Mathe Thema 1: Sachrechnen; Fermi Aufgaben

• Aufgaben mit fehlenden Angaben, die zur Lösung benötigt werden
• SuS müssen zusätzliche Informationen einholen, Werte mit Hilfe von Alltagswissen schätzen
• Erfordern Durchlaufen eines Modellierungskreislaufes

• Kernphysiker und Nobelpreisträger

• Professor in Rom

• bekannt für seine guten Abschätzungen

• Studenten sollten mit etwas Mathematik und gesundem Alltagswissen Zahlen, Größen und Größenordnungen überschlagen

• Bekannteste Frage: „ Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“ 

„ Dadurch, dass diesen Aufgaben die zur Lösung notwendigen Informationen fehlen, ist eine Auseinandersetzung mit dem Sachkontext unausweichlich.“ Carolin Habicht

·         Rechnung im Hintergrund

·         keine exakte Lösung gefordert

·         nur plausibles/ unplausibles Ergebnis möglich 

·         Fermi-Probleme fordern in besonderer Weise Modellierungsprozesse heraus, weil zunächst keine Daten bekannt sind à Alltagswissen herantragen

·         Hypothesen für realistische Quantifizierungen des Sachverhalts entwickeln

·         Gewonnene Ergebnisse auf Plausibilität prüfen

·         Unterschiedliche Ergebnisse und Vorgehensweisen fordern von den Kindern, ihre eigenen Befunde darzustellen und zu begründen

Fermi-Aufgabensind im Prinzip unterbestimmte offene Aufgaben mit klarem Endzustand, aber unklarem Anfangszustand sowie unklarer Transformation, bei denen die Datenbeschaffung –meist durch mehrfaches Schätzen –im Vordergrund steht.  (Greefrath2010, S. 80)

·         … sind realitätsbezogen ( evtl. alltagsbezogen )

·         … fordern heraus

·         … sind offen

·         … erfordern Vergleichen und (Plausibilitäts)prüfungen

·         … bedürfen selbstständiger Daten- und Informationssuche

·         … bieten Raum für individuelle Lösungswege und Differenzierung

Fermi-Aufgaben im ursprünglichen Sinn

• Schätzen und Überschlagen von Größen
• Veranschaulichung gegebener Größen und Anzahlen
• Gewinnen fehlender Daten aus Annahmen/ Alltagswissen 

Fermi-Aufgaben im weiteren Sinn

• Recherchieren von Daten
• Bestimmen von Daten aus Abbildungen
• Bestimmen fehlender Daten durch Messung/ Experiment 

·         das selbstständige und kooperative Arbeiten

·         strategisches Arbeiten und Lösen von Problemen

·         Umgang mit Modellierungskreisläufen

·         schätzen und überschlagen

·         Umgang mit Größen und Einheiten

·         Reflexionsfähigkeit

·         Aufbau Problemlösefähigkeit 

·         Veränderte Lehrerrolle

·         Lehrer als Berater, kein Wissensvermittler

·         Offene Sozialform: Partner- oder Kleingruppenarbeit

·         ausreichend Zeit 

o   gedankliches Vergleichen und Messen

o   Es fällt den Kindern leichter eine Länge zu schätzen als das Schätzen einer Anzahl

o   z. B. Wie lang ist eine Schnur?

o   Wie hoch ist dieser Baum?

o   Wie viele Erbsen passen in eine Schachtel?

o   Sind nicht nur durch gedankliches Vergleichen und Messen zu lösen, es bedarf weiterer Fähigkeiten

o   es müssen Erfahrungen zu Sachsituationen einbezogen werden

o   Teildurchschnittswerte müssen errechnet werden

o   es muss mit Vergleichswerten gerechnet werden

o   verschiedene Teilschritte müssen koordiniert werden und der der Überblick über den Lösungsprozess behalten werden

o   Z.B.: „In deinem Leben hast du drei Jahre nur mit Schlafen verbracht. Stimmt das? “

Idealer Lösungsprozess à Modellierungskreislauf 

·         Stell dir die Situation genau vor!

·         Was können wir über die Situation wissen?

·         Welche Informationen sind zur Beantwortung der Frage richtig?

·         Wie rechnen wir ?

·         Was bedeutet unser Ergebnis?

·         Ist unser Ergebnis sinnvoll?

•gemeinsam Vermutungen äußern, Rückfragen stellen

•modellhaft nach Lösungsplan lösen

•Gruppenarbeitsphase

•Gestaltung von Plakaten

•Reflektieren des Lösungsprozesses 

·         Modellierungskreislauf

·         Lösungsplan

·         Materialtisch zur Informationsrecherche zur Verfügung stellen

·         Messinstrumente, Bücher, Stadtpläne, Suchmaschinen, ggf. Internetzugang 

·         Einzelne Lösungsschritte sichtbar machen

·         (Verständnis)lücken schließen

·         Schwierigkeiten analysieren

·         neue Impulse für künftige Bearbeitungs- und Lösungsprozesse

·         kritische Einschätzung der eigenen Vorgehensweise

Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz der Länder (KMK) als länderübergreifender Bildungsplan sind in den hessischen Kerncurricula berücksichtigt und konkretisiert. 

 Die Kerncurricula stellen die angestrebten Ergebnisse des Lernens in Form von Könnenserwartungen (Bildungsstandards) dar.

 Diese beschreiben zum einen Kompetenzen, die bis zu bestimmten Abschnitten des jeweiligen Bildungsweges erworben sein sollten („lernzeitbezogene Kompetenzerwartungen“).¹ 

 Zum anderen legen die Bildungsstandards die Leistungsanforderungen zum Abschluss eines Bildungsganges fest. Bildungsstandards sind als Regelstandards formuliert und in Kompetenzbereiche gegliedert

·         Darstellen

·         Kommunizieren

·         Argumentieren

·         Umgehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen

·         Problemlösen und Modellieren

·         Muster und Strukturen à übergeordnete Stelle

·         Zahl und Operation

·         Raum und Form

·         Größen und Messen

·         Daten und Zufall

Wie schon oben erwähnt, werden sinnvoll gestellte Fermi-Aufgaben, im Gegensatz zu den traditionellen Sachaufgaben, den Forderungen der Bildungsstandards Mathematik im Primarbereich (vgl. Walther et al 2009, S. 16-41) besser gerecht. Diese verlangen nämlich neben der Entwicklung inhaltsbezogener Kompetenzen auch die Förderung der folgenden prozessbezogenen Kompetenzen, die im Folgenden näher erläutert werden.

Beim Lösen von Fermi-Aufgaben laufen vor allem Modellierungsprozesse auf der Basis individueller Erfahrungen und Alltagswissen der Kinder ab. In diesem Modellierungskreislauf soll zunächst das Sachproblem in eine mathematische Sprache übersetzt und gelöst werden, bevor das Ergebnis anschließend wieder auf die Sachsituation bezogen und auf Plausibilität hin geprüft wird.

Die einzelnen Phasen des Modellierens werden in der Regel mehrmals durchlaufen, weil mögliche Irrwege und falsche Hypothesen am Ende eines Kreislaufes von den Schülerinnen und Schülern erkannt werden und so der Lösungsweg überdacht wird. Beim nochmaligen Durchlaufen können die Kinder dann neue Modellierungsversuche durchführen, bis sie schließlich zu einer plausiblen Lösung des Problems gelangen.

Innerhalb dieses Modellierungsprozesses werden folgende weitere prozessbezogene Kompetenzen gefordert und gefördert:

·         Fermi-Aufgaben ermöglichen durch ihre Offenheit das Finden verschiedener Wege und Strategien auf unterschiedlichstem Niveau

Wie schon erwähnt, ist es sinnvoll, dass Fermi-Aufgaben in Kleingruppen gelöst werden. Dadurch wird in besonderer Weise die prozessbezogene Kompetenz .Argumentieren. gefördert. Darunter versteht man, dass die einzelnen Kinder ihren Gruppenmitgliedern ihren eigenen Lösungsweg erklären und lernen, diesen in Diskussionen zu vertreten sowie zu begründen.

Auch durch die Tatsache, dass die Gruppenergebnisse am Ende dem Klassenplenum vorgestellt und auf Plausibilität überprüft werden, schult die Fähigkeit, Lösungen kritisch zu reflektieren, zu hinterfragen sowie diese Kritik auch angemessen zu formulieren

Durch die gemeinsame Arbeit an einer Fermi-Aufgabe wird die Zusammenarbeit und Interaktion unter den einzelnen Schülerinnen und Schülern einer Gruppe gefördert. Dadurch, dass sich die Kinder bei Fermi-Aufgaben mit den verschiedenen Lösungswegen ihrer Gruppenmitglieder auseinandersetzten müssen, werden diese in ihrem mathematischen Lernprozess unterstützt. So können Kinder begonnene Gedanken anderer aufnehmen und weiterführen. Das Lernen gestaltet sich demnach als ein sozialer Prozess. Die Kompetenz .Darstellen. besitzt bei den Fermi-Aufgaben ebenfalls einen besonderen Stellenwert, weil die Schülerinnen und Schüler ihre Lösungswege und Ergebnisse zum einen übersichtlich und verständlich dokumentieren müssen (Tabelle, Diagramm usw.) und zum anderen die verschiedenen Darstellungsweisen im Hinblick auf ihren Anschaulichkeitsgrad und Nutzen vergleichen sollen.

Wenn man Mathematik im Leben wirklich anwenden will, genügt es nicht, Rechenverfahren
zu beherrschen.

-->mathematische Modelle zu realen Situationen bilden und diese als Grundlage von Entscheidungen
und Argumentationen sowie zur Meinungsbildung nutzen können

Modell =Darstellung der Realität -->die „nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte“ berücksichtigt
 

deskriptive/normative. Modelle 

Deskriptive Modelle-->Aspekte der Realität möglichst genau zu erfassen. Je nach
Zielsetzung lassen sich Beschreibungs-, Erklärungs- und Vorhersagemodelle unterscheiden

Normative Modelle-->Vorgaben, wie etwas gehandhabt werden soll

keine „richtigen“ oder „falschen“ Modelle-->sondern ob passfähig

 Anwendungsorientierung im Mathematikunterricht ein bewusstes Arbeiten
mit und Erarbeiten von mathematischen Modellen beinhalten muss.

Kompetenzen:

Lebenswirklichen Sachtxten/Darstellungen infos entnehmen

Sachprobleme in Sprache der Mathematik übersetzen-->auf Ausgangssituation beziehen

Sachaufgaben formulieren

-->nicht explizit gennant

Inhaltsbezogene Kompetenzen

1. Größen und Messen:

„Größenvorstellungen besitzen“; „mit Größen in Sachsituationen umgehen“

verschiedenen Vorstellungen über Größen -->Kenntnisse der Maßsysteme sowie Stützpunktvorstellungen-->Kompetenzbereich

2. Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeit:

„Sachrechnen als Lernstoff“; „Daten erfassen und darstellen“-->Kompetenzbereich

Prozess der Datengewinnung und -verarbeitung, Lesen von aufbereiteten Datendarstellungen

3./4. Muster und Strukturen; Zahlen und Operationen:

„In Kontexten rechnen“: Lösen von Sachaufgaben; Beziehungen beschreiben(Sache/Lösung), Ergebnisse  prüfen, Überlegungen anstellen, systematisch lösen und variieren-->Kompetenzbereich

„Funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen“;früher nicht gelehrt; funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und entsprechende Aufgaben lösen-->Kompetenzbereich

5. Raum und Form:

da hohen Alltags- und Umweltbezug-->unterscheidung Sachrechnen/anwendungsanteil der Geometrie

„Sich im Raum orientieren“:Bewältigung des Alltags/schulische Anforderungen-->Kompetenzbereich

„Flächen- und Rauminhalte vergleichen und messen": Schnitttstelle Raum & Form/Größen & Messen“-->Kompetenzbereich

1. Problemlösen

Probleme lösen, heuristische Strategienentwickeln und Zusammenhänge herzustellen

2. Kommunizieren

eigenes Vorgehen mitteilen und die Gedanken anderer nachvollziehen 

3. Argumentieren

mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen

4. Darstellen

geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen, Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten sowie ineinander übertragen

1. Zahlen & Operationen: Sachaufgaben mit arithmetischem Inhalt;

2. Raum & Form: Sachaufgaben mit geometrischem Inhalt;

3. Muster & Strukturen: Sachaufgaben zu funktionalen Zusammenhängen;

4. Größen & Messen: Sachaufgaben zum situationsadäquaten Umgang mit
Größen;

5. Daten, Häufigkeit & Wahrscheinlichkeit: Sachaufgaben mit stochastischem
Inhalt.

im Grundschulunterricht den meisten Raum ein  weitaus häufiger in Untersuchungen aufgegriffen in anderen Inhaltsbereichen-->heute nicht mehr ausschließlich die arithmetischen Aspekte im Mittelpunkt

arithmetische Struktur= Untersuchung der Rechenschritte, der Operation und der Reihenfolge  der gegebenen Zahlen

1. Simplexen (Aufgaben mit einer Rechenoperation)-->mutiplikativen Simplexen noch keine Gesamtuntersuchung

2. Mehrfachsimplexen (Aufgaben mit mehreren unabhängigen Rechenoperationen)

3. Komplexen (Aufgaben mit mindestens zwei Rechenoperationen, die abhängig voneinander sind)

-->Rechnenoperation kann auch genauer beschrieben werden 

semantischen Struktur= Fokus auf Operation..>Multiplikation Addition etc.

1. Dynamik der Situation: Beziehungen dynamisch-handelnde oder eine statisch-kategoriale Situation?

2. Beziehung der Mengen: Teilmengenbeziehung oder werden verschiedene Mengen hinsichtlich ihrer Mächtigkeit in Beziehung zueinander gesetzt?

3. Richtung der Veränderung: Handelt es sich um eine auf- oder eine absteigende Veränderung?

3. Gesuchter Wert: Ist der Startwert, die Veränderung oder der Endwert zu
bestimmen?

syntaktischen Struktur= Satzbau Reihenfolge der Fragestellung

welche Möglichkeiten  gibt es, Elemente einer endlichen Menge nach bestimmten Bedingungen auszuwählen oder anzuordnen. Danach ist festzustellen, wie viele Möglichkeiten es dafür insgesamt gibt.

Kombinatorik als Teilbereich der Stochastik beschäftigt: 

1. Permutationen (relevante Reihenfolge)

2. Variationen (relevante Reihenfolge)

3. Kombinationen (irrelevante Reihenfolge), jeweils mit und ohne Wiederholung.

weder allein kombinatorische Aufgabenstellungen
einfache Multiplikationssituationen                                                                                                                               formelhaften Charakter der verschiedenen Grundmodelle kombinatorischer Aufgabenstellungen beherrschen.

Geometrische Kompetenzen= stark an Alltagssituationen gekoppelt-Geometrie ist eben überall

-->Vergrößern und Verkleinern, zum Aufsuchen von Wegen, zur Symmetrie und vor allem zum Anfertigen von Objekten (Falten einer Schwalbe)

-->Aufgaben zum Flächen- und Rauminhalt oder zum Maßstab sind zum Lösen geometrische und arithmetische Kenntnisse erforderlich

Funktionale Zusammenhänge--> Anzahl-Preis, Gewicht-Preis und Weg-Zeit

-->jedoch bisher in der Grundschule nicht systematisch aufgegriffen

-->Muster und Strukturen: funktionale Beziehungen in Sachsituationen erkennen und sprachlich beschreiben
--> Beziehungen tabellarisch darstellen sowie einfache Sachaufgaben zur Proportionalität lösen, doppelter Zahlenstrahl.

nicht nur proportionale Zusammenhänge-->vielfältige Erfahrungen zu Situationen mit entsprechenden Zusammenhängen. Im Vordergrund--> genaue Beobachten und Beschreiben

nicht nur proportionale Zusammenhänge-->auch  konstante Differenzen das funktionale Denken im Sinne relationaler Zahlbeziehungen

in den Bildungsstandards unter dem Inhaltsbereich Größen und Messen

zwei Bereiche

1. der Aufbau von Größenvorstellungen 
2. das Umgehen mit Größen in Sachsituationen-->deutlich als die rechnerische Verarbeitung von Größen.

Ohne konkreten Sachbezug und eigene Handlungserfahrungen -->Größenvorstellungen kaum auf- und ausbauen.

Frage nach der notwendigen Genauigkeit von Größenangaben mit den Kindern thematisiert

zwei Teilbereiche:

Beschreibende Statistik: Kinder sollen Daten erfassen und darstellen-->zum Sammeln, Darstellen und Interpretieren von Zahlen aus ihrer Klasse, zur Schule oder zum Heimatort

-->Schulbuchbeispiele genauer untersuchen-->Ausgangspunkt für eigene Erkundungen, Experimente oder Befragungen

-->Informationen aus aufbereiteten Daten entnehmen-->ansatzweise hinterfragen

Beurteilende Statistik: Anbahnung eines Wahrscheinlichkeitsbegriffs-->Grundbegriffe wie ‚sicher’, ‚unmöglich’
und ‚wahrscheinlich’-->angemessen nutzen, einfache Zufallsexperimente einschätzen

1)Echtsituationen

2)Authentische Mathematisierungen

3)Bilder

4)Texte

Wandertag, Spielplatz, Schulfest etc.