertigen
Auch Zeichnungen eignen sich als Bearbeitungshilfe, aber nur wenige Kinder machen davon Gebrauch

Tabellen zu Sachaufgaben anfertigen
Z.B. genutzt, um Daten zu sammeln und übersichtlich darzustellen (z.B. Trinkprotokolle über eine Woche hinweg), Rechnungen erstellen, Zeitspannen berechnen, funktionale Beziehungen in Tabellen darstellen, systematisches Probieren strukturieren

Insgesamt: Der Einsatz von Tabellen als Hilfsmittel im Lösungsprozess muss ebenso gelernt und geübt werden wie die Verwendung der anderen Darstellungsmittel

Arbeit am Text ist die Hauptaktivität bei diesen Aufgabenstellungen
Ziel: Vereinfachung und Sicherung des Verstehens
Folgende Veränderungen am Text eignen sich:

1)Wegstreichen von unnötigen Informationen

2)Umformulieren mit eigenen Worten

3)Ausschmücken der sachlichen Situation

4)Umstellen des Textes

Am Frageverhalten der SuS zeigt sich deren Textverständnis 
Fragen fokussieren spezifische Aspekte, konkretisieren somit das Situationsmodell
Zwei Wege möglich: Frage-Antworte-Rückbezug auf Frage oder Antwort als Ausgangspunkt zum Reflektieren von Lösungsprozess

Errechnete Ergebnisse müssen nicht nur situativ gedeutet werden, sondern darüber hinaus ist es notwendig, die Lösung daraufhin zu hinterfragen, ob sie falsch, realitätsfern oder verzerrt ist

“Es ist nicht die verstandene ´Lebensnähe´, die die Faszination des Lesens ausmacht, sondern das Unbekannte, Fremdartige, Erstaunliche.“ (Erichson)
Mathematik wird Sache untergeordnet, dient aber dem Sachverständnis

Selbst wenn SuS die Sachtexte nur lesen, erhalten sie neue interessante Informationen, die für mathematische Vorstellungen von Bedeutung sind. Gleichzeitig können Sachtexte zu weiteren Recherchen und zum kritischen Überprüfen anregen 
Beispiel: Der Mensch in Zahlen – Haare
1)Sachtexte dienen der Texterschließung

2)Durch Sachtexte kann der Verknappung und Dichte von Sachinformationen und damit dem Realitätsverlust und Verkürzung der Sprache entgegengewirkt werden

3)Durch Sachtexte aus unterschiedlichen Gebieten kann an die aktuellen Interessen und Fragen der Kinder angeknüpft werden

4)Sachtexte können zum Umweltbewusstsein der Kinder beitragen

Sachtexte sowie Projekte kann man als Verbindung zwischen dem engen Lösen von Textaufgaben und den Anforderungen des Alltags gesehen werden
Mit Sachtexten kann im Unterricht vielfältig gearbeitet werden