VO Theo 1
VO Theo 1 Mechanik
VO Theo 1 Mechanik
Set of flashcards Details
| Flashcards | 74 |
|---|---|
| Language | Deutsch |
| Category | Physics |
| Level | University |
| Created / Updated | 05.02.2025 / 12.02.2025 |
| Weblink |
https://card2brain.ch/box/20250205_vo_theo_1
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Relativitätstheorie:
Geben Sie die Lorentz-Kraft in manifest kovarianter Form in Viererschreibweise an. Benennen
Sie alle Größen
\(K^\mu = {q\over c} F^{\mu\nu} U_\nu\)
Lagroange Mechanik:
Was besagt das Noether-Theorem? Welche Transformation gehört zum Schwerpunktsatz?
Jede kontinuierliche Symmetrie der Lagrange-Funktion führt zu einer Erhaltungsgröße.
Translationsinvarianz → Impulserhaltung → Schwerpunktsatz
Rotationsinvarianz → Drehimpulserhaltung → Drehimpulserhaltungssatz
Zeitinvarianz → Energieerhaltung → Energieerhaltungssatz
Galilei-Invarianz → Erhaltung des Schwerpunktimpulses → Galilei-Prinzip
Lorentz-Invarianz → Vierer-Impuls-Erhaltung → Relativistischer Energie-Impuls-Satz
Lagrange Mechanik:
Geben Sie eine Formulierung des d’Alembertschen Prinzip.
- Das d’Alembertsche Prinzip besagt, dass die virtuelle Arbeit der resultierenden Kräfte inklusive Trägheitskräfte verschwindet.
- Mathematisch:
\(\sum_i \left( \mathbf{F}_i - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i \right) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0\)
- Es gilt für Systeme mit Zwangsbedingungen und bildet die Grundlage der Lagrange-Mechanik.
Lagrange Mechanik:
Für welches Funktional stellen die Lichtstrahlen der geometrischen Optik Extremalen dar?
Funktional für Lichtstrahlen:
\(S = \int n(\mathbf{r}) \, ds\)
Fermatsches Prinzip: Der Lichtweg macht die optische Weglänge stationär.
Lagrange Mechanik:
Schreiben Sie die Standardform der Lagrangefunktion für die Bewegung eines Teilchens im 3-dimensionalen Raum im Potential in kartesischen Koordinaten auf. Wie lautet dieselbe Lagrangefunktion in Kugelkoordinaten?
Kartesische Koordinaten:
\(L = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - V(x, y, z)\)
- **Kugelkoordinaten:**
\( L = \frac{1}{2} m \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2\theta \dot{\phi}^2 \right) - V(r, \theta, \phi)\)
Relativitätstheorie:
Schreiben Sie den Wellenoperator in manifest kovarianter Form. Welche Bedingung erfüllt der Vierervektor der Wellenzahl kμ für ebene Wellen exp(ik_μx^μ)?
Wellenoperator (d'Alembert-Operator):
\(\square = \eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\)
-Wellengleichung für masselose Felder:
\(\square \psi = 0\)
- **Bedingung für den Wellenvektor
\(k^\mu k_\mu = 0\)
Relativitätstheorie:
Was versteht man unter eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen?
- Eigentliche Lorentz-Transformationen: Haben Determinante +1, d.h., sie erhalten die Raum-Zeit-Orientierung.
- Orthohrone Transformationen: Erhalten das Vorzeichen der Zeitkomponente (Λ00≥1), d.h., sie respektieren die Kausalität.
- Eigentliche orthochrone Lorentz-Transformationen (SO(1,3)↑): Diese Untergruppe enthält Transformationen, die sowohl die Raumzeit-Orientierung als auch die Kausalität erhalten.
Relatvitätstheorie:
Definieren Sie die Minkowski-Metrik und die Lorentzgruppe. Welche dreidimensionale Unter- gruppe gibt es?
- SO(3) (Drehgruppe) beschreibt reine Raumrotationen.
- Enthält alle Transformationen mit Λ 00=1
Hamilton Mechanik:
Wie lautet die Hamilton-Funktion in minimaler Kopplung für die Bewegung eines geladenen Teilchen in elektromagnetischen Feldern? Wie hängt der kanonische Impuls mit dem kinetischen Impuls zusammen?
Hamilton-Funktion mit minimaler Kopplung:
\(H = \frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} - q \mathbf{A} \right)^2 + q \Phi\)
Zusammenhang von kanonischem und kinetischem Impuls:
\(\mathbf{\phi} = \mathbf{p} - q \mathbf{A}, \quad \text{mit} \quad \mathbf{\phi} = m \mathbf{v}\)
Newtonsche Mechanik: 25
Was besagt das 1. und das 2. Newtonsche Gesetz? Inwiefern ist das 1. ein/kein Spezialfall des 2. Gesetzes?
1. Newtonsches Gesetz: Existenz von Inertialsystemen, alternativ ohne Krafteinwirkung bewegt sich ein Körper gleichförmig geradlinig
2. Newtonsches Gesetz: F = ma
Das zweite Gesetz ist kein Spezialfall des ersten, da man sehr wohl ein Konzept von kräftefrei haben kann ohne quantitatives Konzept von Kraft.
Newtonsche Mechanik 25
Definieren Sie die Galile-Gruppe und ihre Wirkung auf einen Punkt (t,x) in der
Raumzeit.
Welche Rolle spielt sie in der Newtonschen Raumzeit? Geben Sie zwei
nichttriviale dreidimensionale Untergruppen an.
Galileigruppe = {(D,a, T,v) : D € SO(3), a, v € R3, T E R}
mit Wirkung （t,x）→（t+T,D・x+a-vt）
Überführt Inertialsysteme in Inertialsysteme. Alternativ: Symmetrien der klassischen Raumzeit
2 dreidimensionale Untergruppen, z.B SO(3), Translationen R3, eigentliche Galilei-Boosts R3
Newtonsche Mechanik: 25
Wie lässt sich im Zentralkörperproblem die Winkelbewegung φ(t) lösen, sobald die
Radialbewegung r(t) bekannt ist? Wann dreht sich φ(t) am schnellsten?
Aus Drehimupulserhaltung˙
\(φ= {ℓ \over {mr(t)}²}\)
bei der Formel ist die Ableitung von phi gemeint
schnellste Änderung am Perizentrum r(t) = rP
Was ist die Binet-Gleichung im Zentralkörperproblem? Wie lautet die Fokalgleichungim
Keplerproblem? Zeigen Sie in einer Zeile, dass die Fokalgleichung die Binet-Gleichung
löst.
bild
Skizzieren Sie ein generische Potential U(q) und das zugehörige Phasenraumporträt für ein eindimensionales Problem. Das Potential sollte hierbei mindestens ein Minimum und ein Maximum enthalten. Bezeichnen Sie qualitativ verschiedene Bahnen in Ihrer Skizze.
Bild
Skizzieren Sie ein generische Potential U(q) und das zugehörige Phasenraumporträt für ein eindimensionales Problem. Das Potential sollte hierbei mindestens ein Minimum und ein Maximum enthalten. Bezeichnen Sie qualitativ verschiedene Bahnen in Ihrer Skizze.
Bild ist Potential
Netonsche Mechanik:
nenne alle Kepler Gleichungen.
\(r = \frac{a\!\left(1-e^{2}\right)}{1 + e \cos \nu}\)
\(r^{2}\,\dot{\nu} = h\)
\(T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{G M}\,a^{3}\)
Newtonsche Mechanik:
Erkläre kurz alle drei Keppler Gesetze.
1. Bahngesetz – Ellipsenform
Alle Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
Merksatz: Statt perfekter Kreise sind die Bahnen leicht „gestaucht“; Sonne ≈ Fokus der Ellipse.
2. Flächensatz – gleichmäßige Flächengeschwindigkeit
Eine gedachte Linie Sonne–Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.
Folge: Der Planet zieht nahe der Sonne schneller vorbei und weiter außen langsamer, sodass die „Flächen rate“ konstant bleibt.
3. Harmonisches Gesetz – Verhältnis von Umlaufzeit zu Bahngröße
Für alle Planeten gilt \(T^{2}\propto a^{3}\): Das Quadrat der Umlaufperiode T wächst wie die dritte Potenz der großen Halbachse a.
Bedeutung: Kennt man die Bahngröße, lässt sich die Umlaufzeit berechnen (und umgekehrt); für Satelliten um jede beliebige Zentralkörper‑Masse gilt die gleiche Proportionalität, nur mit anderer Konstante.
Lagrange Mechanik: 25
Gegeben sei eine Lagrange-Funktion L = L(q, q ̇, t) mit verallgemeinerten Koordinaten
q = (q1, . . . , qf ) und zugehörgigen Geschwindigkeiten q ̇ = (q ̇1, . . . , q ̇f ). Wie lauten
die zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen? Wie erhält man die zugehörigen gene-
ralisierten Impulse und Kräfte? Welche Bedingung muss an L gestellt werden, damit i
sich die Differentialgleichungen nach den zweiten Ableitungen q ̈ lokal auflösen lassen?
\(\frac{\partial L}{\partial q_i}- \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\Bigr)=0\)
\(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\)
\(F_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}\)
\(L_{ij} = \frac{\partial^2 L}{\partial \dot q_i\,\partial \dot q_j},\quad\det L_{ij}\neq0\)
Lagrange Mechanik: 25
Was versteht man unter einer holonomen Zwangsbedingung? Was versteht man unter einer virtuellen Verrückung? Geben Sie eine Formulierung des d’Alembertschen Prinzip. Wie lassen sich die Zwangskräfte durch Lagrange-Multiplikatoren ausdrücken?
holonome Zwangsbedingunge: \(f_\mu(\mathbf r,t)=0,\quad \mu=1,\dots,r\)
Virtuelle Verklungen sind infitisimale Verschiebungen kompatibel mit den Zwangsbedingungen. \(\delta\mathbf r:\;\delta f_\mu=0\)
d`Alambet: die vrtuelle Arbeit verschwindet für alle virtuellen Verzückungen \(\sum_\varepsilon Z_\varepsilon\,\delta r_\varepsilon = 0\)
Darstellung der Zwangskräfte durch Lagrange Multiplikatoren \(Z_\varepsilon = \sum_\mu \lambda_\mu\,\frac{\partial f_\mu}{\partial r_\varepsilon}\)
Lagrange Mechanik: 25
Formulieren Sie das Hamiltonsche Prinzip der Mechanik. Welche Variationen der Bahn sind zugelassen? Wie lauten die zugehörigen Bewegungsgleichungen? Welche Anschluss- bedingung muss erfüllt sein, falls die Lagrange-Funktion nicht glatt beim Durchstoßen einer Untermannigfaltigkeit ist.
\(S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q},t)\,dt\)
\(\delta S = 0,\quad \delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0\)
Als Variationen sind Bahnen zugelassen, so dass Anfangs und Endpunkt x(t)=x festgehalten wird
\(\frac{\partial L}{\partial q_i}- \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\Bigr)=0\)
Beim durchstossen ist der Tangentialimpuls erhalten. \(v_i\,p_i = \text{const.}\)
Lagrange Mechanik: 25
Formulieren Sie das Variationsprinzip für geodätische Linien in einem Riemannschen Raum. Wie kann man das Problem der Unabhängigkeit von der Bahnparametrisierung angehen?
geodätische Linie minimiert das Funktional
\(S[x(l)]= \int_{\vartheta_1}^{\vartheta_2} \sqrt{\,g_{ij}\bigl(x(l)\bigr)\, \frac{dx^i}{dl}\, \frac{dx^j}{dl} }\;dl\)
Parametrisierung durch die Bogenlänge
Lagrange Mechanik: 25
Formulieren Sie die Lagrange-Funktion für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld. Wie erhält man aus den Potentialen die elektromagnetischen Felder? Wie verhält sich die Lagrange-Funktion unter einer Eichtransformation der Potentiale?
Minimale Kopplung \(L = \frac{m}{2}\,\dot{\mathbf r}^2 + \frac{q}{c}\,\dot{\mathbf r}\cdot\mathbf A(\mathbf r,t) - q\,\phi(\mathbf r,t)\)
Felder \(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A,\quad\mathbf E = -\nabla\phi - \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf A}{\partial t}\)
Umeichen \(\mathbf A \to \mathbf A + \nabla\chi,\quad\phi \to \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial\chi}{\partial t}\;\;\Longrightarrow\;\;L \to L + \frac{q}{c}\frac{d\chi}{dt}\)
Lagrange Mechanik: 25
Was bedeutet die Aussage, die Abbildung qk 7→ qk + εδφqk + O(ε2) ist eine evolutionäre Symmetrie der Lagrange-Funktion? Welche zugehörige Erhaltungsgröße gibt es? Zeigen Sie in einer Zeile, dass qk 7→ qk +εq ̇k eine evolutionäre Symmetrie ist, falls die Lagrange- Funktion nicht explizit zeitabhängig ist.
\(\delta_\omega q_k = \vartheta_\omega q_k,\quad\delta_\omega L = \frac{d\chi_\omega}{dt}\;\;\Longrightarrow\;\;I_\omega = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\,\vartheta_\omega q_i - \chi_\omega\)
X ist nen A ohne mittelstrich
Relativitätstheorie: 25
Formulieren Sie das Fundamentalpostulat der speziellen Relativitätstheorie.
Naturgesetze sind in allen Inertialsystem gleich, die Gleichungen sind forminvariant
(kovariant).
Es gibt eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit c.
Relativitätstheorie: 25
Definieren Sie die Minkowski-Metrik und die Lorentzgruppe. Geben Sie explizit die Transformation für einen Lorentzboost an. Zeigen Sie in einer Zeile, dass für Lorentz- transformationen Λ gilt (Λ00)2 ≥ 1
Minkovski Metrik \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\)
Lorentzgruppe \(O(1,3) = \{\Lambda\mid \Lambda^{T}\,\eta\,\Lambda=\eta\}\)
Lorentzboost \(\begin{aligned}t' &= \gamma (t - \tfrac{v\,x}{c^2}),\\x' &= \gamma (x - v\,t),\;y'=y,\;z'=z,\;\gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{aligned}\)
1=(Λ00)²-(Λ00)²-(Λ10)²-(Λ20)²-(Λ30)² < (Λ00)²
Relativitätstheorie: 25
Definieren Sie den Viererimpuls pμ. Bestimmen Sie die Normierung pμpμ. Wie wird die 0-te Komponente des Viererimpulses interpretiert?
\(p^\mu = m\,\frac{dx^\mu}{d\tau} = m\,\gamma\,(c,\mathbf v)\)
\(p_\mu\,p^\mu = m^2\,c^2\)
\(p^0 = \frac{E}{c},\quad E = \gamma\,m\,c^2\)
Relativitätstheorie: 25
Geben Sie die Lorentz-Kraft in manifest kovarianter Form in Viererschreibweise an.
Benennen Sie alle Größen.
\(\frac{dp^\mu}{d\tau} = \frac{q}{c}\,F^{\mu\nu}\,u_\nu\)
Faraday Tensor F und der Ladung q
Starrer Körper: 25
Wann heißt ein System aus N Massenpunkten starr? Definieren Sie den Konfigurationsraum
Starr bedeutet, dass alle abstände gleich sind.
\(Q \simeq \mathbb R^3 \times SO(3)\)
Starrer Körper: 25
Wie lauten die Eulerschen Gleichungen für den kräftefreien starren Körper? Lesen Sie hieraus eine Erhaltungsgröße für den Fall des symmetrischen starren Körpers ab. Beschreiben Sie hierfür qualitativ die Bahn der Figurenachse?
\(\begin{aligned}I_1\,\dot\omega_1 &= (I_2 - I_3)\,\omega_2\,\omega_3,\\I_2\,\dot\omega_2 &= (I_3 - I_1)\,\omega_3\,\omega_1,\\I_3\,\dot\omega_3 &= (I_1 - I_2)\,\omega_1\,\omega_2.\end{aligned}\)
\(\dot\omega_3=0\), also \(ω3= konstant\). Die Symmetrieachse präzediert um den festen Drehimpulsvektor
Hamilton Mechanik: 25
Wie erhält man aus der Lagrange-Funktion die Hamilton-Funktion? Von welchen Größen hängen die Funktionen jeweils ab und wie werden konjugierte Variablen durcheinander ersetzt? Warum wird gefordert, dass die Lagrange-Funktion konvex in den Geschwindigkeiten ist?
\(H(q,p,t)= \sum_{i=1}^f p_i\,\dot q_i - L(q,\dot q,t)\)
\(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\)
Konvexität garantiert, dass die Geschwindigkeiten durch Auflösen nach q˙ i eliminiert werden können
Hamilton Mechanik: 25
Formulieren Sie das Hamiltonsche Prinzip im Phasenraum. We lauten die zugehörigen Bewegungsgleichungen?
\(S[q,p] = \int_{t_1}^{t_2}\Bigl(p_i\,\dot q_i - H(q,p,t)\Bigr)\,dt\)
Kanonische Gleichungen.
\(\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i},\quad\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\)
Hamilton Mechanik: 25
Definieren Sie die symplektische Gruppe Sp(2f, R). Definieren Sie die symplektische Eins J. Geben Sie eine von der Einheitsmatrix verschiedene symplektische Matrix an. Wann heißt eine Kartentransformation auf dem Phasenraum kanonisch?
\(\mathrm{Sp}(2f,\mathbb R)= \{S\mid S^T J S = J\},\quadJ = \begin{pmatrix}0&I_f\\-I_f&0\end{pmatrix}\)
J ist selbst symplektisch
\(∂(Q,P)/∂(q,p)∈Sp(2f,R)\)
Hamilton Mechanik: 25
Wie erhält man aus Phasenraumfunktionen Hamiltonsche Vektorfelder? Welche Eigenschaften hat der zugehörige Hamiltonsche Fluss?
\(X_H = J\,\nabla H\)
Hamiltonscher Fluss ist symplektisch, d.h. Abbildung x 7→ x(t) ist kanonisch
Hamilton Mechanik: 25
Geben Sie eine mögliche Definition der Poisson-Klammer. Drücken Sie die Eigenschaft, dass F Erhaltungsgröße ist, durch die Poissonklammern aus. Formulieren Sie die JacobiIdentität. Folgern Sie in einer Zeile aus der Jacobi-Identität, dass mit F, G Erhaltungsgrößen auch {F, G} Erhaltungsgröße ist
\(\{F,G\}= \sum_i\bigl(\partial_{q_i}F\,\partial_{p_i}G -\partial_{p_i}F\,\partial_{q_i}G\bigr)\)
Erhaltungsgröße {H, F} = 0
{F, {G, H}} + zyklisch = 0
{H, {F, G}} = −{F, {G, H}} − {G, {H, F}} = 0 + 0
