MC LinAlg FS25

Ein Vektor \(v⃗ ∈ R^3\) kann als reelle 3×1-Matrix aufgefasst werden.

Eine reelle 2 × 3-Matrix hat 8 Komponenten.

Wenn A eine 2′123 × 8′248-Matrix und B eine 8′248 × 9′178-Matrix ist, dann ist die Summe A+B definiert.

Wenn A eine 2′123 × 8′248-Matrix und B eine 8′248 × 9′178-Matrix ist, dann ist das Produkt A · B definiert.

Wenn \(u⃗\) und \(v⃗\) zwei Vektoren sind, dann ist das Produkt \(v⃗· u⃗^T\) definiert.

Für zwei beliebige, quadratische Matrizen gilt \( A · B = B · A\).

Für jede beliebige Matrix gilt \((((A^T)^T)^T)^T = (A^T)^T\).

Hat eine Matrix genau 11 Komponenten, dann handelt es sich um eine 11 ×1-Matrix oder um eine 1×11-Matrix.

Jede 5×8-Matrix hat genau 13 Komponenten.

Wenn A eine 23×45-Matrix und B eine 45×22-Matrix ist, dann ist das Produkt \(A·B\) definiert.

Wenn A eine 16×20-Matrix und B eine 16×30-Matrix ist, dann ist das Produkt \(A^T ·B\) definiert.

Für zwei beliebige 2×2-Matrizen A und B mit \(A=B\) gilt \(A·B\neq B·A\).

Für jede beliebige Matrix gilt \((((A^T)^T)^T)^T = A^T\).

Ist eine 2×2-Matrix A sowohl symmetrisch als auch schiefsymmetrisch, dann gilt \(A=0\).

Jedes LGLS mit genau einer rechten Seite kann in Matrix-Form (1) geschrieben werden.

Die Variablen des LGLS (1) sind gerade die Komponenten des Vektors \(x⃗\).

Für \(\vec{b} =0\) hat das LGLS (1) in jedem Fall mindestens eine Lösung.

Das LGLS (1) kann in jedem Fall durch Multiplikation mit der inversen Matrix \(A^{-1}\) gelöst werden.

Das LGLS (1) kann genau dann durch Multiplikation mit der inversen Matrix \(A^{-1}\) gelöst werden, wenn es eindeutig lösbar ist.

Das LGLS (1) kann genau dann durch Multiplikation mit der inversen Matrix \(A^{-1}\) gelöst werden, wenn es eindeutig lösbar ist und gilt \(m = n\).

Jede quadratische Matrix hat eine Inverse.

Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.

Ob eineMatrix invertierbar ist, kann mit Hilfe des Gauss-Jordan Verfahrens überprüft werden.

 Ist A invertierbar, dann gilt in jedem Fall \((A^{-1})^{-1} = A\).

Sind B und C invertierbar und gilt \(A=B·C\), dann folgt \(A^{−1}=B^{−1}·C^{−1}\)

Gilt \(A=A^{−1}\), dann folgt \(A = I\)

I steht für die Einheitsmatrix

 Der gesamte Code kann ohne Fehlermeldung in Python/Numpy ausgeführt werden.

Die Variable A enthält eine Diagonal-Matrix.

Die Variable A enthält eine quadratische Matrix.

Die Variable B enthält eine 2 × 2-Matrix.

Die Variable B enthält eine symmetrische Matrix.

Es gilt \(B^1 _1 = 6\).

Jede Abbildung der Form\( a : ℝ^m → ℝ^n\) kann durch eine n × m-Matrix beschrieben werden.

Jede lineare Abbildung der Form \(a : ℝ^n → ℝ^n\) kanndurcheine quadratische Matrix beschrieben werden.

Die Funktion \(f : ℝ → ℝ\) mit \(f(x) := 2x\) ist eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra.

 Die Funktion \(f : ℝ → ℝ\) mit \(f(x) := 3x+1\) ist eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra.

 Für jede lineare Abbildung \(a : ℝ^m → ℝ^n\) gilt \(a(0) = 0\).

Eine lineare Abbildung ist genau dann umkehrbar, wenn sie durch eine reguläre Matrix beschrieben wird.

Die Matrizen A und B sind schiefsymmetrisch.

Die Matrix B beschreibt die Drehung um den Ursprung im Gegenuhrzeigersinn um den Winkel \(−π/2\).