Mathe Thema 1: Sachrechnen; Fermi Aufgaben

“Es ist nicht die verstandene ´Lebensnähe´, die die Faszination des Lesens ausmacht, sondern das Unbekannte, Fremdartige, Erstaunliche.“ (Erichson)
Mathematik wird Sache untergeordnet, dient aber dem Sachverständnis

Selbst wenn SuS die Sachtexte nur lesen, erhalten sie neue interessante Informationen, die für mathematische Vorstellungen von Bedeutung sind. Gleichzeitig können Sachtexte zu weiteren Recherchen und zum kritischen Überprüfen anregen 
Beispiel: Der Mensch in Zahlen – Haare
1)Sachtexte dienen der Texterschließung

2)Durch Sachtexte kann der Verknappung und Dichte von Sachinformationen und damit dem Realitätsverlust und Verkürzung der Sprache entgegengewirkt werden

3)Durch Sachtexte aus unterschiedlichen Gebieten kann an die aktuellen Interessen und Fragen der Kinder angeknüpft werden

4)Sachtexte können zum Umweltbewusstsein der Kinder beitragen

Sachtexte sowie Projekte kann man als Verbindung zwischen dem engen Lösen von Textaufgaben und den Anforderungen des Alltags gesehen werden
Mit Sachtexten kann im Unterricht vielfältig gearbeitet werden

1)Interessen der Kinder sind unterschiedliche. Nicht möglich allen Kindern geeignete Texte zu geben

2)Sachtexte müssen erlesen werden. Selbst im 3. Schuljahr oft schwierig

3)Arbeiten mit Sachtexten ist sehr zeitaufwändig

4)Anforderungen an mathematische Kompetenzen der SuS teilweise sehr hoch

5)Haben mathematisch, sprachliche und Sachkomponente. Also umfassende Behandlung nur im fächerverbindenden Unterricht realisierbar.

Es ist gerechtfertigt für das inhaltliche Verständnis von Rechenoperationen, Strategien und Beziehungen auch notwendig, Sachaufgaben als Ausgangspunkt und als Veranschaulichung zu arithmetischen Inhalten und zum Verdeutlichen, zum Konkretisieren, zum Anknüpfen an den kindlichen Erfahrungen einzusetzen. Das erhebt aber nicht den Anspruch, die Sachrechenkompetenz der SuS zu verbessern!

Sachaufgaben der Komplexität nach zu ordnen. Zuerst Simplexaufgaben, dann Komplexaufgaben mit linearer Struktur, dann Komplexaufgaben mit verzweigter Struktur behandeln. So könnte Rahmen für Sachrechenlehrgang aussehen.
In allen Vorschlägen wird Bemühen deutlich, das Sachrechnen langfristig und systematisch anzulegen.

1.Schuljahr: Rollenspiele, Bildbetrachtungen, Beobachtungen und Erkundungen

2.Schuljahr: Präsentationsformen können durch Sachaufgaben in Textform ergänzt werden. Erste Knobel- und Kapitänsaufgaben. Zeichnerische Darstellungen, konkretes Material, Alltagsbezug

3.4. Schuljahr: Arbeit mit Texten im Vordergrund. Texte liefern SuS neue Sachkenntnisse, haben Unterhaltungswert. Authentische verschriftlichte Materialien werden miteinbezogen. Bearbeitungshilfen werden schematischer. Lösungswege zunehmend reflektiert, begründet, bewertet.

“Sachrechencurriculum“ kann nicht als isolierter Lehrgang verstanden werden, sondern steht in enger Verbindung mit arithmetischen und geometrischen Themen

Schütte schlägt vor: Zahlen deuten und Sachen klären

Didaktiker versuchen alle Zielsetzungen gleichermaßen zu berücksichtigen, sodass weder Sachrechnen noch ein Sachrechnen zu konstatieren ist, sondern ein ausgewogenes Sachrechnen entsteht.

Größen und Messen: Größenvorstellungen besitzen, mit Größen in Sachsituationen umgehen. Kann nur erfüllt werden, wenn Kinder lebendige und reichhaltige Kenntnisse der Maßsysteme und Stützpunktvorstellungen zu vielen Größen nutzen können (Sachrechnen!)

Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeit: Daten erfassen und darstellen, also Prozess der Datengewinnung und- Verarbeitung 

Zahlen und Operationen und Muster und Strukturen: Lassen sich auch Sachrechnen zuordnen. Kompetenzbereich „Funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen“ kommt große Bedeutung zu.

Raum und Form: Geometrische Kompetenzen. Weist hohen Alltags- und Umweltbezug auf, also enge Verbindung zum Sachrechnen.

SuS häufig gefordert, Probleme zu lösen (heuristische Strategien zu entwickeln und Zusammenhänge herzustellen),

Kommunizieren (eigenes Vorgehen mitteilen, Gedanken anderer nachvollziehen,

Argumentieren (Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen)

Darstellen wird im besonderen Maß gefördert (geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen, nutzen, Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten)

Ohne diese Kompetenzen ist kein kompetentes Sachrechnen möglich

SuS häufig gefordert, Probleme zu lösen (heuristische Strategien zu entwickeln und Zusammenhänge herzustellen),

Kommunizieren (eigenes Vorgehen mitteilen, Gedanken anderer nachvollziehen,

Argumentieren (Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen)

Darstellen wird im besonderen Maß gefördert (geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen, nutzen, Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten)

Ohne diese Kompetenzen ist kein kompetentes Sachrechnen möglich

1)Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen

2)Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen, innermathematisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen

3)Zu Themen, Gleichungen und bildlichen Darstellungen Sachaufgaben formulieren

Sachmodell ist auf wichtige Infos reduziertes Modell an Schnittstelle zwischen Welt der Sachen und Welt der Mathematik
Je breiter das Repertoire an gesicherten Grundvorstellung ist, desto der Mathematisierungsprozess (also zu mathematischem Modell)

Mathematisches Modell wird mit innermathematischen Werkzeug gelöst (rechnen, schätzen etc.)
Für Lösung des Sachproblems müssen Grundvorstellungen wieder aktiviert werden.
Ideal dargestellter Prozess: In Realität gibt es Sprünge, Umwege, Rückwege, manchmal unüberwindbare Hürden

1.Eingekleidete Aufgaben

2.Textaufgaben

3.Sachaufgaben

4.Sachproblem/Sachprojekt

1)Die Aufgabe verstehen: Kinder sollen Aufgabe in eigenen Worten wiedergeben (Signalwörter: mehr, vermindern, mal so viel, vielfache, verteilt, aber: Kontext der Wörter beachten!)

2)Die Sache verstehen, ihre Struktur herausarbeiten: Verstehen um die Beziehungen und Sachverhalte ist wichtiger als bei Problemlöseaufgaben Skizzen zu erstellen.
Strukturschemata (Rechenbaum, Simplex etc.) sind keine Hilfe für Entwicklung einer Lösungsidee, sondern eher geeignet, um bei Rückschau den Lösungsprozess nochmal deutlich zu machen
Bereitschaft der Kinder sich wirklich auf die Sache einzulassen, steigt mit der Authentizität der Sache

3)Das Sachmodell in ein mathematisches Modell übersetzen und dort lösen: Alternative Rechenwege selbstverständlich zulassen, wenn es sie gibt

4)Das mathematische Ergebnis im Sinne des Sachproblems interpretieren und auf Plausibilität prüfen: Kann das, was errechnet wurde stimmen? Oder war vorherige grobe Schätzung völlig anders?

5)Den Lösungsprozess reflektieren: Rückschau auf verschiedene Phasen kann Kindern helfen Vorgehensweise bewusst zu machen und so Beitrag zur Modellierungskompetenz leisten
Erste Bearbeitungen von Sachproblemen nicht in Frage-Rechnung-Antwort Schema pressen, weil besonders leistungsschwächere SuS andere Wege suchen. Individuelle Notationsformen und systematisches Probieren sollten erlaubt sein.
6)Sachaufgaben systematisch variieren: Variieren kann Auslöser für Kinder sein, selbst Sachaufgaben zu erfinden

Sachrechnen zur Erschließung der Umwelt

·         Verständnis für die Realität entwickeln

·         Sachrechen als Stück Sachkunde à Sachsituationen als Stoff, den es zu bearbeiten gilt

·         (Sachrechnen als Lernziel (nach Winter 1985))

Sachrechen als Mathematisierungs- bzw. Modellierungsprozess

Prozess der Mathematisierung einer Sachsituation nach Winter 1985:

1. Situation wahrnehmen, Muster erkennen, Fragen entwickeln

2. Modell (oder mehrere alternative Modelle) entwerfen, evtl. weitere Daten beschaffen

3.  im Modell Informationen verarbeiten, Fragen im Modell lösen

4. gewonnene Modellösung auf die Situation zurückübertragen und bewerten, Tragweite des Modells erkunden (Transfers versuchen)

·         Im Mittelpunkt der unterrichtlichen Bemühen steht vielmehr der Prozess der Lösung von Problemaufgaben

·         Kinder sollen lernen, selbstständig Probleme zu lösen, für die sie noch keine Lösungsverfahren gelernt haben

·         In Anlehnung an Winters 4 Phasen der Mathematisierung wird der Prozess des Modellierens heute als Kreislauf beschrieben

 5 Stationen und erforderliche Prozesse für die Übergänge

1. Sachproblem: Sprachliche + textliche Verständnis, aber auch der Sachkontext aktiviert werden

2. Sachmodell: Auf den Kern des Problems reduziertes mentales Modell des Problemlösers über die Struktur der Sachaufgabe

3. Mathematisches Modell: Integration des Sachmodells in eine vorhandene Grundvorstellung (z.B. Division als Umkehrung der Multiplikation

4. Mathematische Lösung: Rechnen, schätzen, messen

5. Lösung des Sachproblems: Reale Situation auf Plausibilität prüfen

·         In der Praxis des Problemlösens gibt es Sprünge, Umwege und unüberwindbare Hürden

Bild

• Aufgaben mit mehr Angaben als nötig
• Für Lösung relevante Aufgaben müssen erkannt werden

• Aufgaben mit fehlenden Angaben, die zur Lösung benötigt werden
• SuS müssen zusätzliche Informationen einholen, Werte mit Hilfe von Alltagswissen schätzen
• Erfordern Durchlaufen eines Modellierungskreislaufes

• Kernphysiker und Nobelpreisträger

• Professor in Rom

• bekannt für seine guten Abschätzungen

• Studenten sollten mit etwas Mathematik und gesundem Alltagswissen Zahlen, Größen und Größenordnungen überschlagen

• Bekannteste Frage: „ Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“ 

„ Dadurch, dass diesen Aufgaben die zur Lösung notwendigen Informationen fehlen, ist eine Auseinandersetzung mit dem Sachkontext unausweichlich.“ Carolin Habicht

·         Rechnung im Hintergrund

·         keine exakte Lösung gefordert

·         nur plausibles/ unplausibles Ergebnis möglich 

·         Fermi-Probleme fordern in besonderer Weise Modellierungsprozesse heraus, weil zunächst keine Daten bekannt sind à Alltagswissen herantragen

·         Hypothesen für realistische Quantifizierungen des Sachverhalts entwickeln

·         Gewonnene Ergebnisse auf Plausibilität prüfen

·         Unterschiedliche Ergebnisse und Vorgehensweisen fordern von den Kindern, ihre eigenen Befunde darzustellen und zu begründen

Fermi-Aufgabensind im Prinzip unterbestimmte offene Aufgaben mit klarem Endzustand, aber unklarem Anfangszustand sowie unklarer Transformation, bei denen die Datenbeschaffung –meist durch mehrfaches Schätzen –im Vordergrund steht.  (Greefrath2010, S. 80)

·         … sind realitätsbezogen ( evtl. alltagsbezogen )

·         … fordern heraus

·         … sind offen

·         … erfordern Vergleichen und (Plausibilitäts)prüfungen

·         … bedürfen selbstständiger Daten- und Informationssuche

·         … bieten Raum für individuelle Lösungswege und Differenzierung

Fermi-Aufgaben im ursprünglichen Sinn

• Schätzen und Überschlagen von Größen
• Veranschaulichung gegebener Größen und Anzahlen
• Gewinnen fehlender Daten aus Annahmen/ Alltagswissen 

Fermi-Aufgaben im weiteren Sinn

• Recherchieren von Daten
• Bestimmen von Daten aus Abbildungen
• Bestimmen fehlender Daten durch Messung/ Experiment 

·         das selbstständige und kooperative Arbeiten

·         strategisches Arbeiten und Lösen von Problemen

·         Umgang mit Modellierungskreisläufen

·         schätzen und überschlagen

·         Umgang mit Größen und Einheiten

·         Reflexionsfähigkeit

·         Aufbau Problemlösefähigkeit 

·         Veränderte Lehrerrolle

·         Lehrer als Berater, kein Wissensvermittler

·         Offene Sozialform: Partner- oder Kleingruppenarbeit

·         ausreichend Zeit 

o   gedankliches Vergleichen und Messen

o   Es fällt den Kindern leichter eine Länge zu schätzen als das Schätzen einer Anzahl

o   z. B. Wie lang ist eine Schnur?

o   Wie hoch ist dieser Baum?

o   Wie viele Erbsen passen in eine Schachtel?