Festigkeit im Leichtbau

bei doppelsymmetrischen Profilen

E-Modul erhöhen, t erhöhen, b verkleinern (gehen quadratische ein)

Ein ESZ liegt vor, wenn im Bauteil nur Spannungen auftreten, die in einer Ebene liegen.

Autodach (Torrsion) Außenwand Flugzeug

Gegenteil zur trivialen Lösung Gleichungen zur Beschreibung eines Problems liefern genau eine Lösung (≠0)

Krafteinleitung in den Steifen, welche nur Normalkräfte übertragen (kein Moment) -> Steifen sind Stäbe …

dünnwandig offenen: Querkraftschub

dünnwandig geschlossenen: Querkraftschub x Schub durch Torsion

- im Brückenbau gibt es manchmal Fasaden, die ein "Schubfeld" mit komplett benachbarten "Steifen2 besitzen
- alte Häuser mit Holzaufbau (Steifen) und Backsteine (Schubfeld)

Stabile und Instabile (indifferent und labil)

Dazu müssen an den interessierenden Stellen der Struktur Hilfskräfte oder -momente mit dem Wert null eingeführt werden.

• Differentialbauweise
• Integralbauweise
• Integrierende Bauweise
• Verbundbauweise

Vorteile:

• Kombination unterschiedlicher Werkstoffe einfach möglich
• späteres Recycling oder partielle Reperaturen möglich
• Tolernazen (Ausgleich von Maßungenauigkeiten)
• geringer Ausschuss
• vorhandene Löcher dienen als Rissfallen oder Rissbremsen

Nachteile:

• hohers Verbindungsgewicht durch Überlappung
• Kerbwirkung an Löchern und Übergängen
• schlechtes Korrosionsverhalten
• hohe Anzahl an Prozessschritten

Vorteile:

• Minimalgewicht
• Zusammenfassung von Geometrie und Funktionen
• geringe Anzahl von Prozessschritten
• niedrige Montagekosten

Nachteile:

• hohe Werkstoff- und Werkzeugkosten
• immer gleicher Materialeinsatz
• sehr schlechtes Schädigungsverhalten (Durchwandern von Rissen)
• Beschränkung bezüglich Bauteilabmessungen
• geringe Flexibiliät

Leichtbaugerechte Bauteile können häufig durch die o.g. mechanischen Modelle beschrieben werden, weil diese nur Lasten in der Bauteillängsachse oder in der Tangentialebene zulassen.

Die Schnittgrößen beim mechanischen Modell des Balkens sind eine Normalkraft entlang der Balkenlängsachse (x-Achse oder parallel dazu), Querkräfte entlang der Schnittebene (y- und z-Achse), Biegemomente (um y- und z-Achse) und ein Torsionsmoment (um x-Achse). Es existiert eine differentielle Beziehung zwischen den Schnittgrößen.

Ein Hauptspannungszustand bzw. Hauptspannungssystem (1-2-Koordinatensystem) ist dadurch gekennzeichnet, dass in diesem die Schubspannungen verschwinden.

Der erste Index gibt die Richtung des zugehörigen Normalenvektors auf der Schnittfläche, in der die Spannung wirkt, an. Der zweite Index bezeichnet die Wirkungsrichtung der Spannung. Normalspannungen erhalten nur einen Index, da die Richtung des Normalenvektors und der Spannung immer identisch ist. Schubspannungen werden mit zwei Indizes gekennzeichnet.

Verzerrungen und Verschiebungen hängen insofern zusammen, dass eine Überlagerung von Dehnungen und Gleitungen, welche zusammen den Oberbegriff Verzerrungen bilden, zusätzlich zu Starrkörperverschiebungen von Bauteilen führen kann.

- Dehnungen sind die Folge von Normalspannungen und führen zu Längenänderungen.
- Gleitungen sind die Folge von Schubspannungen und führen ausschließlich zu Winkeländerungen.

Die Kompatibilitätsbeziehungen stellen sechs Gleichungen dar, welche letztendlich dafür sorgen sollen, dass zwischen den sechs Verzerrungsgrößen Zwangsbedingungen existieren, damit bei Verformungen einer Struktur der Materialzusammenhalt gewahrt wird. Die Kompatibilitätsbeziehungen gelten allerdings nur für kleine Verformungen.

- Stoffgesetze liefern den Zusammenhang zwischen dem Spannungs- und dem Verzerrungszustand (bzw. dem Verformungszustand).
- Für isotrope Werkstoffe gelten, dass zur eindeutigen Beschreibung des Materialverhaltens zwei Materialkonstanten ausreichend sind: Elastizitätsmodul und Querkontraktionszahl.

- Statische Bestimmtheit bedeutet, dass bei beliebiger Belastung in einem gelagerten mechanischen System die Lagerreaktionen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmbar sind und das System nicht verschieblich ist.

- Es gibt zum einen die Möglichkeit der statischen Unbestimmtheit bzw. Überbestimmtheit, wo die Gleichgewichtsbedingungen nicht zur Ermittlung der Lagerreaktionen ausreichen.

- Zum anderen gibt es die Möglichkeit der statischen Unterbestimmtheit, wo das
System verschieblich ist, also es zu wenig Lagerreaktionen gibt.

Mit Hilfe des Längsspannungsansatzes können die Normalkraft N sowie die Biegemomente Mby und Mbz im Querschnitt ermittelt werden.

1. Bedingung: Das Deviationsmoment Iyz bzgl. der gegebenen Achsen muss verschwinden, also null sein.
2. Bedingung: Das betrachtete Biegemoment muss alleine anliegen bzw. wirken.

- Flächenträgheitsmomente sind Flächenmomente zweiten Grades und werden bei der Berechnung von Strukturen verwendet, die auf Biegung, Torsion, Knickung und Schub belastet sind. Hierbei spielt die Form und die Orientierung der Querschnittsfläche eine wichtige Rolle. FTM sind aus dem Balkenquerschnitt abgeleitete geometrische Größen.

- Biegesteifigkeiten (bzgl. der jeweiligen Achse) sind das Produkt aus dem Elastizitätsmodul E und dem axialen Flächenmoment Iy oder Iz. Biegesteifigkeiten geben an, wie groß das Biegemoment im Verhältnis zur Biegekrümmung ist.

- Bei der geraden Biegung fällt die Lastebene mit der Biegeebene zusammen, d.h. ein wirkendes Biegemoment wirkt um eine Hauptsachse des Profils und erzeugt eine Durchbiegung des Balkens in der Lastebene.

- Bei der schiefen Biegung fällt die Lastebene nicht mit der Biegeebene überein, d.h. die Durchbiegung liegt nicht in der Lastebene. Dies ist der Fall, wenn das resultierende Biegemoment nicht um eine Hauptachse des Profils wirkt.

- Bei der schiefen Biegung steht die Verformung senkrecht (90 Grad) auf der Spannungsnulllinie.

ODER ALLGEMEIN:
- Gerade Biegung ist Biegung um eine Hauptachse.- Schiefe Biegung ist Biegung um zwei Hauptachsen oder Biegung um keine Hauptachse.

- Bei dünnwandigen Profilen: Anteile mit Wanddicke 3. Ordnung vernachlässigen und nur Längen der Profilmittellinien beachten.

- Grenze für dünnwandige Profile: t/a ≤ 0,1

- Bei Kastenträgern: Zusätzlich die Eigenanteile aller Versteifungselemente vernachlässigen (auch im Deviationsmoment) und nur Steinerschen Anteile beachten.

- Grenze für Kastenträger: tmax/(b bzw. h) ≤ 0,1

- Ersatzsysteme werden erstellt, um das Verformungsverhalten von Strukturen mit geringem Aufwand abzuschätzen. Trotz der vereinfachenden Annahmen kann mit ihnen nahezu das gleiche Verformungsverhalten wie für das ursprüngliche Modell abgebildet werden.

- Die Einschränkungen bzgl. ihrer Anwendbarkeit sind, dass unterschiedliche Belastungen zu verschiedenen Grundbeanspruchungen führen. Das bedeutet, dass man eine Belastung in ihre Grundbeanspruchung überführen und dann jede Grundbeanspruchung für sich betrachten muss.

Die mechanische Arbeit ist definiert als Kraft mal Weg bzw. Moment mal Verdrehung. Hierbei müssen die Kräfte und Momente in derselben Richtung bzw. selben Drehsinn und im selben Angriffspunkt der Verschiebungen bzw. Verdrehungen wirken, damit die Definition der mechanischen Arbeit gilt.
- Kräfte und Momente verrichten äußere Arbeit in Form von Eigen- und Fremdverschiebungsarbeit

- Der Arbeitssatz beschreibt, dass die äußere Arbeit Wa in einem Körper als elastische Formänderungsenergie Ui gespeichert wird, aufgrund des Energieerhaltungssatzes. Der Arbeitssatz sagt also, dass die äußere Arbeit Wa gleich der Formänderungsenergie Ui ist.

- Mit dem Arbeitssatz sind die Größen Kräfte, Momente, Verschiebungen, Verdrehungen sowie auch Querschnitts-, Geometrie- und Materialwerte (in der Formänderungsenergie) verbunden.

Unter Verzerrungsenergiedichte versteht man die spezifische Formänderungsenergie, welches auf Spannungen basiert, um z.B. die Formänderungsenergie für Flächentragwerke zu berechnen.

Die partielle Ableitung der Formänderungsenergie nach einer statisch unbestimmten Lager- oder Schnittreaktion verschwindet, weil hier die Kompatibilitätsbedingungen gelten, sprich es treten im System keine Durchdringungen oder Klaffungen auf.

- Unter einem statisch verträglichen Spannungszustand versteht man einen im Innern einer Struktur vorliegenden Spannungszustand, der sich mit den äußeren Lasten im Gleichgewicht befindet und aus der Wirkung dieser resultiert.

- Unter einem kinematisch verträglichen Verschiebungszustand versteht man einen Verzerrungszustand, der geometrische Randbedingungen erfüllt und einen inneren Zusammenhalt einer Struktur gewährleistet.

- Zur Formulierung des Prinzips der virtuellen Kräfte wird der tatsächliche Verschiebungszustand und ein virtueller Spannungszustand herangezogen.

- Virtueller Spannungszustand bedeutet, dass wir eine beliebige virtuelle Last aufbringen dürfen.

- Wir müssen allerdings einen kinematisch verträglichen Zustand wählen.