EMF I

\(U=- \frac{d \Phi}{dt}=- \frac{d}{dt} \int \limits_S \vec{B} \cdot \vec{n} \ da\)

Coulombkraft : \(\vec{F_C}=q \cdot \vec{E}\)

\(\frac{\delta}{\delta t}\rho+ div \ \vec{J}=0\)

\(\int \limits_D (\triangledown \mathsf{x} \vec{A})\vec{n} \ dF=\int \limits_{C \ von \ S} \vec{A} \ d\vec{l}\)

Nur die Umlaufintegrale von C liefern Anteile, Form von C und S kann beliebig im Rahmen liegen.

\(div \ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\)

Nach Quotientenregel:

\(\begin{pmatrix} u\\v \end{pmatrix}^´ = \frac{u´v-uv´}{v^2}\)

\(\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2x \cdot x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2y \cdot y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2z \cdot z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}=\frac{3r-r}{r^3}=\frac{2}{r}\)

\(n \ sin \ \varphi = n^´ \ sin \ \varphi^´\)

Daraus folgt:

\(\frac{n}{n^´} \ sin \ \varphi = sin \ \varphi^´ \ge 1\)führt zu Totalreflexion

Totalreflexion kann nur von einem optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium auftreten. Dazu muss der Winkel \(\varphi\) zum Lot der Grenzfläche groß genug sein (abhängig von dem Verhältnis von \(n\) und \(n^´\)), also "flach" genug auf die Grenzschicht treffen.

• Beim Übergang vom optisch dünneren zum dichteren Medium wird die Welle zum Lot hin gebrochen (+ kleiner Teil Reflexion)
• Beim Übergang vom optisch dichterem zum dünneren Medium wird die Welle vom Lot weg gebrochen (+ Reflexion)

Biot-Savart-Amperè-Kraft: \(\vec{F_{BSA}}=q \cdot (\vec{v} \ \mathsf{x} \ \vec{B})\)

\(\vec{D} = \epsilon \ \vec{E} + \vec{P}\)

\([\vec{D}]=[\epsilon][\vec{E}]=[\frac{As}{V \ m}]\cdot [\frac{V}{m}]=[\frac{As}{m^2}]\)

Gaußsches Gesetz (lokale Folge des Coulombgesetzes: \(div \ \vec{D} = \rho\)

Es gibt keine Quellen/Senken von \(\vec{B}\): \(div \ \vec{B}=0\)

Faradaysches Induktionsgesetz: \(rot \ \vec{E}=- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

Maxwell-Amperèsches Gesetz: \(rot \ \vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\)

\(k=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi f}{c}=\frac{2\pi}{\lambda}\)

\(k\) ist der Betrag des Wellenvektors \(\vec{k}\) bzw:

\(\vec{k}=\frac{\omega}{c}\cdot \vec{e_z}\) (Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung)

Bei Ausbreitung ändert sich die Feldrichtung nicht.

Für die Ausnutzung der Totalreflexion muss der Lichtstrahl zwischen zwei optisch dünneren Materialien (\(n>n'\)) geführt sein.

Man unterscheidet zwischen Singlemode und Multimode-Fasern.

• Singlemode: Dicke d der Mode im Bereich der Wellenlänge.->Nur eine mögliche Ausbreitungsart und geringe Dispersion, daher höhere Datenübertragungsrate.
• Multimode: Dicke d der Mode realtiv zur Wellenlänge sehr groß.->Erlaubt unterschiedlich große Totalreflexionswinkel, aber hohe Dispersion

Ein Wellenpaket, das sich in einem dispersiven Medium ausbreitet verändert seine Signalform. Typischerweise wird das Wellenpaket breiter.

Dies ist die Folge von frequenzabhängigen Materialeigenschaften (Permeabilität und Permittivität sind in der Regel frequenzabhängig), welche zu unterschiedlichen Laufzeiten für die Frequenzanteile des Pakets führt.

\(div(\Phi(\vec{r})\cdot \vec{r})=grad\ \Phi(\vec{r})\cdot \vec{r}+\Phi(\vec{r})\cdot div \ \vec{r}\)

\(rot(\Phi(\vec{r})\cdot \vec{r})=grad\ \Phi(\vec{r}) \times \vec{r}+\Phi(\vec{r})\cdot rot \ \vec{r}\)

\(k',k'',\alpha',\alpha'', \vec{E'}, \vec{E''}\)

Winkel und Wellenzahl können auch zum Wellenvektor \(\vec{k}\) zusammengefasst werden.

\(\vec{E}(\vec{r},t)=E_0\cdot e^{j(\omega t-\vec{k}\cdot \vec{r})}\cdot \vec{e}_x=E_0\cdot e^{j(\omega t-\frac{\omega\cdot z}{c})}\cdot \vec{e}_x\)

das zugehörige Magnetfeld lautet:

aus \(rot \ \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(rot \ \vec{E}(\vec{r},t)=-j \frac{\omega}{c} E_0\cdot e^{j(\omega t- \frac{\omega \ z}{c})}\cdot \vec{e}_y=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\Rightarrow \vec{H}=\frac{1}{c \mu_0} E_0\cdot e^{j(\omega t- \frac{\omega \ z}{c})}\cdot \vec{e}_y\)

\(S=\frac{E^2}{Z_0}\)