MC LinAlg FS25

Der Grad des charakteristischen Polynoms hängt sowohl von den Dimensionen der Matrix als auch von den Werten der Komponenten ab.

In jedem Vektorraum ist eine Multiplikation zwischen den Vektoren definiert.

Das charakteristische Polynom einer reellen 2×2-Matrix hat mindestens eine reelle Nullstelle.

In jedem Vektorraum ist eine Multiplikation zwischen den Vektoren und den reellen Zahlen definiert.

Das charakteristische Polynom einer reellen 3×3-Matrix hat mindestens eine reelle Nullstelle.

Die wesentliche Eigenschaft eines Vektorraums ist die Abgeschlossenheit unter Bildung von Linearkombinationen.

Jede quadratische Matrix hat mindestens einen reellen Eigenwert.

Sind \(v⃗\) und \(w⃗\) zwei Eigenvektoren einer Matrix, dann gilt dies auch für \(u⃗:=v⃗+w⃗\).

Sind \(v⃗\) und \(w⃗\) zwei Eigenvektoren einer Matrix zum gleichen Eigenwert λ, dann gilt dies auch für \(u⃗:=v⃗+w⃗\).

Eine Matrix \(A∈M(3,3,ℝ)\) hat maximal drei verschiedene Eigenwerte.

M steht für ein doppelstrich M

Gilt spec(A)={0}, dann gilt tr(A)=0.

Gilt spec(A)∋0, dann gilt det(A)=0.

Das charakteristische Polynom von A hat den Grad 1.

A ist orthogonal.

Es gilt spec(B) = spec(A).

B hat genau zwei verschiedene Eigenwerte.

\(\sqrt{2} \cdot \vec{\hat{e}}_{x}\) ist ein Eigenvektor von B.

Es gilt \(A^{12} ·\vec{\hat{e}}_{y}=−B·\vec{\hat{e}}_{z}\)

Ist A symmetrisch, dann ist \(p_A\) eine gerade Funktion.

 Ist A singulär, dann gilt \(p_A(0) = 0\).

Ist A orthogonal, dann gilt \(p_A(1) = 0\).

Ist A diagonal, dann zerfällt \(p_A\) in Linearfaktoren.

 Ist \(B ∈ M(n,n,ℝ)\) mit \(p_B = p_A\), dann folgt A = B.

M steht für ein doppelstrich M

Für \(n = 2\) gilt\( A^2 = tr(A)·A−det(A)·I\)

I steht für die Einheitsmatrix

Lineare Abbildungen erkennt man daran, dass sie die Struktur jeder Linearkombination erhalten.

Lineare Abbildungen lassen sich zwischen beliebigen Vektorräumen definieren.

Lineare Abbildungen lassen sich ausschliesslich zwischen Vektorräumen über dem gleichen Zahlenkörper definieren.

Lineare Abbildungen lassen sich ausschliesslich zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension definieren.

Der Kern einer linearen Abbildung ist niemals leer.

Das Bild einer linearen Abbildung ist niemals leer.

Es gilt \( D \in \mathbb{M}(4, 3, \mathbb{R})\)

Es gilt \(img(D) = P_2\).

Es gilt ker(D) = {0}.

Es gilt \(\det(\tilde{D}) = 0\).

Es gilt \(\dim(ker(\tilde{D^2)}) = 2\)

Es gilt \(\operatorname{spec}(\tilde{D}) = \{0, 1, 2, 3\}\)

Es gilt \(img(A) = \mathbb{R}^ 3\)

Es gilt \(ker(A^{12}) \neq \{0\}\)

Es gilt \( B ∈ O(3)\)

 Es gilt \(tr(2 · A + √ 2 · B) = 0\)